【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

第一单元高考中档大题突破
解答题05: 选修4－4(坐标系与参数方程
)
年份卷别具体考查内容及命题位置命题分析
2017 Ⅰ卷
轨迹方程的求法、直角坐标方程与极坐标方程的互
化，三角形面积计算及三角恒等变换·T22
1.坐标系与参
数方程是高考
的选考内容之
一，高考考查
的重点主要有
两个方面：一
是简单曲线的
极坐标方程；
二是参数方
程、极坐标方
程与曲线的综
合应用．
2．全国课标卷
对此部分内容
的考查以解答
题形式出现，
难度中等，备
考此部分内容
时应注意转化
思想的应用. Ⅱ卷
参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式
及三角函数性质·T22
Ⅲ卷参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用·T22
2016 甲卷
极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆
的位置关系·T23
乙卷
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐
标方程的互化及应用·T23
丙卷
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函
数的最值·T23
2015 Ⅰ卷
极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应
用·T23
Ⅱ卷参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23
2014 Ⅰ卷
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐
标方程的互化、三角恒等变换·T23
Ⅱ卷
极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意
义·T23
2013 Ⅰ卷
参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐
标方程的互化·T23
Ⅱ卷参数方程的求法、三角函数的应用·T23
基本考点——极坐标方程
1．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20
－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a, π
2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b, π
2
)且平行于极轴：ρsin θ＝b .
1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为2，π
3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝
4cos θ
. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积
S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin2α－π3－3
2≤2＋ 3.
当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为
参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.
当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.
极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
常考热点——参数方程与极坐标的综合
几种常见曲线的参数方程
(1)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参
数．
当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos α，
y ＝r sin α，
其中α是参数．
(2)椭圆：椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．
椭圆x 2b 2＋y 2
a 2＝1(a >
b >0)的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．
(3)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t
是参数．
1．(2017·全国卷Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方
程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29
＋y 2
＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧
x ＝－21
25
，
y ＝2425.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，－2125，24
25
.
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点 (3cos θ，sin θ )到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17.
当a ≥－4时，d 的最大值为
a ＋9
17
. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋1
17.
由题设得－a ＋1
17＝17，
所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
2．(2017·大庆二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－3
5t ＋2
y ＝4
5t
(t 为参
数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ.
(1)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，ρ＝a sin θ转化为ρ＝2sin θ， 整理成直角坐标方程为：x 2＋(y －1)2＝1，
直线l 的参数方程⎩⎨⎧
x ＝－3
5t ＋2
y ＝4
5t
(t 为参数)．
转化成直角坐标方程为4x ＋3y －8＝0.
(2)圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2
＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 2
4
， 直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍， 所以：d ＝|3a
2－8|5＝12·|a |
2
，
2|3a －16|＝5|a |，利用平方法解得：a ＝32或32
11
.
1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，
直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m k ，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当 变化时，P 的
轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝ (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)．
设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，
y ＝1k (x ＋2)，
消去 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，
所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，
ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110
.
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.
2．(2017·承德二模)在直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
(θ为参数)，
直线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t
y ＝2＋t (t 为参数)．
(1)若直线C 1与圆O 相交于A ，B ，求弦长|AB |；
(2)以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，圆O 和圆C 2的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．
解：(1)由直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t
y ＝2＋t
(t 为参数)消去参数t ，
可得：x －y ＋1＝0，即直线C 1的普通方程为x －y ＋1＝0.
圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
(θ为参数)，根据sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ，可得：
x 2＋y 2＝2.
那么圆心到直线的距离d ＝12＝2
2
， 故得弦长|AB |＝2
r 2－d 2＝ 6.
(2)圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，
利用ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋23y . ∵圆O 为：x 2＋y 2＝2.∴弦PQ 所在直线的直角坐标方程为2＝2x ＋23y ，即x ＋3y －1＝0.
3．(2017·河南六市一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－5＋22t
y ＝5－2
2
t (t 为参数)若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ
＝4cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
(2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的1
2，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲
线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．
解：(1)由ρ＝4cos θ，得出ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2＋y 2＝4x ， 即曲线C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的方程是：x ＋y ＝0.
(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的1
2，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2
＋y 2＝4，设曲线C 1上的任意点(cos θ，2sin θ)，
到直线l 距离d ＝|cos θ＋2sin θ|2＝5|sin (θ＋α)|
2.
当sin(θ＋α)＝0时，到直线l 距离的最小值为0.
4．(2017·南阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1
2t
y ＝1－3
2
t (t
为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)判断直线l 与圆C 的交点个数；
(2)若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．
解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝12
t y ＝1－3
2
t (t 为参数)．
∴消去参数t 得直线l 的普通方程为3x ＋y －1＝0， ∵圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，
∴由ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. ∵圆心(0,1)在直线l 上， ∴直线l 与圆C 的交点个数为2. (2)由(1)知圆心(0,1)在直线l 上， ∴AB 为圆C 的直径，
∵圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. ∴圆C 的半径r ＝1
2
×4＝1，∴圆C 的直径为2，
∴|AB |＝2.
5．(2017·厦门二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π
2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；
当α≠π
2时，直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x ＋1)．
由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．
(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0.当α＝π
2时，
方程化为：t 2＋3＝0，方程不成立，当α≠π2时，由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝3
4，所以
cos α＝
32或cos α＝－3
2
， 故直线l 倾斜角α为π6或5π6
.
6．(2017·梅州二模)已知曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.
(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；
(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．
解：(1)∵曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数)，
∴曲线C 1的平面直角坐标方程为(x ＋2)2＋y 2＝4. 又由曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ， 得ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ，
把两式作差，得y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y ，
得2x 2＋4x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2y ＝2
，
∴曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标为(0,0)，(－2,2)．
(2)如图，由平面几何知识可知：当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，
O 到AB 的距离为2，
∴△OAB 的面积为S ＝1
2
(22＋4)·2＝2＋2 2.。