基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案
不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。

在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识
时起着重要的作用。

在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相
应的答案。

1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。

根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。

由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。

因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。

由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。

根据乘法的性质，
正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。

所以，我们证明了(a+b)²
≥ 4ab。

2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。

根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

进一
步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

进一
步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。

简化后得到(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8√(abc)√(abc)√(abc) = 8abc。

所以，我们证明了(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

3. 习题三：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a/b + b/c + c/a) ≥ 3。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。

根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a/b，y替换为b/c，我们有(a/b + b/c)/2 ≥ √((a/b)(b/c))。

进一步
简化得到(a/b + b/c)/2 ≥ √(a/c)。

同样地，将x替换为b/c，y替换为c/a，我们有(b/c + c/a)/2 ≥ √((b/c)(c/a))。

进一步简化得到(b/c + c/a)/2 ≥ √(b/a)。

将x替换为c/a，y替换为a/b，我们有(c/a + a/b)/2 ≥ √((c/a)(a/b))。

进一步简化得到(c/a + a/b)/2 ≥ √(c/b)。

将上述三个不等式相加，我们得到((a/b + b/c)/2) + ((b/c + c/a)/2) + ((c/a +
a/b)/2) ≥ (√(a/c)) + (√(b/a)) + (√(c/b))。

简化后得到(a/b + b/c + c/a)/2 ≥ (√(a/c)) + (√(b/a)) + (√(c/b))。

根据AM-GM不等式，右边的式子大于等于3√(√(a/c)√(b/a)√(c/b)) = 3。

所以，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ 3。

通过以上习题的解答，我们可以看到基本不等式在数学中的重要性和应用。

这
些不等式不仅仅是数学知识的一部分，更是推导其他数学结论和解决实际问题
的基础。

希望本文的内容能够帮助读者更好地理解和应用基本不等式。