2021年九年级数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数图象与x轴的交点(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数图象与x轴的交点（附答案）1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣
3．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1
4．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜4B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4D．x＜﹣1或x＞3
5．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx＝5的解为（）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5 6．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
7．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）
A．﹣＜m＜3B．﹣＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2
8．已知抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）
A．B．C．D．
9．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 10．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
11．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
12．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
13．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．
14．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D 在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．
17．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．18．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．19．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．
20．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a （x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是．
21．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围．
22．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”
函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．
23．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．
24．已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．
x…﹣1012…
y…0343…
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．
26．若二次函数y＝x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝．
27．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．
28．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为．
29．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）
2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边
形BCDE周长的最小值为+．
其中正确判断的序号是．
30．已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为．
31．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
32．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
33．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．
34．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
35．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
结合函数的图象，求m的取值范围．
36．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
37．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求
得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
38．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
39．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
参考答案
1．解：∵b＞a＞0
∴﹣＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
2．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．
3．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
4．解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：B．
5．解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴﹣＝2，
解得：b＝﹣4，
∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
故选：D．
6．解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4＝0，解得a＝1．
故选：A．
7．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
8．解：令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣3
∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD＝4.5，
当x＝0时，y＝6，
∴OC＝6，
∴CD＝＝．
故选：D．
9．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．
10．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
11．解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
12．解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
13．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
14．解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
15．解：令x＝0，得到x＝c，
∴C（0，c），
∵D（m，c），得函数图象的对称轴是x＝，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x＝，得＝，
解得x＝﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
16．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB＝6﹣（﹣2）＝8．
故答案为：8．
17．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
18．解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
19．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴△＝b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
20．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
21．解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
22．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正
确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，
因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1
或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此
⑤是不正确的；
故答案是：4
23．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为：k≤3，且k≠0．
24．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x＝＝1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
25．解：当y＝0时，x2+mx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝x2+x，
当x＝1时，y＝x2+x＝2，则A′（1，2），
当y＝2时，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，则C（﹣2，2），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）＝3．
故答案为3．
26．解：y＝x2﹣4x+n中，a＝1，b＝﹣4，c＝n，
b2﹣4ac＝16﹣4n＝0，
解得n＝4．
故答案是：4．
27．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
28．解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
29．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a
＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N （，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）
2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：
，故此小题结论正确；
故答案为：①③④．
30．解：分为两种情况：
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC＝BC＝BD，
由题意得：AC＝BD＝m，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝3+1＝4，
∴AC＝BC＝2，
∴m＝2，
②同理，当C在B的右侧时，AB＝BC＝CD＝4，
∴m＝AB+BC＝4+4＝8，
故答案为：2或8．
31．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
32．解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
33．解：（1）设y＝0
∴0＝ax2+bx﹣（a+b）
∵△＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0
∴抛物线不经过点C
把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1
（3）当x＝2时
m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①
∵a+b＜0
∴﹣a﹣b＞0②
①②相加得：
2a＞0
∴a＞0
34．解：（1）抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y＝ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，），
∴AG＝1、PG＝，P A＝＝＝2，∵tan∠P AB＝＝，
∴∠P AG＝60°，
在Rt△P AB中，AB＝＝＝4，
∴点B坐标为（4，0），
设y＝ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a＝﹣，
∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+x；
（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x＝，
解得：x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，
则有﹣x2+x＝﹣，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣，
∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．35．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．
（2）①∵m＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
令y＝0，得x＝0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），
∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有
6个整点，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝，
∴m的取值范围为＜m≤．
36．（1）证明：∵△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，二次项系数a＝1，∴抛物线开口方向向上，
∵△＝（k﹣3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1•x2＝1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2＝5﹣k，x1•x2＝1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
37．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，
∴mn＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，∵x1≠x2，
∴m与n不能同时取到，
∴0＜mn＜．
38．解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝＝2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，
y＝x2+bx+2＝（x+）2+2﹣，
则点C′的坐标为（﹣，2﹣），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∴2﹣＝﹣﹣4，
解得，b1＝﹣4，b2＝6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．39．（1）证明：由题意可得：
△＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
＝1+25m2﹣10m+20m
＝25m2+10m+1
＝（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
（x﹣5）（mx+1）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
由|x1﹣x2|＝6，
得|﹣﹣5|＝6，
解得：m＝1或m＝﹣；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2，
由题已知，P，Q关于x＝2对称，
∴＝2，即2a＝4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16。