【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.1.2 余弦定理(二)

1．2 余弦定理(二)
[学习目标] 1.娴熟把握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决三角形的有关问题．
[学问链接]
1．以下问题不能用余弦定理求解的是 ． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形． (2)已知两角和一边，求其他角和边．
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (2)
2．利用余弦定理推断三角形的外形正确的是 ． (1)在△ABC 中，若a 2 ＝ b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，若a 2 ＜ b 2＋c 2，则△ABC 为锐角三角形． (3)在△ABC 中，若a 2 ＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形． 答案 (1)(3) [预习导引]
1．余弦定理及其推论
(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 2．三角变换公式
(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
要点一 正弦、余弦定理的综合应用
例1 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，
设BD ＝x ，由余弦定理，得
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ， ∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，
即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.
∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，
∴BC ＝16sin 30°
sin 135°
＝8 2.
规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围围着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中留意选择是应用正弦定理还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．
跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .
解 方法一 在△ABC 中， ∵sin A cos C ＝3cos A sin C ， 则由正弦定理及余弦定理有： a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3(b 2＋c 2－a 22bc )c ，
化简并整理得：
2(a 2－c 2)＝b 2.
又由已知a 2－c 2＝2b ，
∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)．
方法二 由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2.① 又sin A cos C ＝3cos A sin C ，
∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ，
sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，
即sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理得sin B ＝b
c sin C ，
故b ＝4c cos A ．② 由①②解得b ＝4.
要点二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC 中，有：(1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明． 证明 方法一 (1)由正弦定理得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .
同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，
∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 2
2ac
＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 2
2a ＝a .
∴a ＝b cos C ＋c cos B .
同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .
规律方法 (1)证明三角恒等式关键是消退等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化．
跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .
证明 方法一 ∵左边＝a 2＋c 2－b 2
2ac
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，
右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 2
2bc b －c ·
b 2＋
c 2－a 22bc ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，
∴等式成立．
方法二 ∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A
2R sin B －2R sin C ·cos A
＝sin (A ＋B )－sin B cos A
sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos B
cos C ＝左边． ∴等式成立.
1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B ．－23 C.14 D ．－14 答案 A
解析 依据正弦定理， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k . 则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k
＝13.
2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的外形肯定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形
答案 C
解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 2
2ac ×a ＝c ，
∴a ＝b .故△ABC 肯定是等腰三角形．
3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π6
解析 依据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π
6.
4．已知四边形ABCD 为平行四边形． 求证：AC 2＋BD 2＝AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2. 证明 在△BAD 内，
BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，
在△ABC 内，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ， ∵∠ABC ＋∠BAD ＝180°， ∴cos ∠ABC ＋cos ∠BAD ＝0. ∴BD 2＋AC 2＝2AB 2＋AD 2＋BC 2， 即AC 2＋BD 2＝AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA
2
.
1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般状况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或
角，要留意进行争辩．假如接受余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，
接受余弦定理较简洁．
2．依据所给条件确定三角形的外形，主要有两种途径： (1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时简洁消灭增解，缘由是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特殊留意三角形三边长度所应满足的基本条件．
一、基础达标
1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形 答案 B
解析 由于三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝1
5>0，所以能组成锐角三角形．
2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →
等于( ) A.152 B ．－152 C.1532 D ．15 答案 B
解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，
∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|·cos A ＝5×3×(－12)＝－152
，故选B.
3．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的外形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，
则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．
4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A
解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0. 5．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ . 答案 30°
解析 由sin C ＝23sin B ，依据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝3
2，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.
6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝ .
答案 4
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－1
4
，
即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－1
4，
∴8c －7b ＋4＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝78c －7b ＋4＝0 得⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝4，
c ＝3.
∴b ＝4.
7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .
证明 ∵右边＝sin A cos B －cos A sin B
sin C
＝
sin A sin C ·cos B －sin B
sin C
·cos A
＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc
＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．
∴a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .
二、力量提升 8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角
A 是 ( )
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．不确定
答案 A
解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc
＝(b －c 2)2＋
3c 2
42bc >0，
∴0°<A <90°.
9．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°
答案 C
解析 由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)， ∴(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，
C ＝45°或135°.
10．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ． 答案 (2,8)
解析 ∵2a －1>0，∴a >1
2，最大边为2a ＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得0<a <8.
又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
解 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝2
2
. 因此B ＝45°.
(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝
2＋6
4
. 故a ＝b sin A
sin B ＝2＋62＝1＋3，
c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°
＝ 6.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－1
4，0<C <π，
∴sin C ＝
104
. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理
a sin A ＝c sin C
，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－1
4
及0<C <π，
得cos C ＝±6
4.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝26，
c ＝4.
三、探究与创新
13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试推断△ABC 的外形． 解 (1)由条件和正弦定理，
得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π
3.
(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理， 可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即(
32
)2
＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝1
2.
又0<B ，C <π
3，∴B ＝C ，
∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。