第3章 离散信号的时域和Z域分析

f1 (n) f2 (n) f2 (n) f1 (n)
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
指数规律变化的离散时间信号，常用的实
指数序列为单边实指数序列，
x(n) a u(n)
n
式中，a为实数。当|a|<1 时，序列是收敛的; 而当 |a|>1 时，序列是发散的。 a 为负数时，
序列是摆动的，如图7所示。
图 7 指数序列 (a) 0<a<1; (ห้องสมุดไป่ตู้) a>1; (c) -1<a<0
n n
注意： 复指数序列是否为周期序列，其判别方法 与正弦序列的方法相同。
8、卷积和运算（线性卷积）
卷积和与连续信号的卷积非常类似，它也是
一种重要的数学工具。 卷积和也称为线性卷积或离散卷积。
1)定义、表达式 设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
2)求和区间的讨论： (1) f1 (n)为因果信号
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1
2 3 4
5
n
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2
3
4 5 6
n
(a )
(b )
图 3 序列的翻褶 (a) x(n)序列； (b) x(-n)序列
3． 序列的和
两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加 而构成的一个新序列。 和序列z(n)可表示为
z(n) x(n) y(n)
例：f (n) 1,3,2,4 n 0 ， f (n) 2,1,3 n 0 1 2 ，求
f (n) f1 (n) f 2 (n)
结论：
若设两个序列的长度分别为N和M， 则卷积和后的序列长度为(N+M-1)
，
练习：
f1 (n) 4,3,2,1,7 n 0
二阶后向差分
[x(n)] x(n) x(n) x(n 1)
2
x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
7． 累加
设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为
y ( n)
k
x( k )
n
它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的
2
式中，k, N为互素的整数，则
2 N k kN 0 k
为最小正整数，序列的周期为N。
（ 3 ）当 2π/ω0 是无理数时，则任何 k 皆
不能使N取正整数。 这时，正弦序列不是
周期性的。 这和连续信号是不一样的。
例 序列 ，因为2π/ω= 8，所 以是一个周期序列，其周期N= 8。
例 序列 ，2π/ω= 8/3是有理 数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。 例 序列 ,2π /ω = 8π /3是无 理数，所以是非周期序列，
f ( n) f (n)u (n) 0
注意： u(t)与u(n)的区别
n0 n0
δ(n)和u(n)间的关系为
(n) u(n) u(n 1)
这就是u(n)的后向差分。 而
u ( n)
k
(k )
n
这里就用到了累加的概念。
3．矩形序列RN(n)
第三章离散信号的时域和z域分 析
3.1离散信号的时域分析 3.2离散信号的z域分析
3.1离散信号的时域分析
离散时间信号的定义是仅在规定的离散时
间点上有定义，而在其他时间内无定义。
在工程上将间隔相等的离散信号称为离散
时间序列，简称序列，表示为f(n) 或x(n)。
离散时间序列的表示方法 ⑴解析形式：用函数式来表示
若Nω0=2πk, 当k为正整数时，则
x(n) x(n N )
这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足
N=2πk/ω0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如
下。
（1） 当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0。
（2） 当2π/ω0不是整数，而是一个有理数时（有理
数可表示成分数），则
N 0 k
k 0
举例：无限长的序列，设
2 f1 (n) u (n) 3
n
f 2 (n) u(n)
求
f (n) f1 (n) f 2 (n)
3) 卷积的图解机理 （1）翻褶：先在哑变量坐标 m上作出x(m)和h(m)， 将 h(m)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。 （2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数 时， 右移n位; 当n为负整数时，左移n位。 （3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相 乘。 （4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得 y(n)值。 依上法，取n各值，即可得全部y(n)值。
6． 复指数序列
序列值为复数的序列称为复序列。 复指数
序列的每个值具有实部和虚部两部分。
复指数序列是最常用的一种复序列：
x(n) Ae
或
( j0 ) n
x(n) Ae j0n
式中，ω0是复正弦的数字域频率。
对第一种表示，序列的实部、虚部分别为
e
( j0 ) n
e cos(0n) jAe sin(0n)
一、 序列的运算
1． 序列的移位
如图1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)为
w(n) x(n m)
当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次右移m位而
给出的一个新序列; 当m为负时，x(n-m)是指依次左移m
位。
x(n)
x(0) x(－ 1) x(－ 2) x(－ 3)
x(1)
一阶向后差分：
f (k ) f (k ) f (k 1)
结论：▽x(n)=Δx(n-1)
如果对差分运算结果进行差分，可得到高阶差分 运算，如二阶，三阶差分。
二阶前向差分
[x(n)] 2 x(n) x(n 1) x(n) x(n 2) 2 x(n 1) x(n)
(2)与取样序列的卷积
f (n) (n) f (n)
f (n) (n m) f (n m)
(3)卷积的时移性质
f (n) f1 (n) f 2 (n)
f (n m) f1 (n m) f 2 (n) f1 (n) f 2 (n m)
f (n m N ) f1 (n m) f 2 (n N )
(4)序列与 u (n) 的卷积
f (n) u (n)
i
f (i)
n
5）卷积和的计算 (1)图解法-----与连续信号卷积机理类似 (2)竖乘法-------有限长序列 具体方法：将两个序列排成两行，按普通 的乘法运算进行相乘，但中间结果不进位， 最后将同一列的中间结果进行相加得到卷积 和序列 序列号的确定：相乘的2个序列值的序号之 和等于卷积和的序列号 (3)定义求法 (4)利用Z变换求法
(n )
1 … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … n
图 2 δ(n)序列
这是最常用、最重要的一种序列，它在离散 时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的 单位冲激函数δ(t)。 注意：δ(t) 与δ(n) 的区别
• δ(n-m)只有在n= m时取确定值1，而其余点 取值均为零
f1 (n) 2(1)n n (, )
⑵序列集合形式
f1 (n) , 2, 2, 2, 2, 2, 2,
箭头标记出n=0的位置
⑶图形形式：用信号的波形来表示
一、 序列的运算
与连续信号处理类似，在离散信号处理中， 也需要对离散信号进行运算。
2 n 1 , n ≥ 1 x ( n) n＜ 1 0,
计算序列的和4x(n)。 解：
2 4 x ( n) 0,
n 1
, n ≥ 1 n＜ 1
6、离散信号的差分： 相邻两个序列值的变化率就是这两个序列 之差，故为差分运算。 一阶向前差分：
f (k ) f (k 1) f (k )