第5章三角函数章末复习课课件共43张PPT

Βιβλιοθήκη Baidu
38
所以l＝t－4 1t 的最小值为4 2. 因为4 2＞5， 所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．
39
三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如 下：
1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式. 2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝ Asinωx＋φ＋b的形式. 3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
4
(1)13 [由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，
则sin sin
θ＋cos θ－cos
θθ＝ttaann
θθ＋ －11＝－ －22＋ －11＝13.]
(2)[解] ①f(α)＝s－ins2iαn·cαos－α·ttaann αα＝sin α·cos α.
②由f(α)＝sin α·cos α＝18可知，
41
[解] 连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足
为点H，在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α，所以BH
18
三角函数的性质
【例 3】 (1)若函数 f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则 f(x)在[0，
π]上的单调递增区间是( )
A.0，π2 C.π4，π2
B.π2，π D.34π，π
19
(2)已知函数 f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中 a 为常数)． ①求 f(x)的单调区间； ②若 x∈0，π2时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值． [思路点拨] (1)先根据函数 f(x)是偶函数，求 θ，再依据单调性求增区 间，最后与[0，π]求交集． (2)①由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z 求增区间， 由 2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋32π，k∈Z 求减区间． ②先求 f(x)的最大值，得关于 a 的方程，再求 a 的值．
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z
.
24
2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集． [解] 由f(x)＜1得2sin2x＋π6＋2＜1， 所以sin2x＋π6＜－12 所以2kπ－56π＜2x＋π6＜2kπ－π6，k∈Z.
25
解得kπ－π2＜x＜kπ－π6，k∈Z.
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
10
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
2．诱导公式可概括为 k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆 规律是：奇变偶不变，符号看象限．
9
三角函数的图象变换问题
【例 2】 (1)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋23π，则下面结 论正确的是( )
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
＝cos xsin x－ 23(1＋cos 2x)
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x－
23＝sin2x－π3－
23，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－2 3.
28
(2)当x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π，从而 当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤152π时，f(x)单调递增， 当π2≤2x－π3≤π，即152π≤x≤23π时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在π6，51π2上单调递增；在51π2，23π上单调递减．
21
(2)[解] ①由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6 ＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋ π6≤32π＋2kπ，k∈Z，
解得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，23π＋kπ(k∈Z)．
1
2
同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
【例 1】
(1)已知
sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ＝ θ
________.
3
(2)已知 f(α)＝sin2πsi－nα－·πc＋osα2π·t－anα－·tαan＋－3ππ＋α. ①化简 f(α)； ②若 f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求 cos α－sin α 的值； ③若 α＝－474π，求 f(α)的值． [思路点拨] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．
30
2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义 域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义 域，并在这个定义域内分析问题.
31
2．已知函数f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
2x.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
20
(1)B [因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数， 所以θ＝π2，f(x)＝3sin2x＋π2＝3cos 2x， 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－π2≤x≤kπ， 可得函数f(x)的增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为π2，π.]
7
2．将本例(2)中的用 tan α 表示fα＋1cos2α.
[解]
fα＋1cos2α＝sin
αcos
1 α＋cos2α
＝sinsiαnc2oαs＋αc＋osc2oαs2α＝ttaann2αα＋＋11.
8
1．牢记两个基本关系式 sin2α＋cos2α＝1 及csoins αα＝tan α，并能应用两 个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题 的技巧．比如：已知 sin α±cos α 的值，可求 cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
A．y＝2sin2x＋π4 C．y＝2sin2x－π4
B．y＝2sin2x＋π3 D．y＝2sin2x－π3
17
D [函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右 平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6 ＝2sin2x－π3，故选D.]
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数； (2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走 廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)
35
[思路点拨] (1)长度l可分成PA，PB两段分别用θ表示． (2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的 最小值．
36
[解] (1)由题意可知：
15
2．对称变换 (1)y＝f(x)的图象―x―轴关―对于―称→y＝－f(x)的图象． (2)y＝f(x)的图象―关―对于―称y―轴→y＝f(－x)的图象． (3)y＝f(x)的图象关――于对―称0―，→0y＝－f(－x)的图象．
16
1．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应 的函数为( )
32
[解] (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
2x
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝ 2sin2x－π4－1， 所以f(x)的最小正周期T＝22π＝π.
故选D.
13
(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后 得y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.若该函数为偶函数， 则π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，故φ＝kπ＋π4.当k＝0时φ＝π4.故选B.]
14
1．函数 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 图象的两种方 法
l＝sin2
θ＋co2s
θ＝2ssiinn
θ＋cos θ·cos θ
θ，
其中0＜θ＜π2.
(2)l＝2ssiinn
θ＋cos θ·cos θ
θ，
设t＝sin θ＋cos θ＝ 2sinθ＋π4，
因为0＜θ＜π2，
37
所以π4＜θ＋π4＜34π， 所以t∈(1， 2]， 所以l＝t2－4t 1＝t－4 1t . 因为t－1t 在(1， 2]上是增函数， 所以t－1t 的最大值为 22，
33
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)． 由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋32π，x≠kπ(k∈Z)， 得kπ＋38π≤x≤kπ＋78π(k∈Z)， 所以f(x)的单调递减区间为kπ＋38π，kπ＋78π(k∈Z)．
34
三角函数的平面几何中的应用 【例5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2 米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边 的夹角为θ0＜θ＜π2.
11
(2)将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π8个单位长度后，得到
一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能取值为( )
A.π2
B.π4
C．0
D．－π4
12
(1)D (2)B [(1)因为y＝sin2x＋23π＝cos2x＋23π－π2＝cos2x＋π6， 所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移1π2个单位长度， 得到曲线y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6.
22
②∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤76π， ∴－12≤sin2x＋π6≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
23
1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合． [解] 当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，
∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z.
所以不等式f(x)＜1的解集为
xkπ－2π＜x＜kπ－π6，k∈Z
.
26
三角恒等变换的综合应用 【例4】 已知函数f(x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在π6，23π上的单调性．
27
[解] (1)f(x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x
40
3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生 产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难 题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按 图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使 裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板 符合要求？最大面积为多少？
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，
又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，
5
即cos α－sin α＜0，
∴cos α－sin α＝－ 23. ③∵α＝－447π＝－6×2π＋π4，
∴f－447π＝cos－447π·sin－447π ＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4 ＝cosπ4·sinπ4＝ 22× 22＝12.
29
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数 的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达 式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问 题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k 或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据 正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.
6
1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求 cos α＋sin α.
[解] 因为－π4＜α＜0，所以 cos α＞0，sin α＜0 且|cos α|＞|sin α|， 所以 cos α＋sin α＞0， 又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×－18＝34，所以 cos α＋sin α ＝ 23.