苏教版高中数学选修2-2 1.2.1常见函数的导数 学案

1.2.1 常见函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1
x ，y ＝x 的导数.2.掌握基本初等函
数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
知识点一 几个常见函数的导数 1.(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2.C ′＝0(C 为常数)； 3.(x )′＝1； 4.(x 2)′＝2x ； 5.(x 3)′＝3x 2； 6.(1x )′＝－1x 2； 7.(x )′＝12x
.
知识点二 基本初等函数的导数公式 1.(x α)′＝αx α－
1(α为常数)；
2.(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；
3.(log a x )′＝1x log a e ＝1
x ln a (a >0，且a ≠1)；
4.(e x )′＝e x ；
5.(ln x )′＝1
x ；
6.(sin x )′＝cos x ；
7.(cos x )′＝－sin x .
类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数.
(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2
x ；
(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π
2－x ).
解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x
5＝x －
5，
∴y ′＝(x －5)′＝－5x －
6＝－5x 6.
(3)∵y ＝x 2
x
＝3
2x ，
∴y ′＝(3
2
x )′＝1232
x ＝3
2x .
(4)y ′＝1
x ln 10.
(5)y ′＝5x ln 5.
(6)∵y ＝cos(π
2－x )＝sin x ，
∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导. 跟踪训练1 (1)下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53
x )′＝23
x ； ③(log 3x )′＝
13ln x
； ④(ln x )′＝1
x
.
其中正确结论的序号是________. 答案 ①④
解析 ∵②(5
3
x )′＝2353
x ；③(log 3x )′＝1
x ln 3，
∴②③错误，①④正确.
(2)求下列函数的导数. ①y ＝(1－x )(1＋1
x
)＋x ； ②y ＝2cos 2 x
2－1.
解 ①∵y ＝(1－x )(1＋1
x )＋x ＝
1－x x ＋x ＝1
x
， ∴y ′＝3
212
x --.
②∵y ＝2cos 2 x
2－1＝cos x ，
∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二 求函数在某一点处的导数 例2 求函数f (x )＝
1
6
x
5
在x ＝1处的导数.
解 ∵f (x )＝
1
6
x
5
＝56
x
-
，
∴f ′(x )＝(56
x -
)′＝11
656
x --，
∴f ′(1)＝－5
6
.
反思与感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.
跟踪训练2 函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝________. 答案
36
解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝1
2x ，
∴f ′(3)＝123＝3
6
.
类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题
例3 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝1
2x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别
作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________.
答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，
k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，
∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8.
QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝－4，
∴A (1，－4).
(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的.
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决. 跟踪训练3 已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 答案 1
e
解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意，得y ′|0x x =＝1
x 0＝k ，
① 又y 0＝kx 0， ② 而且y 0＝ln x 0，
③
由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1
e .
命题角度2 已知斜率解决切线问题
例4 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x 0，x 2
0)，依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点
到直线x －y －2＝0的距离最短.
∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12
，
∴切点坐标为(12，1
4
)，
∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2
＝72
8.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练4 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，
∴切线方程为2x －y －1＝0.
由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，故点P (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.
1.下列函数中的求导运算正确的个数为________.
①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2
27.
答案 3
解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确. 2.函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1的有________条. 答案 2
解析 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 2
0＝1，
∴x 0＝±33
.
故斜率等于1的切线有2条.
3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 答案 1e
解析 f ′(x )＝1
x ln a ，
则f ′(1)＝
1ln a ＝－1，∴a ＝1e
.
4.求过曲线y ＝sin x 上一点P (π6，1
2)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.
解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，1
2)处切线的斜率
k=6
x y π'＝＝cos π6＝3
2，
则与切线垂直的直线的斜率为－23
3，
∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π
6)，
即123x ＋18y －23π－9＝0. 5.求下列函数的导数. (1)y ＝(3
2
x ＋1)(32
x －1)＋1； (2)y ＝(cos x 2＋sin x
2)2－1；
(3)y ＝3log 23
x .
解 (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.
(2)∵y ＝cos 2 x 2＋sin 2 x 2＋2sin x 2cos x
2－1＝sin x ，
∴y ′＝cos x .
(3)∵y ＝log 2x ，∴y ′＝
1
x ln 2
.
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x
2＝cos x ，
所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
课时作业
一、填空题
1.下列各式中正确式子的序号是________.
①(x 7
)′＝7x 6
；②(x －1
)′＝x －2
；③(1x
)′＝－1232x -；④(5x 2
)′＝253
5x -；⑤(cos x )′＝－sin x ；
⑥(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④⑤
解析 ∵②(x －
1)′＝－x －
2；
⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.
2.正弦曲线y ＝sin x 的切线的斜率等于1
2的点为________.
答案 (2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－3
2
)(k ∈Z )
解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋
π
3或2k π－π
3，
∴y 0＝
32或y 0＝－32
. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________. 答案 4
解析 ∵f ′(x )＝ax a －
1，f ′(－1)＝a (－1)a －
1＝－4，
∴a ＝4.
4.已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝________. 答案 28
解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8. ① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，
②
由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.
5.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 的值为________. 答案 1或－1
3
解析 由导数公式可知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2， 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解得x ＝1或x ＝－1
3
.
6.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1
f ′(2)，则m ＝________.
答案 －4
解析 f ′(x )＝－1
x 2，g ′(x )＝m .
∵g ′(2)＝1
f ′(2)
，∴m ＝－4.
7.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为
________. 答案 (1,1)
解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为 k 1＝e 0＝1.
设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1
x 2 (x >0)，
曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1
m 2 (m >0).
因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).
8.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为________. 答案 1
2
e 2
解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，
∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.
当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12
e 2.
9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3
解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1
.
由导数的几何意义可得，在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.
10.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________. 答案 1e
解析 ∵y ′＝(ln x )′＝1
x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，
则切线方程为y －y 0＝1
x 0(x －x 0)，
即y ＝1
x 0
x ＋ln x 0－1.
由ln x 0－1＝0知，x 0＝e.∴k ＝1
e .
11.设曲线y ＝x n ＋
1 (n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2x 1＋log 2x 2＋
log 2x 3＝________. 答案 －2
解析 y ′|x ＝1＝n ＋1， ∴y ＝x n
＋1
在点(1,1)处的切线方程为
y －1＝(n ＋1)(x －1)， 则x n ＝n
n ＋1
.
∴log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3 ＝log 2(x 1·x 2·x 3) ＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34＝log 21
4 ＝－2. 二、解答题
12.求下列函数的导数. (1) y ＝5
x 3； (2)y ＝1
x
4；
(3)y ＝－2sin x
2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .
解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 35
′＝35x 315-＝35x 2
5-
＝355
x 2
. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x
2⎝
⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x
2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1
x ln 2
.
13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 018(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，
f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，
可知周期为4，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x . 三、探究与拓展
14.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________. 答案 [0，π4]∪[3π
4
，π)
解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ， ∴－1≤k l ≤1，∴α∈[0，π4]∪[3π
4
，π).
15.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.
解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.
则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为
2
2
.。