由一道高考压轴题所引发的探究与思考

由一道高考压轴题所引发的探究与思考

发布时间：2022-09-29T02:58:53.083Z 来源：《教学与研究》2022年11期作者：张宇伟

[导读] 本文通过对2019年全国高考理科数学Ⅰ卷压轴题第（21）题——概率与统计题的问题情境、阅读理解、思想方法、数学运算、评价决策等方面的分析与探究，

张宇伟

广州市从化区从化中学 510900

摘要：本文通过对2019年全国高考理科数学Ⅰ卷压轴题第（21）题——概率与统计题的问题情境、阅读理解、思想方法、数学运算、评价决策等方面的分析与探究，明确解答这类问题需要提高学生学习数学的关键能力，实现从提高数学能力到发展数学核心素养的转变,并结合高考的变化趋势对备考复习进行反思.

关键词：高考数学；实践应用；能力

一、题目与解答

二、分析与探究

（一）问题情境：“为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．”说明这样试验是相互独立试验.用数学的符号语言可以这样描述：一轮试验共有4个可能的结果（每个结果就是一个基本事件），我们用符号√表示“治愈”，用符号×表示“未治愈”.所有可能结果分别是：甲√乙√；甲√乙×；甲×乙√；甲×乙×，并且每一轮试验是相互独立的.“一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．这样的一轮试验会反复进行”这便是独立重复试验.

（二）“为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．”建立数学模型，定义随机变量，题干最后一句话“一轮试验中甲药的得分记为”，即基本事件映射到实数集的函数.用表示一轮试验中施以甲药的得分，表示表示该轮试验中施以乙药的得分.用下面的表格表示该映射关系：

（三）“一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验并认为治愈只数多的药更有效当”这样的试验会反复进行——独立重复试验，什么时候结束呢？下面还是用表格来分析试验过程：

分析发现：该问题情境与乒乓球赛的记分规则相似：如果甲、乙两人打一局乒乓球比赛，甲至少得到11分且至少领先乙2分才能获胜，也就是说甲11:10、12:11、13:12……领先不行，得11:9、12:10、13:11……领先才算获胜。这里相当于把甲至少得到11分且至少领先2分换成了甲药至少得到4分且领先4分，相比于乒乓球比赛，第二问又做了重新定义，规则变成：比赛从4：4开始记分，甲赢一个球则甲得1分，乙扣1

分，乙赢一个球则乙得1分，甲扣1分，双方“和球”不加分也不扣分，甲8：0领先乙时甲获胜，否则乙获胜。问题清楚了，现在甲、乙在试

验开始时都赋予4分：

（六）评价与决策.事实上甲药治愈的概率是0.5，乙药治愈的概率是0.8，其实乙药比甲药管用，而双方从4：4的比分开始比赛是公平的，在公平的比赛中，不如乙药有效的甲药获胜的概率大约只有，所以认为甲药更有效是错误的结论，而得到这个错误结论的概率非常小，因此方案是合理的.

可见，高考全国卷理科数学概率统计题问题情境新颖，对学生数学阅读理解要求高，知识点综合交汇，考点综合并且区分度好，淡化计数原理，突出概率统计思想的考察，较好地考察学生的数学能力，培养核心素养，提高综合素质，对抑制题海战术、时间战术起到良好抑制作用.

三、反思

(一) 提高学生数学阅读理解、文字表达和感知信息的能力，提升学生的数学抽象与直观想象核心素养.

（二）提高学生数学的信息加工能力，提升学生数学建模与数据分析核心素养.能从阅读中去伪存真，抓关键语句，挖掘并提炼有助于解题的数学信息，并用恰当的数学语言，将实际问题转化为纯数学问题。

（三）提高学生利用数学基础概念、基本方法解决纯数学问题的能力，能经过综合分析，应用基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型.

（四）提高学生学习、判断、反思、评价、决策能力，学生根据所求解的数学模型，得到结果，对所得结果进行检验、判断、并能修正得到符合实际的解答.

四、结语

数学强调“学以致用”，在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结论并改进模型，最终解决实际问题. [1] 授人以鱼不如授人以渔，对于目前高三备考的启示：教师应加强学生在“读、想、画、算、写”等方面素养的培养，积极开展深度学习，创设具有挑战性的问题情境，形成基于问题解决的学习任务，提高学生解决问题的核心能力——空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力.强化两个意识——应用意识、创新意识.优化学生个性品质，树立正确的科学价值观、人文价值观.

参考文献

[1] 于涵，任子朝，陈昂，赵轩、李勇.新高考数学科考核目标与考查要求研究[J].课程.教材.教法，2018.6.