3-1单自由度体系结构的地震反应07

§3.1 概述
• 地震反应的求解：结构动力学方法 ①拟静力法—等效荷载法(主要)
通过反应谱理论将地震作用以等效荷 载的方法来表示,用静力分析的方法对 结构进行内力和位移计算,以验算结构 的抗震承载力和变形. 反应谱指结构最大地震反应与结构自 震周期的关系曲线,常用加速度反应谱.
• ②直接动力法—时程分析法(补充)
建筑结构系列电子教案
建筑结构抗震设计
Reinforced Concrete Structure
3. 地震作用与结构抗震验算
Seismic Reaction of Single-freedom Structure 主讲：沙勇 2012－11
第三章 地震作用与结构抗震验算
§3.1 概述
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
§3.3 单自由度体系的水平地震作用及反应 谱 §3.4 多自由度体系地震反应分析的震型分 解法 §3.5 多自由度体系的水平地震作用
第三章 地震作用与结构抗震验算
§3.6 底部剪力法 §3.7 结构基本周期的近似计算
§3.8 平动扭转耦联振动时结构的抗震验算
§3.9 竖向地震作用计算 §3.10 建筑结构抗震验算
沙勇201211编辑ppt第三章地震作用与结构抗震验算31概述32单自由度体系的地震反应分析33单自由度体系的水平地震作用及反应34多自由度体系地震反应分析的震型分解法35多自由度体系的水平地震作用编辑ppt36底部剪力法37结构基本周期的近似计算38平动扭转耦联振动时结构的抗震验算39竖向地震作用计算310建筑结构抗震验算第三章地震作用与结构抗震验算编辑ppt31概述地震作用
c c 由 1 得：c cr 2 m k 2m 2 m k
Cr---临界阻尼系数， C---阻尼系数，
c （阻尼比） cr
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
' 1 2
实际结构：ξ=0.01~0.1：常取0.05 近似取：

'
T T
'
单自由度体系自振周期
(t ) 0 (t ) cx (t ) kx (t ) m x x
(t ) 0 (t ) kx(t ) m x x
由 x(t )
k 0 (t ) (t ) x(t ) 2 x(t ) a(t ) x x m t

由于实际结构：ξ=0.01~0.1：常取0.05 所以可以近似取：
'

t
特解 x(t )
0
1
0 ( )e (t ) sin (t )d x
运动方程的解答=通解+特解 通解：
x(t ) e
t
( x(0) cos t
'
(0) x(0) x

已知T、ξ，可由反应谱曲线查出Sa，从而确定 地震力 F=mSa
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
三、标准反应谱
0 max x F mS a mg g
S a Gk x 0 max
动力系数 Sa 0 x
max
地震系数 k
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
xt
二、运动方程
S t kx (t ) (t ) Dt cx (t ) g (t )] F t m[ x x
S
D F
根据达朗贝尔原理
x0 t
S t Dt F t 0 (t ) 0 (t ) cx (t ) kx (t ) 0 m x x (t ) cx (t ) kx (t ) m 0 (t ) m x x c k 0 (t ) x(t ) x(t ) x(t ) x m m
m T 2 k
T 2
自振周期是结构的固有属性

§3.2 单自由度体系的地震反应分析
3、受迫振动---特解 由杜哈梅积分得:
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) 0 (t ) x x
1 t 0 ( )e (t ) sin (t )d x(t ) x 0
1
t
0 e t sin t d x
t
x(t )
0
1
( t ) x0 ( )e sin (t )d
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
(t ) 0 (t ) cx (t ) kx(t ) 0 m x x
2 sin (t )d T
得:maxmax源自标准地震影响系数α曲线的确定

2 1 T g

t
0
0 ( )e x

2 ( t ) T
0

t
最大绝对加速度sa
S a a(t ) max
2 Sa T

t
0
( t ) x0 ( )e sin (t )d max

t
0
0 ( )e (t ) sin (t )d x
max
水平地震作用：F=mSa
• 2.震中距的影响：烈度相同时，震中距较远时， 峰值对应较长周期。
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
Sa T关系曲线，或 四、设计反应谱 g 地震影响系数 T曲线 • 《抗震规范》在大量计算的基础上，引入地震影响系数α。
• 定义：作用于单质点弹性体系上的水平地震力与该质点的重 力之比；F= αG
力求解转换为简单的查图表方式，利用体系自振周期直接 获得最大加速度反应。是目前地震作用计算理论的基础。
加速度反应谱曲线确定过程：
0 ( )和 ,可得S a T曲线， 给定 x 对于不同的 ，可得不同的 S a T的曲线 见图示：
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 加速度反应谱曲线特点： 1.多蜂值曲线，ξ=0时，峰值最大，ξ越大， 峰值越小； 2.当T较小时，达到峰值，之后，Sa逐渐衰 减。
令
k ， m
c 2 ，得 0 (t ) x ( t ) 2 x ( t ) x ( t ) x 2m
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
三、运动方程的解答
解答=齐次通解+特解
(t ) 2x (t ) 2 x(t ) 0 (t ) x x
0 x
max
g
地震系数
1.地震系数:
k 0 x
max
g
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大， 因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。 地震烈度与地震系数的关系 地震烈度 地震系数k
6 0.05
7
8
9
0.1 0.2 0.40 （0.15）（0.30）
特解： x(t )
0
1
t
( t ) x0 ( )e sin (t )d
'
sin 't )
运动方程的解答:
x(t ) e
t
( x(0) cos t
'
(0) x(0) x

'
sin t )
'
0 注:特解即为单自由度体系地震位移反应计算公式
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
二、地震反应谱
反应谱指结构最大地震反应与结构自震周期的关系曲线,常用 加速度反应谱. 2 t 0 ( )e (t ) sin (t )d S a a(t ) max x T 0 max

加速度反应谱曲线：一系列Sa---T曲线。即单自由度体系在给定的 地震作用下最大加速度与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地 震反应谱。加速度反应谱曲线将地震作用计算从复杂的动
t 0 (t ) 得 a(t ) x0 ( )e sin(t )d
0
1
0 ( )e (t ) sin(t )d x
§3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
0 ( )e (t ) sin(t )d a(t ) x
1 自振频率为： f T 2 2 2f 自振圆频率为： T
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
有阻尼时（ξ≠0）： 自振周期为：
T
'
'
2

'
2
T T
'
阻尼比越大 自振周期越 长。 自振圆频率 越短，
自振频率为： 1

'
当：ξ=1时，ω’=0，表明结构不振动
通过对动力方程采用逐步积分法求解 出地震反应与时间的关系曲线,这条曲 线称为时程曲线.
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
一、计算简图
假定：
1.近似认为全部 质量集中在屋盖；
2.墙、柱视为无 重量弹性杆。 单自由度体系：单质点只作单向振动
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
xt
二、运动方程 质点绝对位移 X (t ) x(t ) x0 (t ) 质点绝对速度
动力系数
2.动力系数:

Sa 0 x
max
• 动力系数是单质点体系最大绝对加速度与地面运动 加速度峰值的比值。 • 表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面 运动最大加速度放大了多倍。 • 动力系数与地震烈度无关
动力系数
2.动力系数: 0 max x 2 t 0 ( )e (t ) sin (t )d S a a(t ) max x T 0 2 t ( t ) 2 1 2 T sin (t )d x0 ( )e
S
D F
(t ) x (t ) x 0 (t ) X
质点绝对加速度
(t ) (t ) 0 (t ) X x x
x0 t
弹性恢复力 S t kx (t ) 阻尼力 Dt cx (t ) (t ) 0 (t )] x x 惯性力 F t m[
§3.1 概述
• 地震作用:由地面的强迫振动在结构 上产生的惯性力.
地震作用属于间接作用,不应该称为 “地震荷载”. • 地震作用效应：是指在地震作用下 在结构中产生的内力和变形,主要有 弯矩、剪力、轴向力和位移等. • 地震反应：地震引起的结构振动,包 括地震在结构中引起的位移、速度、
加速度和内力等.
• 由《抗震规范》可直接查得地震影响系数α，从而可方便地 求得单质点体系的水平地震作用。
Sa Sa F mSa mg G g g
2 1 由 T g x 0
x0 ( )e
0 g
t

2 (t ) T
0 max x Sa Sa k 0 max g g x
2 1.自由振动方程---通解: x(t ) 2x(t ) x(t ) 0
(0) x(0) ' 求解得： x(t ) e t [ x(0) cos 't x sin t ] '

c c k 1 2m 2 m k m 当 0时，无阻尼， (0) x x(t ) x(0) cos t sint
Sa

max
0 T x
max
0
T
max
β -T曲线又称动力系数 反应谱曲线（β谱曲线） 其特点见P29
标准反应谱
3.标准反应谱:
• 标准反应谱是有代表性的平均反应谱曲线。
影响反应谱曲线的因素：场地土的特性，震级，震中距
标准反应谱
• 1.场地的影响：当结构的自振周期和场地周期 （卓越周期）接近时，β最大，地震反应最强 烈，类似共振 • 土越软，峰值周期越大
2

§3.2 单自由度体系的地震反应分析
有阻尼自由振动位移时程曲线 体系的阻尼比越大，振幅的衰减越快 在抗震结构中，设置阻尼较大的部件可以增大结构的阻 尼比，减小结构的地震反应。
§3.2 单自由度体系的地震反应分析
2. 自振周期和自振频率 2 无阻尼时（ξ=0）： 自振周期为：T