《26.4 解直角三角形的应用 第一课时》优质课件

课堂练习
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC －∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x ＝3x，∴BC＝ BE2 EC2 (2x)2 x2 3 . 由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60， ∴△ACD 为等腰直角三角形．∴AC＝DC. ∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10 3 . ∴DE＝2x＝60＋20 3. 答：塔ED 的高为(60＋20 3 )m.
的坡度是
3 4
，坡角为α，在与山脚C
距离200
m
的点D 处测得山顶A的仰角为 26.6°，求小山岗的高．(结果精确到1 m，参
考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50)
典例精析
导引：设小山岗的高为x m，由题意得tan α＝ AB 3 .
又在Rt△ABD 中，tan 26.6°＝ AB ,
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5.如图所示，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A测得正前方的 桥的左端点P 的俯角为α，其中tan α＝2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为500 3米，桥的长度为1 255米． (1)求点H 到桥左端点P 的距离； (2)若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求 这架无人机的长度AB.
BC tan 30
＝1 500.
∵PQ＝1 255，∴CP＝245.∵HP＝250，
∴AB＝HC＝HP－CP＝250－245＝5(米)．
答：这架上的塔ED 的高，他在山下的点A 处测 得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进60 m 到达山脚点B，测得 塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度． (结果保留根号)
| 第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时
情境导入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 三种，重叠、向上、和向下
探索新知
知识点 1 仰角的应用 定义： 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐 角称为仰角．
典例精析
例1
如图小山岗的斜坡AC
甲：我站在N 处看塔顶，仰角为60°. 乙：我站在M 处看塔顶，仰角为30°. 甲：我们的身高都是1.5 m. 乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据 两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1 m)．
典例精析
解：由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20 m，
AM＝BN＝DP＝1.5 m．
BC 4
BD
而BD＝BC＋CD，由此可得关于x 的方程，
从而解得AB 的长．
典例精析
解：设小山岗的高为x m，
在Rt△ABC 中，由题意得 tan α＝BACB
x BC
3, 4
∴BC＝ 4 x m . 3
∴BD＝DC＋BC＝ 200 4 x m.
3
在Rt△ABD 中，tan ∠ADB＝tan 26.6°＝ AB , BD
典例精析
导引：过点A作AD⊥BC 于点D，热气球离地面的高度即为AD 的 长．利用BC 长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构造出 Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．
解： 如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°， ∠ACD＝35°，BC＝100 m. x ∵设BCA＝DC＝Dx－mB，D则，B∴Dt＝anAx3D5＝ －x mx＝，1C0D0.＝tan 35 m. ∴x≈233. 答：热气球离地面的高度约为233 m.
在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.
∴∠ACB＝∠CAB. ∴BC＝AB＝20 m．
在Rt△CBD 中，BC＝20 m，∠CBD＝60°，
sin
∠CBD＝
CD BC
,
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin 60°＝20×
3 2
10 (3m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 3＋1.5≈19(m)．
30
A. tan m B．30sin α m C．30tan α m D．30cos α m
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2 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景 线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔 AB 底部50 m的C 处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量 仪器CD 的高度为1 m，则桥塔AB 的高度约为( C )(参考数据：sin 41.5°≈0.663， cos 41.5°≈0.749， tan 41.5°≈0.885) A．34 m B．38 m C．45 m D．50 m
∴x 200 4 x
0.50.解得x≈300，即小山岗的高约为 300 m.
3
探索新知
总结
与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法： 首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角
形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借 助计算器求出要求的量．
典例精析
例2 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物 馆”．下面是两位同学的一段对话：
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3.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先 在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后 爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°. 已知楼房 高AB 约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 ___1_3_5___m.
课堂练习
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2.如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情， 相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海 巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3 000 m的高空C 处时，测 得A处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此 时渔政船和渔船的距离AB是( C ) A．3 000 3 m B．3 000( 3 ＋1)m C．3 000( 3 －1)m D．1 500 3 m
4.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处 安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得 点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为 (结果精确到0.1米， 2≈1.414)( C ) A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
答：白塔的高度约为19 m.
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总结
从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来表示这两个 不同位置到被测物底部的距离．然后利用两次测量的不同位 置之间的距离来解决问题．
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1 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底 端30 m的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA的高 度为( C )
探索新知
总结
从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有 距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置 之间的距离列方程来解决问题．
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1 如图，某飞机在空中A 处探测到它的正 下方地平面上目标C，此 时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝ 30°，则飞机A与指挥台B 的距离为( D ) A．1 200 m B．1 200 2 m C．1 200 3m D．2 400 m
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2 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B 处的仰 角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平 距离为120 m，则这栋楼的高度为( A ) A．160 3 m B．120 3 m C．300 m D．160 2 m
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1.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与 摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是 其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的 仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在的直线 的距离约为(tan 33°≈0.65，tan 21°≈0.38)( B ) A．169米 B．204米 C．240米 D．407米
探索新知
知识点 2 俯角的应用 定义：
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．
典例精析
例3 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC， 并测得B， C 两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC 与地面在同一水 平面上，其长度为100 m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整 数．参考数据：sin 35°≈0.574，cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700)
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法： (1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是 不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际 问题抽象为数学问题． (2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边， 利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度． (3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的 数量关系归结到直角三角形中来求解．
课堂练习
解：(1)在Rt△AHP 中，∵AH＝500 3 ，tan∠APH＝tan α
＝
AH HP
500 3 HP
2
3，∴HP＝250(米)．
答：点H 到桥左端点P 的距离为250米．
(2)如图，过点B 作BC⊥HQ 于点C.
在Rt△BCQ 中，∵BC＝AH＝500 3 ，
∠BQC＝30°，∴CQ＝