第3章 动量守恒和角动量守恒

第3章 动量守恒 角动量守恒
上一章我们研究了牛顿定律，特别是牛顿第二定律给出了力的瞬时作用规律。

实际上，力对物体的作用总是要延续一段时间。

在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。

力的时间积累效应的规律，就是动量定理。

把动量定理应用于质点系，导出一个重要的守恒定律——动量守恒定律。

对用于质点系，引入质心的概念，并说明了外力和质心运动的关系。

然后，研究和动量概念相关的、描述物体转动特征的重要的物理量——角动量。

在牛顿第二定律的基础上，导出角动量变化率和外力矩的关系——角动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律——角动量守恒定律。

动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理和能量定理深刻反映了机械运动与其他运动形式相互转化之间的关系，具有普遍的意义，它们是自然界最基本、最普遍的规律。

这一章我们着重研究动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理。

3.1 冲量与动量定理
3.1.1 冲量
物体运动状态的变化必须在物体运动的过程中受到力的作用，力作用到质点上，可以使质点的动量或速度发生变化。

在许多实际情况下，我们要考虑力按时间积累的效果。

这一效果可以直接从牛顿第二定律得出：
1、牛顿第二定律的微分形式
P d dt F = （3.1-1）
式中乘积dt F 就表示力在时间dt 内的积累量，叫做在时间dt 内质点所受合外力的冲量。

此式表明：在时间dt 内质点所受合外力的冲量等于在同一时间内质点动量的增量。

这一关系叫做动量定理的微分形式，实际上是牛顿第二定律公式数学形式的变化。

2、冲量的定义
将（3.1-1）式两边对1t 到2t 这段时间积分，则有
⎰⎰=
2
1
2
1
t t P P P d dt F （3.1-2）
， 将 dt F I t t ⎰=2
1
（3.1-3）
称为质点的冲量。

3.1.2 质点的动量定理
（3.1-3）式表示在1t 到2t 这段时间内合力的冲量。

（3.1-3）式的物理意义是：在1t 到2t 这段时间内，合外力作用在质点上的冲量等于质点在该时间间隔内的动量的增量，这就是质点的动量定理。

其数学表达式为：
1212
2
1
2
1
v m v m P P
P d dt F P P t t -=-==⎰⎰ （3.1-4）
冲量I 是矢量，一般地说，冲量的方向并不与动量的方向相同，而是与动量的增量方向相同。

（3.1-4）式是动量定理的矢量表达式，写成直角坐标系的分量式为
⎰=
2
1
t t x
x dt F
I ，⎰=
2
1
t t y
y dt F
I ，⎰=
2
1
t t z
z dt F
I （3.1-5）
在国际单位制中，冲量、动量的单位是 牛顿·秒 或 公斤·米/秒，用符号 N ·s 或 s m kg /∙ 表示。

动量定理在打击和碰撞等问题中特别有用，在打击和碰撞的极短时间内物体间的相互作用力称为冲力，其特点是作用时间极短，大小随时间而激剧变化。

冲力随时间变化的情况往往很复杂，有时无法知道冲力与时间的函数的关系。

因此，引入平均冲量的概念，将其定义为：
1
21
21
22
1
1t t mv mv dt F t t F t t x x --=
-=
⎰
式中x F 为X 轴方向上的平均冲力。

同样可以定义Y 轴、Z 轴方向上的平均冲力y F 和z F 。

因此，虽然无法确定每一瞬时的冲力，但是都可以通过测定冲力作用前后质点的动量。

利用动量定理求出质点受到的冲力，却可以通过测定冲力作用前后质点的动量，利用动量定理求出质点受到的冲量。

冲力示意图如图 3.1-1所示。

图中曲线就是冲力随时间变化的示意图，直线为平均冲力，曲线下面积与直线下面积相等，均为冲力在21t t →时间的冲量。

图3.1-1
例3.1-2、有一冲力作用在质量为0.3kg 的物体上，物体最初处于静止状态。

已知力的大小F 与时间的关系为 ，02.00,105.2)(4≤≤⨯=t t t F 和
07
.002.0,)07.0(100.2)(2
5
≤≤-⨯=t t t F ，式中F 的单位为N ，t 的单位为s 。

求
1、上述时间内的冲量和平均冲量的大小；
2、物体末速度的大小。

解题思路：由冲量、平均冲量的定义式和动量定理进行求解。

解：1、由冲量的定义式
有 )(3.13)07.0(100.2100.22
07
.002
.0502
.00
4
s N dt t tdt I ∙=-⨯+
⨯=
⎰⎰
平均冲量的大小为 )
(19000.007.03.131
2N t t I F =-=
-=
2、物体末速度的大小为 )/(3.443
.03.130.012s m m
I v v =+
=+
=。

由于动量定理的应用比较多的场合是在打击和碰撞过程中出现。

因此，有些同学常常认为只有打击和碰撞这类问题才有动量问题。

为了使同学们思路开阔一些，除了强调在打击或碰撞这类问题中动量定理的应用以外，再分析一些其它的例子，使学生对动量、冲量和动量定理有进一步的理解可能是有意义的。

*例3.1-2 如图3.1-2所示,质量为m 的物体做圆锥摆运动,其速率为v ,圆半径为R , 圆锥的夹角为θ。

分析：（1）、质点绕行半周，作用在质点上中力的冲量mg I ；
（2）、质点由a 到b 绕行半周，绳的张力T 的冲量。

解：因为质点作圆周运动运动的周期为T=
v
R π2，重力是恒力，所以质点绕行半周，
作用在质点上中力的冲量为 v
R mg T mg
I mg π
==2，方向向下。

（2）、因为质点做圆周运动，绳中的张力θ
cos mg F =，虽然张力的大小不变，
图3.1-2
但是张力的方向随其运动不断地变化，张力的冲量不等于2
T F ⨯
，为了计算张
力的冲量，先把张力分解为水平和垂直两个分量：r z T F F F +=，
所以张力的冲量⎰⎰+=+=b
a
b
a
Fr Fz r z F I I dt F dt F I ；又因为z F 的大小和方向都不
变，所以v
R mg T F T F I z
Fz π
θ
===2
cos 2
，与重力的冲量大小相等，方向相反。

张力的冲量r I 有两种解法：一是矢量叠加法；二是动量定理法。

下面用动量定理法求解：∵b a b F mg mv v m v m I I 2=-=+，P b F I v m I -=2
如图3.1-3所示，在矢量三角形中，有： 2
2
2
2)()2()2(v
R mg mv I mv I P
b F π
+=+=
Rg
v
I mv tg P
πϕ2
22=
=
例3.1-3 如图3.1-4所示，传送带以3 m/s 的速率水平向右运动，砂子从
高h =0.8 m 处落到传送带上,即随之一起运动.求传送带给砂子的作用力的方向．
（g 取10 m/s 2） 解：设沙子落到传送带时的速度为1v ，随传送带一起运动的速度为2v
，则取直角坐标系，x 轴水平向右，y 轴向
上．i v j v 3,421=-==
设质量为∆m 的砂子在∆t 时间内平均受力为F
,则
)3(j i t
m t m m t p F
4+∆∆=∆⨯∆-⨯∆=∆∆=12v v ,
由此式即可得到砂子所受平均力的方向,设力与x 轴的夹角为α则tg =α-1(4/3)= 53°,力方向斜向上。

图3.1-3
图3.1-4
3.1.3 质点系的动量定理
* 1、 质心动量
质心是力学一个重要的概念，涉及到质点系动力学问题都回避不了这个概念。

质点系动量可以表示为质心的动量。

由动量定义
∑
∑
∑=
=
=
i
i
i
i i
i i
i i r m
dt
d dt
r d m v m P （3.1-6）
以m 表示质点系的总质量，则∑=
i
i
m
m ，质点系的动量可表示为：
dt
dr m
P c = （3.1-7）
式中 ∑∑≡i
i
i i
i
c m
r m
r （3.1-8），
此式为质心矢径的定义。

c r 与参考系有关，可以证明由（3.1-8）式所确定的质心C 点，相对于一定质量分
布的质点系是完全确定的。

质心是质点系的物理量，它是由质点系的质量决定的，与其质量分布有关，是质点的位矢对质量的加权平均。

（3.1-7）式中
dt
r d c 是质心运动速度，用c v 表示，则
c v m P = （3.1-9）
可见，我们可以把质点系的动量看成是这样一个“质点”的动量，这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心速度运动。

2、质点系动量定理：
系统外的质点对系统内的质点的作用称为外力，系统内质点之间的相互作用力称为内力。

为了简单起见，我们先讨论由两个质点所组成的系统。

设两质点的质量分别为1m 和2m ，在碰撞时间
12t t t -=∆内，除内力12F 和21F 外，还分
别受到外力1F 和2F 的作用，如图
3.1-5
图3.1-5
所示。

则两质点所受力的冲量和动量分别为：
⎰-=+2
1
10111121)(t t v m v m dt F F ，⎰-=+2
1
20222212)(t t v m v m dt F F ，
将两式相加，有
⎰+2
1
)(121
t t dt F F
+)()()(20210122112122
1
v m v m v m v m dt F F t t +-+=+⎰
由牛顿第三定律可知：12F 和21F 是系统的内力，应满足12F =-21F ，所以上式变成
)()()(202101221121
2
1
v m v m v m v m dt F F
t t +-+=+⎰ （3.1-10）
（3.1-10）式表明：作用在两个质点组成的系统的外力的矢量和的冲量等于系统内两质点动量的增量。

把这一结论推广到有n 个质点组成的质点系统，（3.1-10）式写成
⎰∑∑==-
=
n
i i n
i i
i i
v m
v m
dt F
1
1
外
， 即
0P P I -= （3.1-11）
P 和0P 分别表示系统的末动量和初动量，上式表明：作用于系统的外力的矢
量和的冲量等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定理。

*3、质心运动定律：作用在质点系上的合外力等于质点系质量m 与质心加速度c a 的乘积。

c i
i v m d dt F
()=∑外
， ∑
==
i
c c i a m dt
v m d F )(外 （3.1-12）
（3.1-12）式的质心运动定律也可以从牛顿运动定律导出。

3.2 动量守恒定律
动量守恒定律是物理学中普遍适用的几个守恒定律之一，在经典力学范围内，这个定律可由动量定理直接推导出来。

由
⎰∑∑==-
=
n
i i n
i i
i i
v m
v m
dt F
1
1
外
，
若外F =0，则有
∑==
n
i i
i
v m
P 1
= 恒矢量 （3.2-1）
上式说明：如果系统运动过程中所受外力的矢量和为零，则系统的总动量保持不变，这一结论就是动量守恒定律。

应用动量守恒定律解决力学问题时，可以不考虑系统在内力作用下发生的复杂变化，只需研究变化前后系统的总动量，因此可带来很大的方便。

应用动量守恒定律应注意以下几点：
1、系统动量守恒的条件是：∑=0外F ，即系统所受外力的矢量和为零。

在一些实际问题中，系统所受外力的矢量和虽然不为零。

但是，却远远地小于内力，这时仍然可视为满足动量守恒的条件。

比如：碰撞、爆炸、冲击等过程；
2、动量守恒是矢量守恒，具体应用时可用直角坐标分量式：
∑==
n
i ix
i x v m P 1
=恒量，外力0=∑x
F ；∑==
n
i iy
i y v m P 1
=恒量，外力0=∑y
F ；
∑==
n
i iz
i z v m P 1
=恒量 ，外力0=∑z
F （3.2-2）
若系统所受外力矢量和不为零，但是在某个方向上的分量为零，虽然系统的总动量不守恒，但是在该方向上动量的分量守恒；
3、动量具有相对性。

动量守恒定律中所涉及的动量都是相对于同一惯性系的，对不同的惯性系，同一物体的动量是不相同的；
4、在系统所受外力矢量和为零的情况下，虽然系统的总动量不变。

但是，由于系统内各物体间内力的作用，各物体的动量都要发生转移、各物体的动量的大小和方向都可能变化。

动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一，动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律导出的。

但是，近代的科学实验和理论分析都表明：在自然界中，大到天体间的相互作用，小到质子、中子、电子等基本粒子间的相互作用，动量守恒定律都适用；而在原子、原子核等微观领域中，牛顿运动定律却不适用了。

因此，动量守恒定律比牛顿定律运用更加广泛。

碰撞问题
当两个质点（物体）相互接近时（不一定接触），它们的运动发生了变化，称为碰撞。

若碰撞前后两物体总动能没有损失的碰撞，叫弹性碰撞。

牛顿总结了各种碰撞实验的结果，提出碰撞定律：碰撞后两个质点的分离速度（12v v -）与碰撞前两个质点的接近速度（2010v v -）成正比，比值由它们的质量决定，且
20
1012v v v v e --=
（4.5-1）
通常称e 为恢复系数。

1、当e=1时，有2v v -=2010v v -，通常称为完全弹性碰撞，简称弹性碰撞；
2、当e=0时，有12v v =，即碰撞后，两质点不分离，常称为完全非弹性碰撞；
3、当0<e <1时，碰撞称为非弹性碰撞。

碰撞过程一般都非常复杂，难以对过程进行仔细分析。

但是，我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用往往可以忽略，因而我们就可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。

例 3.2-1、设大炮在水平光滑地面上发射炮弹，炮弹离开炮口时对地的速率为0v ，仰角为θ，炮弹质量为1m ，炮身质量为2m 。

1、求大炮反冲的水平速度？
2、若发射的时间为Δt （从击发到炮弹离开炮筒），求大炮对地面的压力？ 解题思路：将大炮和炮弹所组成的系统（质点系）作为研究对象，对该系统进行受力分析。

虽然，在发射的过程中，系统受到重力g m 1、g m 2和地面对系统的平均压力N F ，质点系所受的合外力不为零， 如图3.2-2所示。

但是，在水平方向上，无摩擦力， 系统所受的合外力为零，故动量沿X 坐标轴的分量守恒； 由动量定理可知：沿Y 轴方向作用在质点上的合外力 的冲量等于质点的动量的增量（近似地认为炮身不动）。

解题 1、求大炮反冲的水平速度v ？ 动量沿X 坐标轴的分量守恒
0cos 201=+v m v m θ，
θcos 2
01m v m v -
=，式中负号表示v 与X 轴反向；
2、求大炮对地面的压力？
由动量定理可知：沿Y 轴方向作用在质点上的合外力的冲量等于质点的动量的增量
θsin )(0112v m t g m g m F N =∆--，g m m t
v m F N )(sin 2101++∆=
θ
大跑对地面的压力是N F 的反作用力，其数值即为上式所表示的，可见在发射过程中，大跑对地面的平均压力增加了
t
v m ∆θ
sin 01。

图3.2-1
例 3.2-2 完全非弹性碰撞 两个物体碰撞后如果不分开，这样的碰撞叫做完全非弹性碰撞。

设有两个物体，它们的质量分别为1m 和2m ，碰撞前两者的速度分别为1v 和2v ，碰撞后合在一起，求由于碰撞而损失的动能。

解：选这个物体组成一个系统，无外力作用，动量守恒， 令碰撞后的速度为v ，则有：
v m m v m v m )(212211+=+，
解得： 2
12
211m m v m v m v ++=
——质心速度c v
损失的动能（转化其他形式的能量）：
2
212
222
11)(2
12
121v
m m v m v m E k +-
+
=
∆。

例3.2-3、利用守恒定律解碰撞问题 当两个物体相互接近时（不一定接触），它们的运动发生了变化，称为碰撞。

若碰撞前后两物体总动能没有损失的碰撞，叫弹性碰撞（弹弓效应）。

如图3.2-2所示，土星的质量为kg m 2621067.5⨯=，以相对太阳的轨道速率20v = 9.6km/s 运行，一空间探测器质量为1m = 150kg ，相对太阳的速率
s km v /4.1010=向土星飞行。

由于土星的引力，探测器绕过土星，沿和原来相
反的方向离去，求它离开土星后的速度？
解：这是一道弹性碰撞问题（动量守恒和动能守恒），X 轴方向为正。

1、动量守恒 2211202101v m v m v m v m +=+ （1） 2、动能守恒 2
2
22
112
20
22
1012
12
12
121
v m v m v m v m +
=
+
（2）
3、数理逻辑推理——联立（1）和（2）式求解
X
图3.2-2
化（1）、（2）式
1
102202
1v v v v m m +-=
（1）ˊ )
)(())((1101102022022
1v v v v v v v v m m -+-+=
（2）ˊ
（1）ˊ=（2）ˊ
210201v v v v ++= （3）
将（3）代入（1）ˊ，可得： 102
11202
11222v m m m v m m m m v +-
+-= （4）
（4）代入（3）
202
12102
11212v m m m v m m m m v ++
+-=
（5）
4、讨论：因为2m >>1m 故在（5）式 1m →0，则)/(6.29220101s km v v v =+=。

这说明探测器从土星旁绕过后，由于引力的作用而速率增大了——弹弓效应。

弹弓效应是航天技术中增大宇宙探测器速率的一种有效办法。

1989年10月发射的伽利略探测器、1990年10月发射的尤里西斯太阳探测器和1996年12月发射的“火星探路者”于1997年7月4日准时降落在火星上，这些宇宙探测器的发射都利用了弹弓效应。

美国宇航局于1997年10月15日又发射了一颗探测土星的核动力航天器，重5.67吨的“卡西尼”号。

它将航行7年，行程km 9105,3⨯，将两次掠过金星，1999年8月在900km 上空掠过地球，然后掠过木星。

在掠过这些行星时，都是利用弹弓效应加速并改变方向，最后于2004年7月进入土星轨道，开始对土星的光环系统和它的卫星进行为期4年的考察。

它所携带的“惠更斯”号探测器将在土星最大的卫星——土卫六的表面着陆，考察这颗和地球早期（45亿年前）极其相似的天体。

[火箭的飞行原理 火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。

它自带燃料与助燃剂，因而可以在空间任何地方发动。

火箭技术在近代有很大发展，火箭炮以及各种各样的导弹都有利用火箭发动机作动力。

空间技术发展更以火箭技术为基础，各式各样的人造地球卫星，飞船和空间控测器都是靠火箭发动机发射并控制航向的。

在科学史上，火箭是中国最早发明的。

我国南宋时有作为烟火玩物的“起火”，明代对多箭头的火箭以及称为“火龙出水”的二级火箭已有书籍记载。

1990年4月7日，我国成功地将亚洲1号通讯卫星送入太空，说明我国运载火箭技术成熟可靠。

“长征二号”是我国独立研制的多用途三级火箭，它长43.25米，最大直径3.35米。

起飞质量约为202吨，起飞推动力248吨，可将1.4吨重的卫星送入离地约3.6公里的地球同步转移轨道,有效载荷能力居世界第四位。

该火箭的特点是第一、二级用常规推进剂，而第三级则使用液氢，液氧推进剂，这是低温高能推进剂，它代表现代火箭技术的新水平。

2005年11月26日，在北京人大会堂举行庆祝神舟六号载人航天飞行圆满成功的大会上，胡锦涛说：中国仅用两年的时间就实现了从“一人一天”（杨立伟）到“多人多天”（费俊龙、聂海胜）的大跨度，标志着中国在发展载人航天技术方面取得了又一个里程碑意义的重大胜利。

]
3.3 质点的角动量 角动量守恒定律
3.3.1 质点的角动量
物理学中经常会遇到质点绕一定点转动的情况。

例如：行星绕太阳的运动，
原子中电子绕原子核的转动等等。

在这类转动的问题中，如果用动量来描述质
点的转动问题会很不方便，因为动量的方向随时间不断地变化。

为此，我们引
入角动量的概念，并讨论其所遵循的规律。

设质量为m 的质点，相对于某一参考点O 运动，如图3.3-1所示。

在某一
时刻，质点相对于参考点O 的位置矢量r ，其速度为v ，则质点动量为v m P =。

我们定义：质点的位置矢量r 与其动量P 的矢积为质点相对于O 点的角动量，用L 表示，即 v m r P r L ⨯=⨯= （3.3-1）
从角动量的定义，可以看出：
1、质点的角动量与参考点的选择有关，对同一质点的运动，参考点的选择
不同，其角动量不同； 2、角动量是矢量，其大小为ϕϕ,sin mVr L =为位置矢量r 与速度v 的夹角。

角动量的方向由右手螺旋法则决定，如图3.3-1（b ）所示。

在国际单位制中，角动量的单位是s m kg /2∙。

3.3.2 质点的角动量定理
质量为m 的质点，在某时刻质点的位置用矢量r 表示，r 是由惯性系中某
参考点引向质点的矢径（如图3.3-1所示）。

r 的大小和方向不仅与质点的位置有关，而且与参考点的选择有关。

用r 叉乘（矢量积）牛顿第二定律等式的两
边，则有
dt v m d r v m dt r d dt v m r d dt v m d r a m r F r )()()(⨯+⨯=⨯=⨯
=⨯=⨯， 0,=⨯=v v v dt r
d ，dt v m r d F r )(⨯=⨯，即力矩 dt L
d M = （3.3-2）
（3.3-2）式表明：质点的角动量对时间的变化率，等于质点所受的力矩，这
就是质点的角动量定理。

图3.3-1质点的角动量
关于质点的角动量定理需要注意的是：
1、角动量定理中的角动量L 和力矩M ，必须是相对于同一个参考点；
2、角动量定理与牛顿第二定律在数学形式上相互对应，即
dt L
d M F dt P
d ==,
3、微分形式
dt M L d = （3.3-3）
3、积分形式 ⎰⎰-==
t t L L L L dL Mdt 00
0 （3.3-4） 角动量定理另一表述：作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。

3.3.3 角动量守恒定律
1、角动量守恒定律
如果对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动
量矢量保持不变。

3、数学表达式 ,0=M ,0=dt L
d 或 L = 常矢量 （3.3-5）
角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自然界的一条最基本、最重要
的定律，并且在更广泛的情况下，它不依赖于牛顿定律。

关于外力矩为零，这一条件应该指出的是：由于力矩F r M ⨯=，所以它既
可能是外力为零；也可能外力不为零。

在外力不为零的情况下，任意时刻如果外力总是与质点对于固定点的矢径平行或反平行时，00sin ||=︒=rF M 。

在这
两种情况下，外力矩为零，这一
条件都是成立的。

所以，此质点
对该固定点的角动量矢量保持
不变，即角动量守恒定律成立。

下面，分别就这两种情况，
举例证明：
证明的思路和方法：从力、合
外力矩、角动量的概念和定义（定
律）出发，应用数理逻辑推理手
段，充分利用已知条件证明之。

第一种情况、分析：根据牛顿定律可知，质点所受合外力
为零时，质点作匀速直线运动，其动量为m v （恒量） ；如图3.3-2所示，S s
ˊ为质点轨迹。

质点经过任一点C 时，它对于固定点O 的角动量为
L =|v m r c ⨯|，其方向垂直于r c 和 v 所决定的平面，其大小永远为v m r ⨯⊥。

证明：从图3.3-2中可以得知，质点做匀速直线运动，其动量v m 是一个不
变的恒量，若质点位于C 点处时，其角动量为L =v m r c ⨯=αsin mv r c k ，式中k
为单位方向矢量，其垂直于位矢c r 和动量v m 所组成的平面，即质点的角动量L
图3.3-2
的方向。

在三角形OAC 中，⊥=r r c αsin ，
L =|v m r c ⨯|=|v m r ⨯⊥|；
若质点位于A 点处时，⊥=r r A 垂直v ，
sin ∠OAC = sin90º = 1，
其角动量 L =||||v m r v m r c A ⨯=⨯=|v m r ⨯⊥|，
这是一个不变的量，也就是说：质点沿直线SS ´运动时，其对固定O 点的角
动量的方向和大小保持不变，即角动量守恒，证毕。

第二种情况、行星围绕太阳运动（质点在有心力场中运动，只考究太阳对
行星的引力作用，忽略其他恒星对行星的影响），太阳对行星的引力总是与其对于固定点太阳的矢径平行且方向相反，0180sin ||=︒=rF M 。

我们来研究行星围绕太阳运动的运动:
证明(开普勒第二定律)行星对太阳矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

证明：如图3.3-3所示，行星是在太阳引力的作用下沿椭圆轨道运动的，
由于引力的方向在任何时刻总与行星对太阳矢径的方向相反，所以行星受到的
引力对太阳的力矩等于零。

因此，行星在运动过程中，对太阳的角动量将保持
不变。

根据右手螺旋法则，可知：行星在运动过程中，对太阳的角动量的方向不变，也表明r 和v 所决定的平面的方位不变，这就是说：行星总在一个平面
内运动，它的轨迹是一平面轨道，如图3.3-3所示，而L 垂直这个平面。

同时由角动量的定义式
αααsin lim sin ||sin 0t r
r m dt r
d mr mvr L t ∆∆===→∆，
由图3.3-3可知乘积αsin ||r r ∆等于三角形的面积（二分之一底乘高）的两
倍（忽略那个小角的面积），
即； αsin ||r r ∆S ∆=2， dt dS m t S
m L t 2lim 20=∆∆=→∆，
图3.3-3
而dt dS
为行星对太阳的矢径在单位时间内扫过的面积，叫做行星运动的掠面
速度。

行星运动的角动量守恒又意味着这一掠面速度保持不变。

由此可以直接
得出行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积的结论。

3.3.4 有关力矩和角动量的说明
对于力矩和角动量都是与参考点选择有关的物理量，质点在同样的合外力
作用下，对某参考点可能为零，因而角动量守恒；对于另外参考点可能不为零，
因而角动量不守恒。

为了说明此点，我们
仍然以圆锥摆的运动来进行分析，如图
3.3-5所示。

例3.3-1 质点m 以速率v 做圆锥摆运
动。

试分别以圆心O 和悬挂点A 为参考
点分析张力矩、重力矩、合力矩和质点的
角动量。

解：以圆心O 为参考点，张力T 的力矩为T R ⨯，方向与圆的切线重合，与v 的方向相反；同理可得重力矩为g m R ⨯；
合力矩为
)(T g m R +⨯，角动量为V m R ⨯守恒，方向垂直向上。

以悬挂点A 为参考点，张力T 的力矩为0=⨯T r ； 重力矩为g m R g m r ⨯=⨯； 合力矩为)(T g m r +⨯；角动量为V m r ⨯，方向如图3.3-5所示。

从上述结果可以看出：
1、对不同的参考点，力矩和角动量的大小和方向都不相同。

因此，角动量
是否守恒，不仅与受力的性质有关，而且还与参考点的选择有关；
2、合力矩的方向与角动量的方向不一致，合力矩只是与角动量的时间变化
率相联系。

例如，以悬挂点A 为参考点，质点的角动量为V m r ⨯的大小不变，
但是方向随质点运动而不断地变化。

矢量V m r ⨯扫过一个平顶的圆锥面，其改
变量d （V m r ⨯）与质点速度V 的方向相同，与合力方向一致；
4、 质点角动量定理是对惯性系中一个固定的参考点适用。

在不同的惯性
系中，由于质点的速度和矢径都发生了变化。

因此，力矩和角动量也不相同。

但是，角动量定理在不同惯性系中具有相同的形式。

例题3.3-2、如图3.3-6所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与
一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O . 该物体原以角速度ω
在半径为R 的圆周上绕O 旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体：
（A ）动能不变，动量改变；
（B ）动量不变，动能改变；
（C ）角动量不变，动量不变；
（D ） 角动量改变，动量改变；
图3.3-5
（E ）角动量不变，动能、动量都改变。

［ ］
解: 因为F r M z ⨯= ，M Z = Frsin θ= 0，是
因为桌面中心的小孔0又是物体的旋转轴，θ=
π，故sin θ=0；当M Z =0时，角动量不变；同
时其速度的方向不断地改变，所以角动量不变，
动能、动量都改变．选（ E ）。

例题3.3-3、体重相等的甲乙各抓住跨过滑轮的
绳的两端，如图3.3-7所示。

当他们从同一高度向爬
时，相对于绳，甲的速度是乙的速度的两倍。

问谁先
爬到顶点？ 假定绳和滑轮的质量以及各种磨擦都忽略不计。

解：将两人抽象为质A 和B ，以定轴O 为（力矩）
参考点，
设A 相对于地面的速度为V 1，B 的速度为V 2，
则L = mR （V 1- V 2）A 的方向垂直于纸面、向里，
而B 的方向垂直于纸面、由纸面而出；两者大小相等，
方向相反，质点系所受合外力矩为零。

开始时，
V 10= V 20 = 0， L 0 = 0 （1）
又∵角动量守恒定律
（M 外 = 0），===∑i i L
L dt L
d ,0常量
即 L = mR （V 1 - V 2） = L- L 0 = 0
V 1 = V 2 （2）
虽然相对于绳甲的速度是乙的速度的两倍，相对于地他们的速度相等，他们
从同一从同一高度向上爬，速度相同所以他们同时到达顶点。

图3.3-6
图3.3-7。