展开与折叠3
展开与折叠(3种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。
展开与折叠3——综合练习
16、如图，图2是图1表面的展开图，已有两个面标出是长 方体的下面和右面，请你在图2中把长方体的其他面标出 来。
1、下图中的图形经过折叠能围成正方体的有
。
2、将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成下面平面 图形的有 。
3、在下图中增加两个小正方形，使所的图形经过折叠能 围成一个正方体。
4、下图中的图形经过折叠能围成棱柱的有
。
5、下图中是圆锥表面展开图的有
。
6、下面的实物图中，是圆柱体的有
。
8、若“进”表示“前面”，“步”表示“右面”，“习” 表示“下面”。则，“祝”表示 面，“你”表示 面， “学”表示 面。
12、如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿 色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体 积是 。
13、如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形 ，它会变成右边的正方 体（ ）。
15、将下图中左边的图形折叠起来围成一个正方体，应该 得到右图中的（ ）。
9、下面的图形可以折成一个正方体形的盒子，折好以后， 与1相邻的数是 ，相对的数是 。
10、将正方体的表面分别标上数字1、2、3、4、5、6，使 它的任意两个相对面的数字之和为7，将它沿某些棱剪开， 能展成下面的平面 。
11、已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个 数字，如图是我们能看到的三种情况，那么1和5的对面数 字分别是____和_____.
展开与折叠口诀
展开与折叠口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《展开与折叠口诀一》
正方体呀要展开，一二三四分得清。
一个面有四个边，就像小方在立正。
二条棱边紧相连，如同小棒手牵手。
三个面儿成一组，好似伙伴在相聚。
展开图形仔细瞧，折叠回去也不难。
小朋友们认真记，数学世界乐趣添。
《展开与折叠口诀二》
展开折叠并不难，听我来把口诀传。
一条边呀是开始，好像火车头向前。
二块板子面对面，如同朋友在聊天。
三个图形连成片，好似花朵真鲜艳。
四四方方要认清，折叠还原就搞定。
简单口诀记心间，快乐学习每一天。
《展开与折叠口诀三》
要想学好展开折，这个口诀要掌握。
一先找到基准面，好像舞台搭起来。
二看相连有几个，如同演员要上台。
三个一组有规律，好似排队整齐站。
四面展开看清楚，折叠起来不迷糊。
小朋友们多练习，聪明才智展无疑。
《展开与折叠口诀四》
展开折叠有妙招，快来听我讲一讲。
一个中心不能忘，就像太阳放光芒。
二找相邻仔细看，如同星星围它转。
三个一组依次排，好似花瓣朵朵开。
四步完成展或折，轻松学会真不错。
大家快来一起念，知识海洋任你游。
《展开与折叠口诀五》
学习展开与折叠，口诀朗朗记心窝。
一条棱边是开头，好像小路引方向。
二面相对应记住，如同镜子照模样。
三个相连是关键，好似小桥连两岸。
四块图形成整体，折叠展开都容易。
小朋友们齐努力，数学天地创佳绩。
数学第一单元展开与折叠
数学第一单元展开与折叠
数学中的展开与折叠是指将一个复杂的数学表达式、算式或图形展开成简化的形式，或者将简化的数学表达式、算式或图形折叠成复杂的形式。
展开和折叠在数学中应用广泛，下面分别介绍它们在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数中的展开与折叠：
在代数中，展开通常指将一个多项式或者一个函数通过分配律、乘法计算律等方法展开成简化形式。
例如，将一个二次多项式展开成三项的一次式的和，或者将一个三角函数展开成幂级数。
而折叠则是将这些简化形式的多项式或函数通过合并同类项的方式折叠成一个复杂的形式。
例如，将几个一次式的和折叠成一个二次多项式。
2. 几何中的展开与折叠：
在几何中，展开通常指将一个二维图形（例如一个矩形、正方形等）通过切割、折叠等方式展开成一个更复杂的二维或三维形状。
例如，将一个长方形通过剪切折叠成一个长方体。
而折叠则是将这些复杂的形状通过折叠、旋转等方式折叠成一个简化的二维或三维图形。
例如，将一个长方体通过折叠成一个长方形。
3. 概率与统计中的展开与折叠：
在概率与统计中，展开通常指将一个随机变量的概率分布展开成一系列离散点的概率值。
而折叠则是将这些离散点的概率值
通过求和、求积等方式折叠成一个概率分布函数。
例如，将一个二项分布展开成正态分布的近似分布，或者将一组离散的数据折叠成一个频率分布直方图。
总之，展开与折叠是数学中常用的方法，它们可以将复杂的数学表达式、算式或图形简化成易于理解和处理的形式，或者将简化的形式重新复杂化，以便进行更深入的分析和研究。
三维形的展开和折叠
三维形的展开和折叠在数学和几何学中，我们常常遇到三维形体的展开和折叠问题。
展开就是将一个三维形体展开成一个平面图形，而折叠则是将一个平面图形通过折叠还原成一个三维形体。
本文将探讨三维形体的展开和折叠原理以及在日常生活中的应用。
一、三维形体的展开三维形体的展开可以看作是将一个立体图形的各个面展开并铺平在一个平面上的过程。
常见的展开方式有剪切展开和棱柱展开两种。
1. 剪切展开剪切展开是指将每个面都剪开，并按照一定的规则排列在平面上，形成一个展开图。
通常情况下，我们选择保留一条边作为连接线，确保展开后的图形能够还原成原来的三维形体。
例如，对于一个长方体，我们可以选择剪开其中一个面，并将其展开成一个长方形。
然后将其它五个面按照一定的方式附加在这个长方形上，形成一个完整的展开图。
通过这个展开图，我们可以清晰地看到长方体的各个面以及它们之间的联系。
2. 棱柱展开棱柱展开是指将一个棱柱形体展开成一条长带状图形。
在这种展开方式中，我们保留了棱柱的顶面和底面，并将其余的侧面按照一定的规则展开。
以正方体为例，我们可以将其展开成一个正方形，并在这个正方形的两侧附加上四个等边三角形，形成一个长条状的展开图。
通过这种展开方式，我们可以清楚地看到正方体的各个面以及它们之间的关系。
二、三维形体的折叠三维形体的折叠是将一个展开图通过折叠还原成一个三维形体的过程。
在折叠时，我们需要按照展开图上的标记或者线段进行折叠，确保最终的形状与原来的三维形体相同。
折叠时需要注意几个原则。
首先，各个面之间应该能够准确地对应，即每个点和线在折叠后应该和原来的位置重合。
其次，相邻面之间的角度应该保持一致。
最后，折纸时需要保证纸张的平整性，不得出现撕裂或者过度弯曲的情况。
三、三维形体展开和折叠的应用三维形体的展开和折叠在日常生活中有着广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用领域：1. 纸质模型：我们可以将复杂的三维形体通过展开和折叠的方式制作成纸质模型，用于教育教学或者娱乐活动。
立体几何展开与折叠核心解析
立体几何展开与折叠核心解析北师大版《展开与折叠》精华版主要涉及几何学中立体图形与平面图形之间的转换，特别是正方体和棱柱的展开与折叠。
以下是对该内容的详细归纳：一、正方体的展开与折叠1.正方体的展开图o正方体有11种不同的展开图，这些展开图可以根据其形状特点进行分类：●1-4-1型：共6种展开图，特点是由1个正方形、4个正方形和再1个正方形组成，中间4个正方形排成一行。
●2-3-1型：共3种展开图，特点是由2个正方形、3个正方形和再1个正方形组成，且2个正方形在3个正方形的两端。
●2-2-2型：只有1种展开图，由3行2列的正方形组成，且每行正方形都相邻。
●3-3型：也只有1种展开图，由2行3列的正方形组成，每行有3个正方形。
2.正方体展开的操作o要将一个正方体展开成一个平面图形，通常需要沿7条棱剪开。
o展开时，需要注意保持各面的相对位置关系，以便在折叠时能够恢复成立方体。
3.判断图形能否折成正方体o通过观察给定的平面图形，判断其是否包含上述11种展开图中的一种或变形。
o注意检查图形的边数、形状以及各边之间的连接方式是否符合正方体展开图的特征。
二、棱柱的展开与折叠1.棱柱的定义o棱柱是一种具有上下两个平行、相等多边形底面，侧面为矩形的立体图形。
根据底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
2.棱柱的展开图o棱柱的展开图包括底面和侧面。
底面保持原样，侧面则展开为与底面边数相等的矩形。
o例如，四棱柱的展开图包括一个矩形底面和四个矩形侧面。
3.棱柱的折叠o将棱柱的展开图按照正确的位置关系折叠起来，可以恢复成立体图形。
o在折叠过程中，需要确保底面和侧面的相对位置正确，以及各侧面之间的连接紧密无缝隙。
三、教学建议与活动设计1.创设情境o通过观察生活中的正方体形状的盒子等实物，引导学生思考这些物体展开后的形状。
2.动手操作o组织学生动手展开正方体或棱柱的模型，观察并记录其展开图的形状和特点。
o小组合作交流，展示各自的展开图并进行分类讨论。
展开与折叠3PPT课件
想一想:
把圆锥、圆柱的 侧面展开，会得到什 么图形？
课堂小结:
1、本节课我们通过对正方体 表面展开的深入研究，使我们 对棱柱的侧面展开有一定的认 识。
2、通过动手操作，我们知道 圆柱、圆锥的侧面可以展开成 平面图形。
作业： 1、P12 习题1.4 1、2 2、调查实验
议一议: 怎样把所得到的 正方体表面展开图进行 分类?
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门罢？”一干丫头都崇拜的望着宝音：铁口直断！这也太强了！丫头们钦佩的目光下，宝音有些惭愧。她原来以为会由苏小横来宣告这 个消息，而不是明秀……这么一点点小差错，说不定全盘都不按预计走呢？柔柔道个福，宝音谨慎的问：“四姐，这是奶奶的意思 么？”“我想同你，一起去请下奶奶这个意思来，”明秀直视她，“去不去？”宝音的丫头们几乎都想齐齐的啐一声！还当明秀说了算 呢，原来只是想去请命。明秀自己想顽，何必非拉上宝音去请？两姐妹间交情有这么好吗？而且话说，明秀从来不是很贪顽的人，今天 是怎么了？宝音笑笑，不接明秀的问题，也不反对，只问：“四姐姐怎么想到邀妹妹一起？”明秀凝视她：“你不明白？那我找你就找 错了。”宝音静静福下去：“是。妹妹不该如此问。四姐来找我，足见坦诚盛情，妹妹先谢过了。”丫头们都不懂，明秀眼里闪出微笑。 苏家越在此时，越要撑起架子来。年夜时，女眷必须出门一次，车辇仪容俱不能差，否则，真要被阖城的人看轻了。老太太应该明白这 个道理。她暂时不明白，也要有人让她明白。明秀此时来邀宝音，才真正把她当成个中流的砥柱、苏府可以依靠的女儿！宝音还要装傻 多问，胸襟反不如明秀磊落了。宝音就欠身道：“姐姐请。”明秀也客气道：“妹妹请。”两人让了一番，联袂出去，半路上，遇着了 苏含萩。苏含萩本该为明蕙母女服小功，因已出嫁，降为缌麻，一早乘着轿子过苏府来，乃是她可动用轿子中最素净的一辆，直诣腰门， 看门婆子出其不意，慌得不知该奉茶好、还是先去回老太太好。苏含萩道：“不用噜嗦了，都这时候了，直接带我去见老太太。”婆子 也知道这几天，府里频频有大事，她不敢多问，苏含萩又是老太太最疼的幼女，料来老太太是肯见的，便忙引进门，一边叫人跑去告知 管事大娘，管事大娘忙忙的派了两个丫头、两个婆子服侍苏含萩一路往老太太院里去。走到一半，苏含萩眼尖，道：“兀那不是四姑娘、 韩姑娘？”第一百章 卖身进京纵强贼（6） 明秀和宝音走在她前面，背对着她，被一叫，站住了，转身看见是她，还疑眼岔。苏含萩 自己快步上来，一手一个持定了她们，问：“哪儿去？”明秀答道：“见奶奶去。姑姑这是——”苏含萩眼圈微红：“还不也见你们奶 奶去？”抚着明秀，“你这孩子，这几天来受苦了？”明秀低道：“自家人，一荣俱荣，一辱俱辱，说什么苦不苦？”苏含萩也因明柯 跑得实在大手笔，带累在婆家受了些嘲讽。这点小闲气，在别人身上也罢了，偏她从小是掌中捧珠、心高气烈过来的，尤其受不得磨折， 知明秀受的娇宠，比她也不差多少，而婚事不顺，岂是她的小闲气能比，格外心疼明秀，骂了明柯一声“混透了的混小子！”又问： “听说你
五年级下第3课时展开与折叠
五年级下第3课时展开与折叠《五年级下第 3 课时展开与折叠》在五年级数学的学习中，第 3 课时的“展开与折叠”可是一个充满趣味和挑战的内容。
这部分知识就像是一个神奇的魔法，能让我们把立体图形变成平面图形，又能把平面图形还原成立体图形。
首先，咱们来聊聊什么是展开。
想象一下，一个正方体的盒子，如果我们沿着它的棱把它剪开，然后平铺在桌面上，这就是正方体的展开。
展开后的图形可不是随便乱摆的，它有一定的规律。
正方体的展开图有很多种呢！比如“141 型”，就是一行有 4 个正方形，另外两行各有 1 个正方形，而且这两个 1 要分别在这一行 4 个正方形的两侧；还有“231 型”，两行分别有 3 个和 1 个正方形，另外一行有 2 个正方形；再有“33 型”，两行各有 3 个正方形。
同学们在刚开始接触的时候，可能会觉得有点眼花缭乱，但是只要多动手剪一剪、画一画，就能很快熟悉起来。
那折叠又是什么呢？其实就是把展开的平面图形重新变回立体图形。
这可不像把纸揉成一团那么简单，而是需要我们根据平面图形上的线条和位置关系，准确地想象出立体图形的样子。
比如说，给我们一个展开图，我们要看看哪些边是重合在一起的，哪些面是相对的。
如果一个面的对面在展开图中是相邻的，那肯定就折不对啦。
在学习展开与折叠的过程中，动手操作是非常重要的。
我们可以用卡纸或者硬纸板做出各种立体图形，然后把它们剪开，观察展开图的样子。
也可以根据给定的展开图，尝试着把它折成立体图形。
通过这样的实际操作，我们能够更加直观地理解立体图形和平面图形之间的关系。
而且，这部分知识在生活中也有很多用处呢！比如我们要包装一个礼物，就需要知道盒子的展开图是怎样的，才能裁剪出合适的纸张。
还有建筑工人在建造房子的时候，也需要根据图纸上的展开图来搭建框架。
为了更好地掌握展开与折叠，同学们可以多做一些练习题。
比如给出一个立体图形，让我们画出它的展开图；或者给出一个展开图，让我们判断能不能折成给定的立体图形。
空间几何体的展开与折叠
空间几何体的展开与折叠空间几何体的展开与折叠是一种几何学中常用的方法，它可以将一个复杂的空间几何体分解为若干简单的平面图形，并将这些平面图形通过折叠的方式重新组合成原始的几何体。
这种方法在多个学科领域中都有重要的应用，包括工程学、建筑学、纸艺等等。
一、空间几何体的展开空间几何体的展开是指将一个三维几何体的各个面按照一定规律展开成平面图形的过程。
展开后的平面图形可以用纸张或其他平面材料来模拟原始的几何体，方便计算、制作和研究。
以一个简单的长方体为例，展开的过程如下所示：在一个长方体上选择一个面，用刀片切割沿着一个边缘开始，直到遇到相邻的面。
然后将这个面展开成一个矩形。
接着，对于相邻的面，依次进行展开，直到所有的面都展开为矩形。
最后，将这些矩形沿着边缘进行折叠，即可还原成原始的长方体。
可以看出，展开的过程主要分为两个步骤：切割和折叠。
切割是将三维几何体的各个面从整体中分离，而折叠则是将这些分离的面根据它们之间的关系重新组合起来。
二、空间几何体的折叠空间几何体的折叠是展开过程的逆过程，即将展开后的平面图形重新折叠成原始的几何体。
折叠是一种复杂的空间操作，需要根据展开图形的特性来进行。
对于前面提到的长方体，折叠的过程如下所示：首先，将展开后的矩形沿着边缘按照原来的折叠方式进行折叠。
这个过程中需要注意保持各个矩形之间的对应关系和连接关系。
最后，将折叠后的矩形沿着边缘进行粘合，即可形成原始的长方体。
折叠过程需要根据展开图形的特征进行判断和操作，包括边缘的连接方式、面的对应关系等等。
在这个过程中，准确的折叠操作是保证几何体还原正确的关键。
三、应用领域展开与折叠技术在多个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 工程学：在工程学中，空间几何体的展开与折叠可以帮助工程师更好地理解和分析机械构件的结构和运动方式。
通过将机械构件展开，可以方便地计算和制作各个零件，并提前发现潜在的问题。
2. 建筑学：在建筑学中，空间几何体的展开与折叠是进行建筑设计和结构分析的重要工具。
北师大版五年级数学下册第二单元 第3课时 展开与折叠 教学设计
生：沿着不同的棱来剪，会得到不同的平面展开图。（配以动画演示）
师：你能把剪下来的展开图重新折叠成正方体盒子吗？如图所示。
师：我们再来看一下其它的展开图也可以重新折叠成正方体盒子吗？请同学们动手操作试一试吧。
师：我们一起来看看这几种不同形状的展开图，您能说说是如何得到的？
师：只有③可以围成长方体（如动图所示）。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你有什么收获呢？
生：我知道了正方体的展开图，正方体有11种不同的展开图。长方体和正方体展开图中相邻的两个面一定不是折叠后立体图形中相对的面。
师：同学们，请完成练习册上本课时的习题。
状元成才路，助你学习进步！今天的课就到这里，同学们再见！
北师五下第二单元《长方体（一）》
第3课时展开与折叠
课题
展开与折叠
课型
新授课
教材分析
“展开与折叠”这一教学内容是北师大版五年级下册第二单元长方体（一）中非常重要的一部分。这一内容是学生对长方体、正方体特征认识的延伸，同时也是为后继教学表面积知识做好铺垫。教材从正方体的展开引入，为学生创造了想象和操作的空间，同时引起学生思考和质疑：怎样展开？有多少种展开的结果？在学生经历解决问题的过程后，教材编写了“做一做”和“练一练”两个内容。这两个内容通过动手操作、想象等活动，让学生体验体与面的相互转化的过程，感受数学知识的魅力，培养其空间观念以及动手操作能力。
学情分析
五年级的学生已经具备了初步的动手操作能力，而且有着强烈的探索求知欲望，在解决问题方面热情极高，但是缺少有序思考和有效解决问题的策略。为此教师在教学的设计中，应加强策略指导，让学生在有限的时间里，获取最有效的感悟。在知识的储备方面，学生已经初步认识了长方体、正方体等立体图形的特征，因为对于本节课的理解和探索已经具备了最基本的知识储备，因此进一步发展空间观念、让学生体会体与面的联系，将作为本节课的一个教学重点。
2013年苏科版七年级上5.3展开与折叠(3)课件
想一想
若给你设计的几何体包上漂亮的彩纸， 该怎样用料最省呢？ 按照平面展开图裁纸。
小实验( 一)
把下面的几何体展开，看它的平面展 开图是什么。
苏科版初中数学网站
圆 柱
圆 锥
苏科版初中数学网站
三 棱 锥
苏科版初中数学网站
小实验(二) 请把下面的正方体纸盒，按不同 的方式展开，画出你所得到的展开图。
苏科版初中数学网站
牛刀小试
下面的图形都是正方体的展开图吗？
苏科版初中数学网站
下面的图形都是正方体的展开图吗？
苏科版初中数学网站
三 棱 柱
苏科版初中数学网站
长 方 体
苏科版初中数学网站
点击思维
有一只虫子在正方体的一个顶点A， 要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪 条路径最短？
B
●
B
展开
A
●
A
苏科版初中数学网站
考考你
1、如果“你”在前面，那么谁在后
面？
了 太 你 们 棒 ！
KEY: 棒
苏科版初中数学网站
2、“坚”在下，“就”在后，胜利在哪 里？
坚
持
就
胜 利
是
苏科版初中数学网站
牛刀小试
1、下列图形是哪些多面 体的展开图
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
苏科版初中数学网站
长方体
五棱锥
三棱柱
苏科版初中数学网站
苏科版初中数学网站
第一类，中间四连方，两侧各一个，，中间三连方，两侧各有一、二个，共三 种。
苏科版初中数学网站
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
数学展开与折叠课件 数学课件
（A） （B）
12/7/2021
（C） （D）
3.下面几个图形是一些常见几何体的展开 图，你能正确说出这些几何体的名称么？ （正方体） （长方体）（四棱锥）（三棱柱）
12/7/2021
有一只虫子在正方体的一个顶点A，要 爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条 路径最短？ 这样的路径有几条？
展开
B A
§5.3展开与折叠
12/7/2021
最后一个包装盒是如何做成的呢？你能做
一个和它一样的模型吗？说说你的想圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开（如图1）， 展平得到什么图形？ 2.将圆锥形冰淇淋纸筒的侧面沿虚线剪开 （如图2），得到什么图形？ 3.沿图3中的红线将无盖的正方体纸盒剪开， 得到什么平面图形？
12/7/2021
归纳和总结：
12/7/2021
你能得到如图所示的平面图形码？动手试一试
①
② ③
⑥
⑦
⑨
⑩
④ ⑤
⑧
你能从正方体展开图中，找出原正方体中 相对面吗？
12/7/2021
1.在下图的图形中，是三棱柱的侧面 展开图的是（ D ）
2.在下列图形中（每个小正方形都是相同的正方 形），是正方体的表面展开图的是（ C ）
12/7/2021
这样的路径有几条？请画图说明.
B A
12/7/2021
1.这节课你学到那些数学知识和数学思想方法？ 2.你还有什么体会？
12/7/2021
12/7/2021
展开
12/7/2021
展开
12/7/2021
展开
12/7/2021
1．把一个正方体的表面沿部分棱剪开，展成一 个平面图形，能得到哪些平面图形？请与同伴进 行交流. 思考： （1）同一个正方体纸盒从表面沿不同的棱展开， 展开成的平面图形是否相同？ （2）把一个正方体纸盒的表面展成一个平面图 形，要剪开多少条棱？
数学展开与折叠
矩阵未来发展
矩阵与其他数学分支的交叉
矩阵将与线性代数、数值分析、概率论等分支产生更多的交叉融合，开拓新的研究领域 和方向。
矩阵在计算机科学中的应用
随着计算机科学的快速发展，矩阵将在算法设计、数据结构、机器学习等领域发挥更大 的作用，推动相关技术的进步。
矩阵在物理学中的应用
矩阵将在量子力学、电磁学等领域发挥更大的作用，为物理学的发展提供新的思路和方 法。
代数未来发展
代数几何化
将代数与几何更紧密地结合起来，利用几何直观来研究代数问题，有助于更深入地理解数 学的本质。
代数与其他数学分支的交叉
随着数学各分支的不断发展，代数将与其他分支如概率论、统计学、微分方程等产生更多 的交叉融合，推动数学整体的发展。
代数在计算机科学中的应用
随着计算机科学的快速发展，代数在密码学、算法设计、数据结构等领域的应用将更加广 泛，对计算机科学的进步产生重要影响。
分段函数折叠
将分段函数在不同区间上的图像进行折叠，以观察函数在不同区间上的性质。
矩阵折叠
矩阵乘法
将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵，以进行线性变换等操作。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵，以改变矩阵的行和列的顺序。
03
展开与折叠的应用
代数应用
代数方程的展开
通过代数运算，将一个多项式方 程展开成标准形式，便于求解。
函数未来发展
函数与其他数学分支的交叉
函数将与微分方程、复变函数、实变函数等分支产生更多的交叉 融合，开拓新的研究领域和方向。
函数在物理学中的应用
函数将在量子力学、经典力学等领域发挥更大的作用，为物理学的 发展提供新的思路和方法。
函数在经济金融中的应用
第3课时 展开与折叠
2.下面哪些图形沿虚线折叠后能围成正方体？先 想一想，再利用附页1中的图2试一试。
3.下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体？先 想一想，再利用附页2中的图1试一试。
当堂训练
1.如图1-6的图形都是正方体的展开图吗？
图1 是
是 图4
图2
图3
是
是
不是 图5
不是 图6
2.下面图形都是正方体的展开图吗？
声明
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你有何高招？ 蚊子
●
壁虎 ●
● 蚊子 壁虎 ●
蚊子
●
●
壁虎
ห้องสมุดไป่ตู้
课外拓展
长方体
展开
五棱柱
展开
三棱锥
展开
四棱锥
展开
五 棱锥
展开
圆 柱
展开
圆锥
展开
是不是所有的立体图形展开后，都 是平面图形？
球体的展开图是不是平面图形？
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有 什么收获？谈谈你的感受。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
书籍是朋友，虽然没有热情，但是非常 忠实——雨果
第3课时 展开与折叠
北师大版·五年级下册
新课导入
把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图。
推进新课
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
B
A
B
A和B为相对的两个面
间二、拐角邻面知
C D C
D
C和D为相邻的两个面
如图1—6的图形都是正方体的展开图吗？
图1 是
图2 是
图3 是
图4 是
图5 不是
图6 不是
下面图形都是正方体的展开图吗？
图（1）
图（2）
图（3）
不是
不是
是
图（4）
图（5）
图（6）
不是
不是
不是
牛刀小试
1、如图，第一行的几何体表面展开后得 到的第二行的某个平面图形，请用线连一连。
圆柱体的侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的 最短路程是
Ｄ
（结果保留根号）
Ｃ
A
B
7、如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤 操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使 点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）； （2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC 边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）； （3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）.
1 2
3
4 5
A
B
C
D
E
2、下面图形经过折叠能否围成棱柱？
(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱． (2)两底面在侧面展开图的同一端,不在两端,所以也不能 围成棱柱．
(3)可以折成棱柱
2、下图是一些立体图形的展开图，用它 们能围成怎样的立体图形？
3．下图所示的平面图形中不能围成三棱柱的 是( B )
四棱锥的展开图是：
n棱锥的表面展开图是什么？
想一想：
下列的图形都是正方体的展开图吗？ (2) (1) (3)
(√) (4) (5)
(√) (6)
(√)
(√)
(× )
(× )
做一做
• 将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成 一个平面图形吗？你能得到哪些平面图形？ 与同伴进行交流.
问题
能否将得到的平面图形分类？
A ．
B．
C．
D ．
4、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最 后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．（ ）
将纸片展开，得到的图形是
5、如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次， 然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞， 最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）
A
B
C
D
2 6、如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 ， π 高为 2 ，若一只小虫从 A 点出发沿着
4.下列哪个平面图形沿虚线折叠不能围成正方体 的是( B )
5 、右图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方 体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分）， 其中正确的是（ B ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6、如图所示的纸板上有10个无阴影的正方 形，从中选出一个，与图中5个有阴影的正 方形一起折一个正方体的包装盒，有多少 种不同的选法。
（A）60°
（B）67.5°
（C）72°
（D）75°
8、如图是一个食品包装盒的侧面展开图。 （1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称； （2）请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体 的侧面积和全面积（侧面积与两个底面体之和）。
a b
9、如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为30cm，顶点C1处 有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁 的厚度忽略不计） （1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部 我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1，昆虫乙如果沿路径 A→E→C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。请在 图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行， 同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 （2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1以acm/s的速度在盒子的内 部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2.5cm/s的速度在盒内 壁沿A→F→G爬行，恰好在最短的时间内捕捉到昆虫甲。若最 短时间为20s，请你求出a的值。
A．
B．
C．
D．
3、如图1，是一个小正方体的侧面展开图，小正方 体从如图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、 第3格，这时小正方体朝上面的字是（ ） A．和 B．谐 C．社 D．会
图1
图2
4、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最 后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．（ ）
将纸片展开，得到的图形是
D1 A1 C1
D1 A1
C1
B1 E C B
B1 G
D AD A B FC做一做一只蚂蚁从圆柱上的点A绕圆 柱爬到点B，你能画出它爬行的最 短路线吗？
解：
B
B B
A
A
A
图形的展开和折叠
下列各几何体的表面展开图是什么图形？
画一画：三棱柱的表面展开图是什么？
三棱柱的表面展开图是
两个完全相同的三角形(作底面)和 三个长方形(作侧面)
想一想：四棱柱的表面展开图是什么？
总结：n棱柱的表面展开图是什么？
想一想：三棱锥的展开图是什么图形？
三棱锥的展开图是：
想一想：四棱锥的展开图是什么图形？
共有四种不同的选法
中考链接
1、李明为好友制作一个正方体礼品盒，六面上 各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预” 的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展 开图可能是（ ）
预 祝 成 预祝 中考 成功 预 祝中考成 功 预 祝成考功 中
预祝中 考成功 Ｄ．
图1
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
2、在下面的图形中，不是正方体表面展开图 的是（ ）
你是按什么规律来分类的？
第一类，1，4， 1型，共六种。
第二类，2，3，1型，共三种。
第三类，2，2，2型，只有一种。
第四类，3，3型，只有一种。
总结规律：
正方体的表面展开图用“口诀”：
一线不过四，
田凹应弃之;
相间、“Z”端是对面， 间二、拐角邻面知。
一线不过四
×
×
田凹应弃之
×
×
×
×
相间、“Z”端是对面