湖南省长沙市第一中学2015-2016学年高一12月月考数学试题(解析版)

高一数学12月月考试卷
一、选择题
1. 已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()
A. {0}
B. {-1,0}
C. {0,1}
D. {-1,0,1}
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可得．故B正确．
考点：集合的运算．
【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题．已知集合中的元素的满足的条件为，所
以，所以此题选项为C，否则极易错选D选项．
2.lg＋lg的值为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
;故选C.
3.下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由函数的定义(对于非空数集中的任一个数,都有唯一的值相对应),得选项D符合要求;故选D.
4.下列函数是偶函数的是：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
易知为奇函数,为偶函数,,为非奇非偶函数;故选B.
5.函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
令，即，显然该方程无解，即函数的零点个数为0；故选A.
6.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
7.已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是( )
A. (－∞，－4]∪
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意，得，由图象，得或；故选A.
8.某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
由三视图可知该几何体是一个直三棱锥，其中高为1，底面是直角边为1,2的直角三角形，则该几何体的体积为；故选B.
9.函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以该函数的图象如选项C所示；故选C.
10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 异面直线所成的角为定值
【答案】D
【解析】
在正方体中，平面平面，故正确；平面平面
平面平面，故正确；的面积为定值，，
又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.
二、填空题
11.函数的定义域为______________，值域为______________.
【答案】(1). (2).
【解析】
若函数函数有意义，则，即，即函数的定义域为；因为，所以，即该函数的值域为.
12.当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点_____．
【答案】(3,1)
将化为，即该直线恒过点.
13.一条光线从点射出，与x轴相较于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为______【答案】
【解析】
由光学知识可得反射光线所在的直线过点和关于轴的对称点，其直线方程为，
即.
14.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是_____.
【答案】
【解析】
过点A作面，，连接，易知，则是二面角的平面角，即
，是与所成的角，即，是与平面所成的角，在中，设
，则，，，即与平面所成的角的正弦值为.
15.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)_____.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
【答案】①③④⑤
由三视图可知该几何体为一个长方体，其棱长分别为，各表面和对角面都为矩形，即①正确，是有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体，即②正确，是每个面都是等腰三角形的四面体，即④正确，是每个面都是直角三角形的四面体，即⑤正确；故填①③④⑤.
三、解答题：
16.已知函数，
（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．
试题解析：(Ⅰ) 设，且,则
∴∴，∴
∴
∴，即
∴在上是增函数.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数
∴当时，
∴当时，
综上所述，在上的最大值为，最小值为.
17.设集合，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）-1或-3；（2）．
【解析】
(1)因为A={1,2},并且,所以,所以,
从而求出a的值，然后再一一验证是否满足.
(2)因为,所以可得,然后再讨论和两种情况，从方程的角度研究就是当时
无实数根;时，有一个实数根和有两个实根两种情况. （1）有题可知：
∵∴
将2带入集合B中得：
解得：
当时，集合符合题意；
当时，集合，符合题意
综上所述：
（2）若A∪B=A，则B⊆A，
∵A={1，2}，
∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．
若B=∅，则△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣5）=24﹣8a＜0，解得a＞3，
若B={1}，则，即，不成立．
若B={2}，则，即，不成立，
若B={1，2}．则，即，此时不成立，
综上a＞3．
18.已知三角形三个顶点是，，，
（1）求边上的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在直线方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：本题第（1）问，由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，
然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程；第（2）问，先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程。

解：的中点
边上的中线所在的直线方程为
，即
,
边上的高所在的直线的方程为
即
考点：直线的方程．
点评：本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意两点式方程和点斜式方程的灵活运用．
19.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：(1)先利用等边三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明;(2)先利用平行四边形和三角形的中位线证得线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明. 试题解析：(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，
所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.
因为BC＝1，A1B＝，所以A1C2＋BC2＝A1B2.
所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.
因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.
因为ACC1A1为平行四边形，
所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.
因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
20.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.
(1)求证：⊥平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)略
(2)q= 450
(3)
【解析】
试题分析：方法一：⑴证：在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450. 二面角P—CD—B余弦值为。

（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，
由，有，即，
得
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分解：（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得. ……………………………9分（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，
则，即，∴x=y=z，故可取为. ………11分
∵，∴C到面PBD的距离为…………………13分
考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角；点、线、面间的距离计算。

点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角；②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。

21.已知函数．
(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；
(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
【解析】
试题分析：(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.
试题解析：(1)∵，设，
则为减函数，时，t最小值为，2分
当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分
又，∴6分
(2)令，则；∵，∴函数为减函数，
又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分
所以时，最小值为，此时最大值为；9分
又的最大值为1，所以，10分
∴，即，所以，故这样的实数a存在．12分
考点：1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式。