导数 高中数学-高二期末试题解析版

高二期末试题解析版—导数
一、单选题
1．函数()1e x
y ax =+在0x =处的瞬时变化率为1-，则=a （
）
A ．1
B ．2
C ．1
-D ．2
-【答案】D
【详解】因为()1e x
y ax =+，则()1e x
y ax a '=++，因为函数()1e x
y ax =+在0x =处的
瞬时变化率为1-，则0
11x y a ='
=+=-，解得2a =-.故选：D.
2．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．1.5
【答案】A
【详解】若l (2)n f x x =+，则1()f x x
'=，且0x >，若()()ln 1g x x =+，则1()1
'=
+g x x ，且1x >-，又y kx b =+是l (2)n f x x =+、()()ln 1g x x =+的公切线，设切点分别为11(,ln 2)x x +、22(,ln(1))x x +，则12()()f x g x k ''==，112212ln 2ln(1)111
kx b x kx b x x x ⎧
⎪+=+⎪⎪
+=+⎨⎪⎪=+⎪⎩，则
121212()ln 2ln(1)
1
k x x x x x x -=+-+⎧⎨
=+⎩，即2k =.故选：A 3．泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有()()357211
sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-，其中R x ∈，*n ∈N ，
!123n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯，0!1=．现用上述式子求()()246221
4444112!4!6!22!
n n n ---+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-的值，下列选项中与该值最接近的是（）
A ．cos49︒
B ．cos41︒
C ．sin49-︒
D ．sin41-︒
【答案】D
【详解】由题意得357211
sin (1)
3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+- 357211
'
(sin )cos ((1))3!5!7!(21)!n n x x x x x x x n --'∴==-+-++-+- 462221
1(1)2!4!6!(22)!
n n x x x x n --=-+-++-+-
当4x =时，πcos4sin 42⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，于是()()246221444411cos42!4!6!22!n n n ---+-++-+=- 180cos 4cos229cos49sin41°π︒⎛⎫
⎛⎫≈⨯=︒=-︒=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D.4．若函数()sin e
x x
g x mx =+在区间()0,2π恰有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）
A ．π2π2e ,e --⎛⎫- ⎪
⎝⎭
B ．(
)
π2π
e ,e
---C ．5ππ2e ,e -⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．()
3ππ
e ,e
--【答案】A
【详解】函数()sin e x x g x mx =+，求导得：cos sin ()e x
x x
g x m -'=+，因为函数
()sin e x x g x mx =+
在区间()0,2π恰有两个极值点，所以
cos sin ()0e x
x x
g x m -'=+=在区间()0,2π有两个相异的变号实根，即方程cos sin e x
x x
m -+=
在区间()0,2π有两个相异的变
号实根，构造函数()sin cos e x x x h x -=
，则()2cos e x
x h x ='，()0,2πx ∈，当π
02x <<或3π2π2x <<时，()0h x '>，当π3π22x <<时，()0h x '<，所以()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2
⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以当π2x =时，()h x 取极大值π
2
π=20e h -⎛⎫ ⎪⎭>⎝，
当3π2x =时，()h x 取极小值3π
23π=e 02h -⎛⎫
- ⎪⎭
<⎝，又当2πx =时，2π(2π)e h -=-，又(0)1h =-，所以()3ππ(0)2π022h h h h ⎛⎫⎛⎫
<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，要使方程cos sin e x
x x m -+=在区间()0,2π有两个相异的实根，则函数y m =和函数()h x 有两个交点，则()π2π2h m h ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，即
π2π
2
e
<e
m -
--<，故实数m 的取值范围是π
2π2(e ,e )---.故选：A
5．若函数3212
()33
f x x x =+-在区间(1a -,5a +)内存在最小值，则实数a 的取值范围
A ．[－5,1)
B ．(－5,1)
C ．[－2,1)
D ．(－2,1)
【答案】C
【详解】由2()2f x x x =+'，令()0f x '=，可得2x =-或0x =，由()0f x '>得：<2x -或0x >，由()0f x '<得：20x -<<，所以函数()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上
单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数在0x =处取得极小值2
(0)3
f =-，
令()32122333
f x x x =
+-=-，解得0x =或3x =-，若函数()f x 在(1a -,5a +)内存在最小值，则3105a a -≤-<<+，得21a -≤<．故选：C 6．下列不等式正确的是（
）．（其中e 2.718≈为自然对数的底数，π 3.14≈）
A ．23log 7log 8<
B ．π
πln
π33
<-C ．52log 25
>
D ．59ln
440
>【答案】C
【详解】2233log 7log 42log 9log 8>==> ，可得23log 7log 8>，故A 选项错误；因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，并且函数图像上凸，所以()ln πln 31
ππ3π
f -'>=-，所以
ππln
π33>-，故B 选项错误；构造函数ln ()x g x x
=，21ln ()x
g x x -'=，()0,e x ∈时()0g x '>，()e,x ∞∈+时()0g x '<函数()g x 在()0,e x ∈上单调递增，在()e,x ∈+∞上单调递减，
又因为e 45<<，所以()()52
45log 25
g g >⇒>
成立，故C 选项正确；令11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2
22
111(1)()(1)022x h x x x x
--'=-+=<，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，又(1)0h =，所以()1,x ∈+∞时()(1)0h x h <=，所以11ln 2x x x ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，所以
51549ln ()424540
<-=，故D 选项错误．故选：C.7．若不等式222e ln e ln 2e x
a
a x x a -+-≥
-在[1,2]x ∈-有解，则实数a 的取值范围是（）
A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B ．221,e e ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【答案】D
【详解】由ln a 有意义可知，0a >，22
2e ln e ln 2e
x a
a x x a -+-≥
-变形为()()2
2e
ln 2e 1x a a x --≥-，即()2
2e ln 21e e x x a a ⎛⎫≥- -⎪⎝⎭
，令e x
t a =，即有()
2e 1ln 220t t --+≥，因为[1,2]x ∈-，所以2,e e e x t a a a ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦
，令()()2
1ln 22e f t t t =--+，问题转化为存在
2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥，因为()22e 121
2e t f t t t
---'=-=
，令()0f t '<，即2
0e 21t --<，解得2e 12
t ->
，令()0f t '>，即2
0e 21t -->，解得2
e 102t -<<，所以()
f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，又
()()()222210,e e 1ln e 2e 20f f ==--+=，而22
1e e 1<2-<
，
所以当21e t ≤≤时，()0f t ≥，若存在2,e e t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立，只需2
2e e a ≤且e 1a ≥，解得4e 1e ,a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D
8．已知函数32
11()32
f x x x cx d =+++有两个极值点()1221,x x x x >，且()()1221,f x x f x x ==，
则c =（
）
A ．54
-
B ．32
-
C ．74
-
D ．2
-【答案】A
【详解】由2()0f x x x c '=++=，得12121,,140x x x x c c +=-=∆=->，可得14
c <．因为()()1221,f x x f x x ==，所以两式作差得()()()332
2212121121132
x x x x c x x x x -+-+-=-，则
()
()22
11222111132
x x x x x x c +++++=-，所以()()2
1212121111(1)13232x x x x x x c c c ⎡⎤+-+++=--+=-⎣⎦，解得54
c =-．故选：A 二、多选题
9．已知关于x 的方程e 0x x a -=有两个不等的实根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（
）
A ．1e 0a --<<
B ．122
x x +<-C ．2x a
>D ．11e 0
x
x +<【答案】ABD
【详解】方程e 0x x a -=，可化为e x x a =，因为方程e 0x x a -=有两个不等的实根12,x x ，所以y a =与e x y x =有两个不同的交点，令()e x f x x =，则()e e (1)e x x x f x x x '=+=+，令()0f x '=，可得=1x -，当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 在(),1-∞-单调递减，当1x >-时，()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，min 1()(1)e
f x f =-=-，
当0x <时，()0f x <，且(0)0f =，当0x >时，()0f x >，
当x →-∞时，与一次函数相比，指数函数e x y -=呈爆炸性增长，故()0e x
x
f x --=-
→，当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，可得函数()f x 的大致图象如下：
1
0e
a ∴-<<，且1210x x <-<<，故A 正确．因为1210x x <-<<，121
x -->-构造()()2()2e (2)e ,1x x
F x f x f x x x x --=---=++<-，
()22()(1)e (1)e (1)e e 0x x x x F x x x x ----'=++--=+->，()F x ∴在(,1)-∞-上单调递增，
()1(1)0F x F ∴<-=，()()112f x f x ∴<--，即()()212f x f x <--，由()f x 在()1,-+∞单
调递增所以211222x x x x <--⇒+<-，故B 正确．对于C ，由22e x a x =，1
0e
a -<<，所以22211e e x x a x a a a ⎛⎫
-=
-=- ⎪⎝⎭
，又210x -<<，所以2
11e x >，则2110e x ->，所以2x a <，故C 错误．对于D ，由11x <-，可得110<e e x -<，所以11
1+e 1e 0x x -<-+<，D 正确．
故选：ABD ．10．已知函数()()cos ,0,πsin x
f x x x x
=+∈，则（）
A ．()f x 有一个零点
B ．()f x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
C ．()f x 有两个极值点
D ．若()()12f x f x a ==，则12x x π
+<【答案】BD
【详解】对A,B,C 选项322sin sin cos cos (sin 22)
()cos ,()sin sin 2sin x x x x x x x x f x x f x x x x
--==
'-=+令()()sin 22,0,πg x x x x =-∈，因为()2cos 22g x x =-'，[]cos 22,2x ∈- ，()0g x '∴≤，所以()g x 在(0,)π上单调递减，所以()(0)0g x g <=，即()sin 220,0,πx x x -<∈所以当()0f x '=时，π
2x =，且为唯一解，所以()()π0,,0,2x f x f x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭
'单调递减；
()()π,π,0,2x f x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'单调递增，所以()min ππ
22
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()f x 在()0,π上无零点，同时表明()f x 在()0,π上有唯一极值点，故A,C 错误，B 正确；对D ，若()()12f x f x a ==，设12x x <，则12π
02
x x <<
<，要证12πx x +<，即证21πx x <-，因为()1π,2x f x π->
在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，所以即证()()21πf x f x <-，因为()()12f x f x a ==，所以即证()()11f x f x π<-，
令()()()πππ2cos ,0,sin sin 2x x
h x f x f x x x x x -⎛⎫=--=--∈ ⎪⎝⎭
，2
cos (2sin 2)()sin x x x h x x
π--'=
，其中()2πsin 2πx x g x --=--在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，所以π2πsin 22πsin 02
x x π--<⋅
--=，所以()0,()h x h x <'在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
所以()ππππ0222h x h f f ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
>=--
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，即()()()111π0h x f x f x =-->，所以()()11πf x f x ->成立，即12πx x +<成立，故D 正确.故选：BD ．
11．关于函数()2
ln f x x x
=+
，下列说法正确的是（）
A ．()f x 在()2+∞，
上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数12x x ，，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>【答案】ABD 【详解】A 对，22122
()x f x x x x
-'=
-=，则当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.B 对，设2()()ln g x f x x x x x =-=+
-，2222(2)
()10x x x g x x x
---+'=-=，则()g x 在(0,)+∞上单减，又(1)10,(2)ln 210g g =>=-<，则()()g x f x x =-在(0,)+∞上有且只有一个零点.C 错，22ln ()x f x kx k x x >⇔<+，设22ln ()(0)x h x x x x =+>，则23
1ln 2()2x h x x x -'=-⋅=2
4
1ln x x x --
，令4()1ln (0)k x x x x =-->，则22144()x
k x x x x
-'=-+=则当04x <<时，
()0k x '>，()k x 单调递增；当>4x 时，()0k x '<，()k x 单调递减.则当4x =，()k x 取得最
大值(4)ln 40k =-<，则()0k x <恒成立，则()0h x '<恒成立，()h x 在(0,)+∞上单减.当
x →+∞时，()0h x +→，则()h x 无最小值，故不存在正实数()k h x <恒成立.
D 对，设21(1)x t t x =>，由1212
22
ln ln x x x x +=+得2211122()ln x x x x x x -=，即22112
2(1)ln x
x x x x -=，
即22122(1)2(1)2(1)
ln ,,ln ln t t x t t x x x t t t t
---=
===2
122(1)2(1)144ln 0ln ln 2t t t x x t t t t t ---+>⇔+⇔+<设21()ln 1)2t h t t t t
-=+>，则
22
22
111(1)
()022t t h t t t t
----'=+⋅=<则()h t 在()1,+∞上单减，()(1)0h t h <=，故124x x +>成立.故选：ABD
12．已知函数()ln f x x ax =-的两个零点分别为1x ，2x 且12x x <，则下列说法正确的是（
）
A ．1
0e
a <<B ．11e x a
<<C ．存在实数a ，使得2
12e
x x =D ．若()33
31e
x x a x =
>，则32e x x =【答案】AD
【详解】对A ，()ln 0f x x ax =-=即ln x ax =，设ln ,y x y ax ==相切时切点为()00,x y ，
则对ln y x =求导有1
y x
'=
，又切点到原点的斜率与该点处的导数值相等，则0001y x x =，
解得01y =，故切点()e,1，此时1e
a =.故当函数()ln f x x ax =-有两个零点时，1
0e a <<，
故A
正确；
对B ，由图象可得，10e x <<，故B 错误；对C ，先证明：当120x x <<时，211221ln ln 2x x x x x x -+<-.构造函数()()()21ln ,11
x g x x x x -=->+，则
()()()()2
22114011x g x x x x x -'=-=>++，故()()21ln 1
x g x x x -=-+在()1,+∞上单调递增，又211x x >，故()2110x g g x ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即212211
21ln 01
x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭->+，化简可得()2121212ln ln x x x x x x -->+，
即
211221ln ln 2x x x x x x -+<-.又1122ln ln 0x ax x ax -=-=，故21211ln ln x x x x a -=-，所以1212
x x a +<，
故()122a x x +>.若2
12e x x =则12ln ln 2x x +=，即122ax ax +=，()122a x x +=矛盾，故C
错误；对D ，由题意，ln 0x ax -=即ln x
a x
=有两根12,x x 且12e x x <<，令2ln 1t x =>，则t
t a e
=
，又()33
31e x x a x =>，故32ln t x x ==，32e x x =.故D 正确；故选：AD 三、填空题
13．若函数()2
ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为_____________.
【答案】1,8⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
【详解】()2
ln f x ax x x =+-，定义域为()0,∞+，()121f x ax x '=+-，由题意可知，存
在0x >使得()0f x ¢>，即2112a x x >-.当0x >时，2
2111111
244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，
所以，124a >-，因此，实数a 的取值范围是1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,8⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
14．已知函数2
()ln f x a x x
=-
，在区间()0,3内任取两个实数1x ，2x ，且12x x ≠，若不
等式
()()
1221
111f x f x x x +-+<-恒成立，则实数a 的最小值为______．
【答案】-【详解】不妨设1203x x <<<，则()()112211f x f x x x <+--+，即()()112211f x x f x x +<+++，令()()()21ln 11
g x f x x a x x x =++=+-
++则()()12g x g x <，∴()g x 在()0,3单调递增，()()221011a g x x x '=
++≥++对()0,3x ∈恒成立，即()211a x x ⎡⎤⎛⎫≥-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦
，因为10x +>，则()
2121x x ⎡⎤⎛⎫-++≤-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦
211x x =+
+时，即1x =
-a ≥-
，即a 的最小值为
-，故答案为:-15．若不等式2e 2ln ln x a x x x a -+>-恒成立，则a 的取值范围为______.【答案】24,e ∞⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
【详解】由题设22e ln ln x a x a x x ++>+且,()0x ∈+∞，即2
ln ln 2e ln e ln x a x x a x +++>+，
令()e x g x x =+，易知()g x 在R 上单调递增，故2ln ln x a x +>，即2ln ln a x x >-，所以2ln ln e x x a >，
又ln y x =是单调递增函数，故2
e x x a >.令2()(0)e x x h x x =>，则22()e x
x x h x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减.故max 24()(2)e h x h ==
，故2
4e a >.故答案为：24,e ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
16．若函数31()(0)3f x ax a =->与函数2
2()3
g x x cx =-的图像恰有三个不同交点，且交
点的横坐标构成等差数列，则实数a 的取值范围是________．【答案】10,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
【详解】函数31()3f x ax =-与函数2
2()3g x x cx =-的图像三个不同交点，等价于函数
3221
()()()33h x f x g x ax x cx =-=-+-有三个不同的零点，即()h x 的图像与x 轴有三个交
点，由22()323h x ax x c '=-+，故必有方程2
23203ax x c -+=有两个不同的实数根，
则0a >，480ac ∆=->，
1
2
ac ∴<三次函数的图像是中心对称图形，由()h x 的图像与x 轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则()h x 的图像的对称中心一定在x 轴上，
22
()323h x ax x c '=-+，令22()323
x ax x c ϕ=-+，令()620x ax ϕ'=-=得13=x a ，
则函数()h x 图像的对称中心横坐标为
13a ，当103h a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
时符合题意，3
2
3210133
1331a a a c a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⋅-⎝⎭⎝=⎭，
化简整理即有2629ac a =+，故2293a +<，219a ∴<且0a >所以实数a 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：10,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
四、解答题
17．已知函数32()23(1)61f x x a x ax =-+++，其中R a ∈．(1)当3a =时，求函数()f x 在()0,3内的极值；
(2)若函数()f x 在[]1,2上的最小值为5，求实数a 的取值范围．【详解】（1）由题意得，当3a =时，32()212181f x x x x =-++，则2()624186(1)(3)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，23x =，()f x '，()f x 在()0,3内随x 变化而变化的情况如下表所示：
x
()
0,11()
1,3()
f x '+
-
()
f x 单调递增极大值9单调递减
故()f x 在()0,3内的极大值为9，无极小值；（2）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，
①当1a ≤时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≥且不恒为0，所以函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，
所以在[]1,2上，32
min ()(1)213(1)16113f x f a a a ==⨯-+⨯+⨯+=，由题意，则35a =，
解得5
3
a =，与1a ≤矛盾，
②当2a ≥时，[]1,2x ∀∈，()0f x '≤且不恒为0，所以函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，
所以在[]1,2上，32
min ()(2)223(1)26215f x f a a ==⨯-+⨯+⨯+=，符合题意，
③当12a <<时，当[)1,x a ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间[)1,a 上单调递减，当(],2x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],2a 上单调递增，
所以在[]1,2上，32232
min ()()23(1)6131f x f a a a a a a a ==-+++=-++，
由题意，则32315a a -++=，即32340a a -+=，即3222(4)0a a a ---=，即2(2)(1)0a a -+=，解得1a =-或2a =，与12a <<矛盾，
综上，实数a 的取值范围为[)2,+∞．
18．设函数32()3(3)1f x x x a x b =-+-+-，,,x a b ∈R ．(1)求()f x 的单调区间；
(2)若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=．
【详解】（1）由()f x 求导，可得22()3633(1)f x x x a x a '=-+-=--．下面分两种情况讨论：
①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；
②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的递减区间为1⎛ ⎝，递增区间为,1⎛-∞ ⎝，1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
．综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，
当0a >时，()f x 的递减区间为1⎛ ⎝，递增区间为,1⎛-∞- ⎝，1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
．（2）因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠，由题意，得
()()2
00310f x x a '=--=，即20(1)3
a
x -=
，3()(1)f x x ax b =--+，进而()()3
000021133
f x x ax b ax a b =--+=--+．又
()()()()3
0000083222221233
f x x a x b a x ax a b
-=---+=-+-+
()0021
33
ax a b f x =--+=，且0032x x -≠．由题意及（1）知，存在唯一实数满足
()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以1023x x +=．
19．设函数()()2e ln 1x
f x a x =-+.
(1)讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；(2)证明：当0a >时，()2ln
f x a a
≥.【详解】（1）()f x 的定义域为{}|1x x >-，且()22e 1
x
a
f x x '=-
+.①0a ≤时，()0f x ¢>在()1,-+∞上恒成立，此时()f x '没有零点；②0a >时，由于22e x y =单调递增，1
a
y x =-
+在()1,-+∞上单调递增，()f x '∴在()1,-+∞单调递增.由于()222e 2e 101
a a a
f a a '=-
>->+，e 2e 2e 12e 2e 2e 2e
2
a a a a a a a a a f a ------'⎛⎫
-=-=- ⎪⎝⎭()()
2e e 2e e 2e e a a
a a a a ---=-<-.令()e x
g x x =-，则()e 10x g x '=->在()0,∞+上恒成立，
所以()e x
g x x =-在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以e x x >.
因为0a >，所以<e e a a a a -<，所以e e 0a a a --<，所以e 1<02a a f -⎛⎫
'- ⎪⎝⎭
.
根据零点存在定理以及()f x '的单调性可知，()f x '只有一个零点.综上：0a ≤，没有零点；0a >时，一个零点.
（2）由（1）知，当0a >时，导函数()f x '在()1,-+∞上存在唯一的零点0x .当()01,x x ∈-时，()<0f x '，所以()f x 在()01,x -上单调递减；
当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.故在0x x =时，()f x 取
得最小值()0f x .由()02002e 01
x
a f x x '=-
=+，即()020e 21x
a x =+，从而有
()00ln 1ln
22a x x +=-.所以()()0200e ln 1x
f x a x =-+()00ln 2212a a a x x ⎛⎫=
-- ⎪+⎝⎭
()()()00002ln 212ln
212212a a a a
ax a a x a a x x =
+-=++--++
2ln 2a a a ≥-2
22ln ln 2a a a a a a
=--=，
当且仅当
()()002121a
a x x =++时，即012x =-时等号成立，所以，当0a >时，()()02
ln f x f x a a
≥≥.
20．()32ln f x x ax ax
=--
．(1)讨论()f x 的单调性；
(2)()()2
3g x f x x ax
=++
，若()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，试求()()212g x g x -的最大值．
【详解】（1）由题意得22222
2323(3)(1)
(),(0)a x ax ax ax f x a x x ax ax ax -++--+'=-+==>，
令()0f x '=，得两根为3a 和1
a
-．当0a >时，令()0f x '>，得30x a <<，令()0f x '<，
得3x a >
，于是()f x 在30,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减；当a<0时，令()0f x '>，得1
x a >-
，令()0f x '<，得10x a
<<-，于是()f x 在10,a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
上单调递增．
（2）由题意得2
()2ln (0)g x x ax x x =-+>，则2222
()2x ax g x a x x x
-=-='++．
令2()22h x x ax =-+，则()h x 有两个不等正根12,x x ，于是2Δ160a =->，且1202
a
x x +=>，121=x x ，即4a >，又12x x <，于是1201x x <<<，且21
1x x =
．则()()22
2122211122ln 4ln 22g x g x x ax x x ax x -=-+-+-21112111
11
2ln
4ln 22a x ax x x x x =-+-+-()2
12111211
211
2212ln 4ln 2222x x x x x x x x x x +=--+-++-()2212112111122111
2211
6ln 22226ln 22x x x x x x x x x x x x +=--
+++-=--++，令2
2
1()6ln 22,(01)x x x x x ϕ=--
++<<，则()()2242333
221162462()4x x x x x x x x x x
ϕ---+='=-++=．令()0x ϕ'
>
，则02x <<，于是()ϕx
在⎛ ⎝⎭
单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭
单调递减，
故
2
max
2
1()6ln 223ln 212222x ϕϕ⎛⎛==--+⨯+=+ ⎛⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，即()()212g x g x -的最大值为3ln 21+.
21．已知函数e 1
()ln ()x a f x x a x x
=--∈R ．
(1)当0a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)当0a >时，求()f x 的单调区间；(3)若对1x ∀>，1
()1f x x x
≤--
恒成立，求a 的取值范围．【详解】（1）当0a =时，1()ln (0)f x x x x =-->，所以211
()f x x x '=-，得()01f '=，又
(1)1f =-，所以曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y =-.
（2）222
e (1)11(1)(e 1)
()(0)x x a x x a f x x x x x x ---'=+-=>,
0a >，令()01f x x =⇒='或ln x a =-，当1
0e
a <<时，由()001f x x '>⇒<<或ln x a >-，
由()01ln f x x a '<⇒<<-，所以()f x 在(0,1)和(ln ,)a -+∞上递增，在(1,ln )a -上递减；
当1
1e
a <<时，由()00ln f x x a '>⇒<<-或1x >，由()0ln 1f x a x '<⇒-<<，所以函数()f x 在(0,ln )a -和(1,)+∞上单调递增，在(ln ,1)a -上单调递减；
当1a ≥时，由()01f x x '>⇒>，由()001f x x '<⇒<<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；
当1
e
a =时，由()0f x '≥，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.
综上，当1
0e
a <<
时，函数()f x 的单调增区间为(0,1)和(ln ,)a -+∞，减区间为(1,ln )a -；当1
1e
a <<时，函数()f x 的单调增区间为(0,ln )a -和(1,)+∞，减区间为(ln ,1)a -；当1a ≥时，函数()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；
当1
e
a =时，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间.
（3）1x >，则不等式1
()1f x x x ≤--转化为(ln 1)e x
x x x a -+≤，设(ln 1)(1)(ln 2)
()()e e x x
x x x x x x h x h x -+--+'=
⇒=，令()ln 2(0)x x x x ϕ=-+>，则
1()x
x x
ϕ-=
'，由()001x x ϕ'>⇒<<，由()01x x ϕ'<⇒>，所以函数()ϕx 在(0.1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且22(e)3e>0,(e )4e 0ϕϕ=-=-<，则函数()ϕx 在2(e,e )
内存在唯一的零点0x ，当0(1,)x x ∈时，()0,()0,()x h x h x ϕ'><单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0,()x h x h x ϕ'<>单调递增，所以0
000min 0(ln 1)
()()e x x x x h x h x -+==
，又
000()ln 20x x x ϕ=-+=，
得02
0e
x x -=，则00
002000200(ln 1)e ()e e e e
x x x x x x x x h x ---+==-=-=-，即2
min ()e h x -=-，所以2e a -≤-，即实数a 的取值范围为2
(,e ]--∞-.
22．设函数()()()2211ln 1,e 22
x
f x x ax
g x ax ax =+-=-，其中R a ∈.
(1)当1
2
a =
时，求函数()f x 的值域；(2)设()()()F x f x g x =+，当01a <<时，①证明：函数()F x 恰有两个零点；
②若0x 为函数()F x 的极值点，1x 为函数()F x 的零点，且10x x >，证明：012x x >.【详解】（1）当12a =
时，()()2
1ln 14
f x x x =+-，显然函数()f x 的定义域为()1,-+∞.令()()()()()
221120122121x x x x x f x x x x '+---=-==-=+++得1x =，令()0f x ¢>，解得：11x -<<；令()0f x '<，解得：1x >，()f x 在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减.()()max 1
1ln24f x f ∴==-.且当x 趋近于1-，()f x 趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷，
()f x 趋近于负无穷，故函数()f x 的值域是1,ln24∞⎛
⎤--
⎥⎝
⎦
.（2）①显然()()ln 1e x
F x x ax =+-，定义域为()1,-+∞.
()()211(1)e 1e 11
x x
a x F x a x x x -+=-+=
+'+ ，令()21(1)e x h x a x =-+，则由01a <<可知，()h x 在()1,-+∞单调递减，且当x 趋近于1-，()h x 趋近于1.
而()()11
11010,11e 11e 0,a
a h a h a a a a ⎛⎫⎛⎫=->=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
存在唯一的010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得
()00h x =，所以当x ∈()01,x -时，()0F x '>，当x ∈()0,x +∞，()0F x '<，
于是()F x 在()01,x -上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，
从而()()()()()
00002
max 0ln 1e ln 11x x F x F x x ax x x ==+-=+-
+.()*，
令()()()221111ln 10,x m x x x m x x x x x
'-=-+
>=-=，
若()0m x '
>，可得：1x >；若()0m x '<，可得：01x <<，所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以
()()10m x m ≥=，所以1ln 1x x
≥-，当1x =时取等。

由1
ln 1x x
>-
知：()00001
ln 11,11
x x x x +>-
=++
()*∴()000200001101111x x x x x x x ⎛⎫
>
-=-> ⎪++++⎝⎭
，()00F = ，11
1111ln 1e e 0a a
F a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
（注意：ln y x x =-且1x >，则1
10y x
'=->，即y 递增，故ln 1ln110x x ->-=>；
且e x y x =-且1x >，则1e 0x y '=-<，即y 递减，故e 1e 0x x -<-<；所以ln x x >、e x x <在(1,)+∞上恒成立.）
()F x ∴在()()001,,,x x ∞-+都各有一个唯一零点，故()F x 恰有两个零点.
②由题意得100x x <<，由于()10F x =，要证012x x >，即证()020F x <.
()()020002ln 122e x F x x ax =+-，由（1）知()02
01e 1x a x +=，从而
()()()
0002
02e 2ln 121x x F x x x =+-
+，令()()2
2e ln 12(1)x
x T x x x =+-+，则()00T =，且
()()
23
21e 212(1)x x T x x x +=-
++'，令()()e 1,e 1x x k x x k x '=--=-，令()0k x '>，则0x >；令()0k x '<，则0x <；则()k x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()00k x k ≥=，所以e 1x
x ≥+，故()()
()23
22
2124012(1)12(1)x x T x x x x x '+-≤-=<++++.
于是()T x 在()0,∞+上单调递减，故()()00T x T <=，即()020F x <，即012x x >.。