第三讲---整式的乘除

第三讲 整式的乘除与因式分解

Ⅰ、主要知识回顾

1、 幂的运算

a m • a n ＝ （a m ）n ＝ （a

b ）n ＝ a m ÷a n = （a ≠0）。

计算：x • x 5• x 7 = ； (y 2)5= ；（ab 2）2= ； （－2×103）3=

(-a )10÷(-a ) 3= ； （a +b ）4÷(a +b )2= 。

2、零指数幂与负整指数幂 a 0= （a ≠0） n a

-= (a ≠0，n 是正整数)计算：（-117）0= ；241-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= . —10

1031-⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛= ； 23a a -⋅= ； (a ·b )-3= ；(a -3)2= 。用科学记数法表示：-0.000 0064= 。 3、单项式和单项式相乘，只要将他们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

计算：（－5a 2b 3）• （－4b 2c ）＝ ；（－3a 2）3 • （－2a 3）2= 4、单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

计算：x （x 2－1）＋2x 2（x ＋1）－3x （2x －5）=

5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

计算：（x －3y ）（x ＋7y ）＝

6、两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除就可以了.

计算：(21-a 4x 4) ÷(6

1-a 3x 2)= ；(16x 3-8x 2+4x ) ÷(-2x )= ； 7、乘法公式

（a ＋b ）（a －b ）＝ ；（a ＋b ）2＝ ；（a －b ）2= ； 计算：（1）（2x ＋21）（2x －2

1）= ；（2）（－x ＋2）（－x －2）= ； （3）（－2x ＋y ）（2x ＋y ）= ；（4）（y －x ）（－x －y ）=

（5）（－2m ＋n ）2= ；（6）（－2m －n ）2=

（7）20012－2002×2000=

8、把一个多项式化为 形式，这就叫因式分解

多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为 。 对下列多项式进行因式分解：

（1）－5a 2＋25a= ；（2）3a 2

－9ab= ；

（3）25x 2－16y 2= ；（4）x 2＋4xy ＋4y 2= .

（5）x （x ＋y ）－y （x ＋y ）；

（6）（a ＋b ）2＋2（a ＋b ）＋1= （7）4x 4－4x 3＋x 2= ；（8）（x －1）（x －3）＋1= ；

（9）ab ＋a ＋b ＋1= ；（10）a ax ax 22

--= 。 Ⅱ、典型例题

例1、计算：

（1）（32a 2b ）3÷（31ab 2）2×43a 3b 2； （2）（4x ＋3y ）2－（4

x －3y ）2；

（3）（2a －3b ＋1）2； （4）（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；

（5）（a －61b ）（2a ＋31b ）（3a 2＋12

1b 2）； （6）9972－1001×999．

（7）[（a －b ）（a ＋b ）]2÷（a 2－2ab ＋b 2）－2ab ．

（8）（1－

221）（1－231）（1－241）…（1－29

1）（1－2011）

例2、写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m 和n ，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解).

例3、已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求2

2

2b a +，a 2－ab ＋b 2的值．

例4、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]

=(1+x )2(1+x )

=(1+x )3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .

(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).

Ⅲ、整式的乘除与因式分解练习题

一、选择题

1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

(A)(a +3)(a -3)=a 2-9 (B)x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (C)a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +

x 1) 2、计算()4323b a --的结果是( )

（Ａ）12881b a （B ）7612b a （C ）7612b a - （D ）12881b a -

3、下列运算正确的是（

）

（A ）326a a a = （B ）0(π 3.14)1-= （C ）1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（D ）93=±

4、若的值为则2y -x 2,54,32==y x

（A ）53 （B ）-2 （C ）553 （D ）5

6 5、已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =（ ）

（A ）-12 （B ）-32 （C ）38 （D ）72 。

6将一多项式[(17x 2-3x +4)-(ax 2+bx +c )]，除以(5x +6)后，得商式为(2x +1)，余式为0。 则a -b -c =（ ）

（A ）3 （B ）23 （C ）25 （D ）29

7、若m +n =3，则222426m mn n ++-的值为（ ）

（Ａ）12 （Ｂ）6 （C ）3 Ｄ．0

8、 已知a =1.6⨯109，b =4⨯103，则a 2÷2b =（ ）

(A) 2⨯107 (B) 4⨯1014 (C) 3.2⨯105 (D) 3.2⨯1014 。

二、填空题

9、（m －n ）3÷（n －m ）2＝___________．

10、－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________； （2a －b ）（ ）＝b 2－4a 2．

11、已知：3

2

a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 12、.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，

便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 .

13、若ax 2+24x +b =(mx -3)2，则a = ，b = ，m = .

14、如果2249x mxy y -+是一个完全平方式, 则m 的值为____ __ ．

15、边长分别为a 和a 2的两个正方形按如图(I)的样式摆放，

则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题

16、计算：

（1）()()()2

312x x x +--- （2）1013(1)2π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭

（3）ab b a b a 4)58(2

23÷- （4）)32)(32(+--+y x y x