河北省衡水第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案

衡水市第二中学15—16学年上学期期中考试
高二年级数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在复平面内复数（a>0），已知则=（）
A．i B．-i C．-1 D．1
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
4. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）
A．种 B．种 C．种D．种
）
A． B． C． D．
6.中，角成等差数列是成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为（）
A． B． C． D．326
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
9.八人分乘三辆小车，每辆小车至少载人最多载人，不同坐法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
10.已知数列满足，则=（）
A． B． C． D．
11.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）
（A）12 （B）24（C）30 （D）36
1.已知定义在上的奇函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则的值为
14. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现．则四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度W=．
15. 已知函数，则
16.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．
18.（本小题12分）已知函数．
（1）设，且，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．
19. （本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，．
（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值。

20．（本小题12分）设是数列的前项和，．
（1）求的通项；
（2）设，求数列的前项和．
21. （本小题12分）已知函数f（x）=x（x+a）-lnx，其中a为常数． （1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围；
（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由． 22．(本小题满分12分)已知函数.
（1）判断函数的单调性;
（2）若,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
高二年级期中考试数学（理）答案
一、1．D 2.B 3. B 4. C 5.A 6. A．7．C 8．D 9. C 10. 11.C 12.C
二、13. 或 14. 15. 16.-3．
17. （本小题10分）解：（Ⅰ）不等式，即，即，
即，求得它的解集为．--------------5分
（Ⅱ），故的最小值为，
根据，使得，可得，即，求得．-------------10分
18. （本小题12分）解：（1）f（x）＝2cos2－2sincos＝（1＋cosx）－sinx＝2cos＋．由2cos＋＝＋1，得cos＝． -------------3分
于是k∈Z），因为∈，所以 -------------6分
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C＝．因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b．由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7．②由①②可得或于是a＋b＝2＋．
由正弦定理得所以sinA＋sinB＝（a＋b）＝1＋．-------------12分
19. （本小题12分）解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，
且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；---------------4分
（Ⅱ）解：在中，由已知得，，，则，
∴，即，又，∴平面；----------------6分
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0,0,0）， C（－2, ,0），D（－1,0,0），P（0,0, ），则＝（1,0, ），＝（－1, ,0），
由题意可设平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，
由已知得：令y＝1，则，z＝－1，∴；
则，所以，由题意知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．------------------------12分
20．（本小题12分）解：（1）时，，
整理得，，∴数列是以2为公差的等差数列，其首项为．----------------4分
------6分
（2）由（1）知，
． --------------12分
21. （本小题12分）解：（1）当a=-1时，，
所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增．于是f（x）有极小值，无极大值．------------4分
（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解，即或，解得实数a的取值范围是．------8分
（3）设切点，则切线方程为．
因为过原点，所以，化简得（※）．
设，则，所以在区间内单调递增．又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条．-----------12分
22．(本小题满分12分)解：（1），，
当时，，则在上单调递增；-----------2分
当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增． - ----------4分
（2）不妨先证明，即，
先证，即，显然成立. ------------6分
再证，只需证，
设，
则，
即，得证. -----------8分
由当时，则在上单调递增，可知，
当时，，又在上单调递增，，
当时，在上单调递减，与条件不符.
综上． ------------12分。