费马大定理的一个简洁证法

费马大定理的一个简洁证法

【摘要】本文采用反证法，即假设存在正整数及使得，利用引理得出矛盾，从而推翻假设，费马大定理得证.

【关键词】费马大定理；简洁；反证法

引理：，则

证明：⑴时，，原不等式成立

⑵设时原不等式成立，即：

故要证明时原不等式成立

即证明成立

只须证明成立

只须证明成立

下面证明成立

不妨设则

故时原不等式成立

由⑴⑵可知，对任何，原不等式成立.

定理：无正整数解.

[思路分析]：采用反证法，即假设存在正整数及使得，利用引理得出矛盾，从而推翻假设，证明定理.

证明：假设存在正整数及使得

⑴当时

，

，

不可能有，假设不成立

⑵当时，利用引理得

将假设条件代入上式得

即

即（★）

但事实上（★）式不成立，产生矛盾。下面说明（★）式不成立理由

构造函数，

①当时，作出及

图象，再作出的图象:

通过图象的对比分析，可“看出”当时的图象永远在图象之下，下面来严格证明这个“看出”来的结论。

事实上我们只要证明当时，的图象与图象没有交点即可。下面给出证明：

假设存在使得，

，即

若是无理数,则是无理数，这与矛盾

若是有理数，可设

开不尽，是无理数，这与矛盾

假设不成立，故当时，的图象与图象没有交点，也就是说当时的图象永远在图象之下

②当时，由作图看显然当时的图象永远在图象之下

③当时，由作图看显然当时

的图象永远在图象之下

由①②③得即

即

于是考虑有理数，其中，

总有

所以（1）式不成立，出现矛盾

故当时原假设“存在正整数及使得不成立”综合⑴⑵原假设不成立，所以

无正整数解.