小学奥数教师版1-2-2-1 分数裂项.教师版

分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，1a b ⨯a b <那么有1111(a b b a a b
=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例题精讲
【例 1】 。

111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】【解析】原式111111115122356166
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：111113355779
+++⨯⨯⨯⨯．111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【答案】56【巩固】111......101111125960+++⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】【解析】原式111111111()(......(101111125960106012
=-+-++-=-=
【答案】1
12【巩固】 2222109985443
++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算 【解析】【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭ 112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715
=【答案】715【例 2】
111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
代入有，，……， 112(11)11122==+⨯⨯112(12)21223
2
==+⨯+⨯原式22221200992(1)1122334100101101101101
=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101
【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】111111111150(113355799101233599101101
++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯ …）【答案】50101
【巩固】计算： 111125133557
2325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
【解析】【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225
=⨯12=【答案】12
【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算 【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】
【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭
2515015012115165023232=
⨯==【答案】21
1532
【巩固】计算： 3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12
=【答案】12
【例 4】计算： 11111111()1288244880120168224288
+++++++⨯=【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】101中学【解析】【解析】原式11111282446681618
=++++⨯⨯⨯⨯⨯ （） 1111111128224461618
=⨯-+-++-⨯ （ 1164218
=-⨯（） 4289
=【答案】4289【巩固】_______11111111612203042567290
+++++++=【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】【解析】根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290
+++++++1111111123344556677889910
112==2105
=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-【答案】25【巩固】 11111113610152128
++++++=【考点】分数裂项
【难度】6星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111212312341234567=+
++++++++++++++++ 2221233478=+
+++⨯⨯⨯
111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭
1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74=【答案】7
4
【巩固】计算：＝ 1111111112612203042567290
--------【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111111()223344556677889910
=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111()22334910
=--+-++- 111()2210
=--1
10=
【答案】1
10【巩固】 。

11111104088154238++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式11111255881111141417
=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭
1115321734
⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】计算：1111135357579200120032005
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，总决赛，二试【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11110040034132003200512048045
⎛⎫=
⨯-= ⎪⨯⨯⎝⎭【答案】100400312048045
【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23
⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭
-⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83
-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯71111111461123357913123
+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭-4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336
【例 7】计算：11111123420261220420
+++++ 【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】【解析】原式()1111112320261220
420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021
=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021
=+-+-+-++- 12021012102121
=+-=【答案】2021021【巩固】计算：= 。

11111200820092010201120121854108180270
++++【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯
1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭
51005054=【答案】5
1005054
【巩固】计算： ____。

1122426153577
++++=【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算
【答案】11【巩固】计算：1111111315356399143195
++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，232113=-=⨯2154135=-=⨯，
21951411315=-=⨯所以原式11111111335577991111131315
=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715
=【答案】715
【巩固】计算： ． 15111929970198992612203097029900
+++++++= 【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【关键词】四中
【解析】【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 11111991223
99100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭ 1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
198
100=【答案】1
98100
【例 8】 111123234789
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1112128935144⎛⎫=
⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭=【答案】35
144
【巩固】计算：
1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式11111111()21223233434989999100
=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111149494949()212991002990019800
=⨯-=⨯=⨯⨯【答案】494919800
【巩固】计算： 1111135246357202224
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】原式＝＋＋…+++…+1135⨯⨯1357⨯⨯1192123⨯⨯1246⨯⨯1202224
⨯⨯＝(－)＋(－)14113⨯12123⨯14124⨯12224⨯＝＋＝＋404836521122816034003210465340032
＝38625340032
【答案】38625340032
【巩固】 4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】11111111((......(()133535579395959795979799
=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11139799=-⨯⨯32009603
=【答案】32009603
【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】＝＝－＝－99123⨯⨯1001123-⨯⨯100123⨯⨯123⨯100123⨯⨯123
⨯
＝＝－＝－98234⨯⨯1002234-⨯⨯100234⨯⨯2234⨯⨯100234⨯⨯134
⨯ ＝＝－＝－……97345⨯⨯1003345-⨯⨯100345⨯⨯3345⨯⨯100345⨯⨯145
⨯＝＝－＝－199100101⨯⨯1009999100101-⨯⨯10099100101⨯⨯9999100101⨯⨯10099100101⨯⨯1100101
⨯原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101
=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()(2422101002101101
=⨯⨯---=【答案】5124101【例 9】 11111123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160
=【答案】1192160
【巩固】333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920
=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840
⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840
【例 10】计算： ． 57191232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以n n 先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
原式32343161232348910
+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334
910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭
3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7114605=--2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以
23n +，再将每一项的与()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+()()212n n +⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．()()
312n n n ⨯+⨯+【答案】2315【巩固】计算：5717191155234345891091011
⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同571719234345891091011
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
523=+734=+571719234345891091011
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011
+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911
=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111113445
10112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111111111113445
10112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=所以原式．31115565155
=⨯=（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都a nd +d a nd 变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719234345891091011
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011
+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011
⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112222234345
89109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1111111111111222334344591010113445
1011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
1111122231011311⎛⎫⎛⎫=
⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，11223413112220311422055
=-+-=-=所以原式．31115565155=⨯=（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
571719234345891091011
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011
=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055
=+--=所以原式．31115565155=⨯=（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
（，3，……，9）21(1)(2)
n n a n n n +=++2n =如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．
21n +2n n 1n +【答案】651
【巩固】计算： 3451212452356346710111314
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算 【解析】
【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222
345121234523456345671011121314
=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……
23154=⨯+24264=⨯+25374=⨯+原式2222
345121234523456345671011121314
=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314
⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=
⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75
616
【例 11】
12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】【解析】原式12349223234234523410
=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410
----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910
=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800
=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800
【例 12】 123456121231234123451234561234567
+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】【解析】原式13141516171121231234123451234561234567
-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111121212312312341234567
=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567
=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯115040=-50395040
=【答案】50395040
【巩固】计算： . 23993!4!100!
+++= 【考点】分数裂项
【难度】4星 【题型】计算 【解析】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100
=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100
---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100
=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯ 112100!=-【答案】112100!
-
【例 13】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)
++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋213⨯336⨯4610⨯51015⨯5012251275⨯＝（）＋（）＋（）＋（）＝11-1313-1616-11011225-1127512741275
【答案】12741275
【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】，，……，2111(12)112=-⨯++311(12)(123)12123
=-+⨯+++++，所以10011(1299)(12100)129912100
=-+++⨯+++++++++ 原式1112100
=-+++ 15049150505050
=-=【答案】50495050
【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)
----⨯++⨯++++++⨯++++ （）【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】【解析】原式234101()133********
=-++++⨯⨯⨯⨯ 111111111336610
4555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭ 11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155
=【答案】1
55
【例 14】 . 22222211111131517191111131
+++++=------【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校【解析】
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，22()()a b a b a b -=-⨯+原式111111(((()(()24466881010121214
=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142
=-+-+-+-+-+-⨯1113()214214
=-⨯=【答案】314
【巩固】计算： 222222
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】，，……所以，2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯2111241(1(1)33333
-=-⨯+=⨯原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1502524949
=⨯=【答案】2549
【巩固】计算：2
22222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】原式22222222
222222222132438712233478
----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478
=-+-+-++- 2118=-6364
=【答案】6364
【巩固】计算： ．
222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2229972446
19941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111119972446
19941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
9979971996=【答案】9979971996【巩固】计算： ． 22222222
222213243598100213141991
++++++++=---- 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】，，，……由于，，，2221310213+=-2222420318+=-22235344115+=-104233=204288=34421515
=可见原式222244442222213141991
=++++---- 11112984132435
98100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭
11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭
199196329900
=+-⨯47511984950
=【答案】4751
1984950
【巩固】计算： ．
22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算 【解析】
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，221-241-261-21001-所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭ 222211111111142141611001⎛⎫=
⨯++++++++ ⎪----⎝⎭ 1111150413355799101⎛⎫=
⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=
⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101
=【答案】6312101【例 15】5667788991056677889910
+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】56677889910111111113()...(56677889910566791051010
+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042
++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中 【解析】【解析】原式==36233445566736111111 (57233445566757233467)
+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯4【答案】4【巩固】计算： 1325791011193457820212435
++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】【解析】原式13257111111213457845373857
=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】 123791117253571220283042
+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式12311111121133573445475667
=++++++++++++ 11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
334=【答案】334【巩固】 1111120102638272330314151119120123124
+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127=【答案】1
27【巩固】35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎝⎭⎣
⎦【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11111111782334
788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭
211110
=-=【答案】10【巩固】计算：57911131517191612203042567290
-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式23344556677889910123344556677889910
++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111111111111(()()()(()()()23344556677889910
=-+++-+++-+++-+++ 11312105
=-+=【答案】35
【巩固】11798175451220153012
++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式111111112111453445355646
=+++++++++++ 111124523456
=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3
【例 16】 22222222
122318191920122318191920
++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】【解析】原式1232341918192021919 (217362123431819201912020)
=++++++++++=+⨯+=【答案】193620【巩固】11112007111(......)(......)120072200620062200712008120062200520061
++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】【解析】原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061
⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711(...(...)200812007220062007120081200620061
⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007(...(...)200812007220062007120081200620061
⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061
⨯++++++-++++=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061
⨯++++++-++++=1111()2008200720072015028
⨯+=【答案】12015028
【例 17】计算： 11111123459899515299
+++++++=⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】5星 【题型】计算 【解析】原式11111111124
983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112245035495254
98⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111124
503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111112242435252628
4850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111124
24352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111111111112241235111416
245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111124
12351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111224635810125025
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111246354565025
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11491502550=+
-=【答案】49
50
【例 18】计算： 24612335357357911
++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项
【难度】4星 【题型】计算 【解析】原式31517113133535735791113
----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111335
35791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1135791113
=-⨯⨯⨯⨯⨯ 135134135135=
【答案】135134
135135
【例 19】计算： 283411
12222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】341199
2222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 89
2242213355717191921
=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379
399。