高中数学素材——均值不等式柯西不等式

高中数学素材——均值不等式柯西不等式三个重要的不等式
——均值不等式、柯西不等式、排序不等式
【知识聚焦】
1.【均值不等式】
设a1,a2,a3,,an是n个正数，则有
a1a2a3an
n
aa2a3an时取等号。

设a1,a2,a3,,an是n个正数，则有
a1a2an
n
n
1a1
1a2
1an
即：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数
特别地，
min{a,b}
21a
2
1b
ab2
ma某{a,b}
ab2，a2b21(ab)2常用变式结构：abab，，a2abab()
22b2
2．【柯西不等式】
设ai,biR(i1,2,,n)，则有
2222222
(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)，
22
若bi0则等号当且仅当a1a2an时成立；若bi0则规定对应的ai0。

b1
b2
bn
两个变式结构：当ai与bi(i1,2,,n)同号时，
a1b1
a2b2
anbn
(a1a2an)
2
，
a1
a1b1a2b2anbn
(aa2an)
1b1b2bnb1b2bn
2
a2
2
an
22
3.【排序不等式】
给定两组实数ai,biR(i1,2,,n)，如果a1a2an,b1b2bn，则：
a1bna2bn1anb1a1bi1a2bi2anbina1b1a2b2anbn
（反序和）（乱序和）（顺序和）其中i1,i2.,in是1，，2,n的一个排列，当且仅当a1=a2==an,b1=b2==bn取等号。

【名题精析】
（IMO-36试题）设a,b,cR,abc1。

求证：
1a(bc)
3
1b(ca)
3
1c(ab)
3
32
法一：构造均值定理
法二：均值定理变式应用
法三：构造柯西不等式。