【精品习题】高中数学人教A版选修1-2章末综合测评1 Word版含解析

章末综合测评(一) 统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③B．③④
C．④⑤D．②③④
【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．
【答案】 D
2．(2016·哈尔滨高二检测)散点图在回归分析过程中的作用是( )
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
【解析】由散点图可以粗略地判断两个变量是否线性相关，故选D.
【答案】 D
3．身高与体重有关系可以用________来分析．( )
A．残差B．回归分析
C．等高条形图D．独立性检验
【解析】因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决．
【答案】 B
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y^＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙
述正确的是( )
A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上
C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右
D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下
【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.
【答案】 C
5．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A ．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B ．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C ．从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D ．以上说法都不对
【解析】 在等高条形图中仅能粗略地判断两个分类变量的关系，故A 错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B 错．
【答案】 C
6．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )
A ．58.5
B ．46.5
C ．60
D ．75
【解析】 ∵x ＝1
5(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，
y －)，
∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A
7．若两个变量的残差平方和是325， i ＝1n
(y i －y ^i )2＝923，则随机误差对预报
变量的贡献率约为( )
A ．64.8%
B ．60%
C．35.2% D．40%
【解析】相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机
误差对预报变量的贡献率为
残差平方和
总偏差平方和
×100%＝
325
923
×100%≈35.2%，故选C.
【答案】 C
8．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是( )
①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有.
【导学号：19220008】
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.
【答案】 D
9．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图1中可以看出( )
图1
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的百分比为60%
【解析】从题图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．
【答案】 C
10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若判断变量X和Y有关出错概率不超过2.5%，则c等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】列2×2列联表如下：
≥5.024.
故K2的观测值k＝
31×3510＋c56－c
将选项A、B、C、D代入验证可知选A.
【答案】 A
11．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，则试验效果与教学措施( )
C．关系不明确D．以上都不正确
【解析】随机变量K2的观测值为
k ＝
100
48×12－38×22
50×50×86×14
≈8.306>7.879，则认为“试验效果与教学措
施有关”的概率为0.995.
【答案】 A
12．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的
相关关系，现取了8组观测值．计算知∑i ＝1
8
x i ＝52，∑i ＝1
8
y i ＝228，∑i ＝1
8
x 2
i ＝478，∑i ＝1
8
x i y i
＝1 849，则y 对x 的回归方程是( )
A.y ^＝11.47＋2.62x
B.y ^＝－11.47＋2.62x
C.y ^＝2.62＋11.47x
D.y ^＝11.47－2.62x
【解析】 由已知数据计算可得b ^
＝2.62，a ^＝11.47，所以回归方程是y ^＝11.47＋2.62x ，故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋
e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2的值为________．
【解析】 由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0，故R 2＝1－∑n
i ＝1
y i －y ^i 2
∑n
i ＝1
y i －y
－2
＝1－0＝1.
【答案】 1
14．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y 的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的随机误差是________．
【解析】 因为回归方程为y ^＝0.85x －82.71，所以当x ＝160时，y ^＝0.85×160－82.71＝53.29，所以针对某个体(160,53)的随机误差是53－53.29＝－0.29.
【答案】 －0.29
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
k ＝50
13×20－10×72
23×27×20×30
≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可
能性为________．
【解析】 k ≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05. 【答案】 0.05
16．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，
又知残差平方和为120.53，那么∑i ＝1
10
(y i －y )2的值为________．
【解析】 ∵R 2＝1－
∑i ＝1
10
y i －y ^
i 2
∑i ＝1
10
y i －y
2
，
残差平方和∑i ＝1
10
(y i －y ^i )2＝120.53，
∴0.95＝1－
120.53
∑i ＝1
10
y i －y
2
，
∴∑i ＝1
10
(y i －y )2＝2 410.6.
【答案】 2 410.6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)假设某农作物基本苗数x与有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
【解】散点图如图所示．
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，所以x，y线性相关．18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
【解】k＝
n ad－bc2
a ＋
b c＋d a＋
c b＋d
，
把相关数据代入公式，得
k＝855×28－40×122
17×68×45×40
≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)(2016·曲阜师大附中高二检测)为了对新研发的一
种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
根据最小二乘法建立的回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (1)试求表格中m 的值；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
【导学号：19220009】
【解】 (1)由于x ＝1
6(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
所以y ＝－20×8.5＋250＝80， 故1
6(90＋84＋83＋m ＋75＋68)＝80， 解得m ＝80.
(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得
L ＝(x －5)(－20x ＋250) ＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－35
2x ＋1252(x >0)，
所以x ＝8.75时，L 取得最大值．
故当单价定为8.75元/件时，工厂可获得最大利润．
20．(本小题满分12分)如图2是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图2
【解】根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为
70×
8
10
＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×
3
10
＝12.
2×2列联表如下：
k＝
11056×28－12×142
70×40×68×42
≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关
系．
21．(本小题满分12分)(2016·湛江高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
图3
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^
x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^
＝
∑i ＝1
n
x i －x
y i －
y
∑i ＝1
n
x i －x
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －
y －∑i ＝1
n
x 2
i －n x
2
，a ^＝y ^
－b ^
x －.
【解】 (1)散点图如图：
(2)由表格计算得∑i ＝1
4
x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝1
4
x 2
i ＝54，所以b ^
＝0.7，
a ^
＝1.05，所以y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如上图；
(3)将x ＝10代入回归直线方程得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)， 所以预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题满分12分)为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下：
(2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； (3)计算相关指数．
【解】 (1)所作散点图如图所示．
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y ＝c 1e c 2
x 的周围，于是令z ＝ln y ，则
由计算得：z ＝0.69x ＋1.115，则有y ＝
e 0.69x ＋1.115. (3) 2
i ＝∑i ＝1
6
(y i －y ^i )2＝4.816 1，∑i ＝1
6
(y i －y )2
＝24 642.8，
R 2＝1－
4.816 1
24 642.8
≈0.999 8，
即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%.。