2.1 等式性质与不等式性质练习题(含答案)

课时跟踪检测（八） 等式性质与不等式性质

A 级——学考合格性考试达标练

1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )

A ．30x －60≥400

B ．30x ＋60≥400

C ．30x －60≤400

D ．30x ＋40≤400

解析：选B x 个月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.

2．若ab cd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( )

A ．b ＜0，c ＜0

B ．b ＞0，c ＞0

C ．b ＞0，c ＜0

D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0

解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且ab cd ＜0，知b c ＞0，

又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.

3．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )

A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c

B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b

C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b d

D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b

解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.

4．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M <N

B ．M >N

C ．M ＝N

D ．M ≥N 解析：选B ∵0<a 1<1，0<a 2<1，

∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，

∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)

＝a 1a 2－a 1－a 2＋1

＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)

＝(a 1－1)(a 2－1)>0，

∴M >N .

5．设0<α<90°，0≤β≤90°，则2α－β3的范围是( )

A ．0<2α－

β3<150° B ．－30°<2α－β3<150° C ．0<2α－β3<180° D ．－30°<2α－β3<180° 解析：选D 由已知，得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，

∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3

＜π. 6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b

成立的是________． 解析：1a <1b ⇔b －a ab

<0，所以①②④能使它成立． 答案：①②④

7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.

解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]

＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4

＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，

故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.

答案：＞

8．已知三个不等式①ab >0；②c a >d b

；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．

解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)

由②得bc －ad ab

>0，又由③得bc －ad >0，所以ab >0⇒①. 所以可以组成3个正确命题．

答案：3

9．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．

解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，

所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，

所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .

10．设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y

＋xy . 证明：因为x ≥1，y ≥1，所以xy ≥1，

所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y

＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上面不等式中的右端减左端，得

[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]

＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]

＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)

＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)

＝(xy －1)(x －1)(y －1)．

因为x ≥1，y ≥1，xy ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．

B 级——面向全国卷高考高分练

1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( )

A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)

B.⎩

⎪⎨⎪⎧v ≤120（km/h ）d ≥10 （m ） C ．v ≤120 (km/h)

D ．d ≥10 (m)

解析：选B 最大限速与车距是同时的，故选B.

2．(2019·郑州实验中学模考)若1a <1b

<0，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 2<b 2

B ．ab <b 2

C ．a ＋b <0

D ．|a |＋|b |>|a ＋b |

解析：选D 因为1a <1b

<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A 、B 、C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选D.

3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )

A ．－2<α－β<0

B ．－2<α－β<－1

C ．－1<α－β<0

D ．－1<α－β<1

解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，

∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.

4．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( )

A ．a ＋1b >b ＋1a

B ．a ＋1a ≥b ＋1b C.b a >b ＋1a ＋1 D ．b －1b >a －1a

解析：选A 因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a

，故选A. 5．已知|a |＜1，则11＋a

与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.