高数多元函数微分学 全微分(与泰勒公式)

f (0,0)

00 lim x0 x

0,
同理 f y (0,0) 0.
17
当( x, y) (0,0)时，
fx ( x, y) y sin
1 x2 y2
x2 y cos ( x2 y2 )3
1, x2 y2
当点P( x, y)沿直线y x 趋于(0,0) 时,
14
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
15
例 4 试证函数
4
dx ，dy 时的全微分.
4
解 z y sin( x 2 y), x z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
dz ( ,) 4

z x
dx
( ,) 4

z dy y ( ,)
4

2 (4 7). 8
24
f
(
x,
y)


xy
sin
0,
1 , ( x, y) (0,0)
x2 y2
在
( x, y) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x, y) (0,0)，( x, y) (0,0)讨论.
16
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
0

0 f (0,0),
故函数在点(0,0) 连续,
fx (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
4
x0
x
x
同理可得 B z . y
6
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)


x2 y2
0x2 ຫໍສະໝຸດ 2 0 .x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
7
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
2
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
21
例 5 计算(1.04)2.02的近似值. 解 设函数 f ( x, y) x y.
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02. f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fy ( x, y) x y ln x,
fx (1,2) 2, fy (1,2) 0, 由公式得 (1.04)2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
12
例 1 计算函数z e xy 在点(2,1) 处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
13
例 2 求函数z y cos( x 2 y)，当x ，y ，
22
三、小结
１．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
23
思考题
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微的充分条件是:
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f

x
(
x
x y sin
1
(x)2 (y)2
o( (x)2 (y)2 )
故 f ( x, y)在点(0,0)可微
df 0. (0,0)
19
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
20
全微分在近似计算中的应用 当二元函数z f (x, y) 在点 P(x, y)的两
函数在点(0,0) 处不可微.
8
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
x y
可微分．
证 z f ( x x, y y) f ( x, y) [ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
P( x x, y y) P 的某个邻域
z Ax By o( ) 总成立, 当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f ( x x, y) f ( x, y) A z ,
lim
( x ,x )(0,0)
f x ( x,
y)
lim x sin 1
x0
2|x| 2
x3 2|
x
|3
cos
1 , 2 | x |
不存在.
18
所以 f x ( x, y)在(0,0) 不连续.
同理可证 f y ( x, y)在(0,0) 不连续.
f f (x,y) f (0,0)
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、
x z 必存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz z x z y． x y
5
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
11
习惯上，记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
[ f ( x, y y) f ( x, y)],
9
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x (0 1 1) fx ( x, y)x 1x （依偏导数的连续性） 其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0.
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2

(y)2

x x (x)2 (x)2

1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0 时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
则称函数z f ( x, y)在点( x, y) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
3
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
10
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0, z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y

1x 2y

1

2
0 0,
,
y
)
、
f

y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f

x
(
x,
y)x
f

y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f

x
(
x,
y)x
f

y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
个偏导数 fx ( x, y), fy ( x, y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
第三节、全微分 一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
1
全增量的概念