高中数学第二讲证明不等式的基本方法优化总结学案新人教A版选修

第二讲 证明不等式的基本方法
本讲优化总结
, [学生用书P36])
比较法证明不等式[学生用书P36]
比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断——结论，关键是变形，变形的目的是判号(与1的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等．
若x ，y ，z ∈R ，a >0，b >0，c >0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c
z 2
≥2(xy ＋yz ＋zx )． 【证明】 因为
b ＋
c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2
－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a
x 2
＋a b y 2
－2xy ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c b
y 2
＋b c
z 2
－2yz ＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x －a b y 2＋ ⎝
⎛⎭⎪⎫c b
y －b c z 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫a c
z －c a x 2
≥0， 所以
b ＋
c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c
z 2
≥2(xy ＋yz ＋zx )成立．
设a ，b 为实数，0<n <1，0<m <1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n
≥(a ＋b )2
.
证明：因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2
＝na 2＋mb 2mn －nm （a 2＋2ab ＋b 2）mn
＝na 2（1－m ）＋mb 2（1－n ）－2mnab mn
＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn
＝
（na －mb ）
2
mn
≥0，
所以a 2m ＋b 2n
≥(a ＋b )2
.
分析法和综合法证明不等式[学生用书P36]
在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的．如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律，有时问题的证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的．
已知a >0，b >0，a 3
＋b 3
＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)≥4； (2)a ＋b ≤2.
【证明】 (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
) ＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4.
(2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b )
≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )
＝2＋3（a ＋b ）34，
所以(a ＋b )3
≤8， 因此a ＋b ≤2.
1.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
ab
≥8.
证明：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤1
2，
所以1
ab
≥4.
所以1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1
ab
≥2ab ·2
1
ab
＋4＝8，
所以1a ＋1b ＋1
ab
≥8，
当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立．
2．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： a ＋12
＋
b ＋12
≤2.
证明：要证
a ＋12
＋
b ＋12
≤2，
只要证⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋12
＋ b ＋122
≤4. 即证a ＋b ＋1＋2
⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋12≤4. 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋12≤1.
也就是要证ab ＋12(a ＋b )＋1
4≤1，
即证ab ≤1
4
.
因为a >0，b >0，a ＋b ＝1. 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤1
4，即上式成立．
故
a ＋12
＋
b ＋12
≤2.
反证法证明不等式[学生用书P37]
反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：
(1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)； (2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾；
(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立．从而间接证明了原命题为真命题．
已知：在如图所示的△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 的中点． 求证：AD <1
2
BC .
【证明】 假设AD ≥1
2
BC .
(1)若AD ＝1
2BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，
这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾．
所以AD ≠1
2
BC .
(2)若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝1
2BC ，
所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠DAB . 同理∠C >∠CAD .
所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .
因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ，所以180°－∠BAC >∠BAC ，则∠BAC <90°，与已知矛盾．
由(1)(2)知AD <1
2
BC .
设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1
b
.证明：
(1)a ＋b ≥2；
(2)a 2
＋a <2与b 2
＋b <2不可能同时成立．
证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b
ab
，a >0，b >0，得ab ＝1.
(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.
(2)假设a 2
＋a <2与b 2
＋b <2同时成立，则由a 2
＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2
＋a <2与b 2
＋b <2不可能同时成立．
放缩法证明不等式[学生用书P37]
用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．同时，放缩有时需便于求和．
求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋1
1×2×3×…×n <3(n ∈N ＋，且n >1)．
【证明】 由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝1
2k －1(k 是大于2的自然数)，得
1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋1
2n －1＝1＋1－12n
1－1
2＝
3－1
2
n －1
<3. 设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪a x ＋b
x
2<2. 证明：由已知得m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1. 又|x |>m ，|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，
所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x 2|<|x ||x |＋|x |
|x 2|
＝1＋1|x |<1＋|x ||x |＝2.
故⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪a x ＋b
x 2<2成立．
1．已知a >b >0，求证a －b <a －b . 证明：要证a －b <a －b ， 即证a <b ＋a －b ，
只需证a <b ＋2（a －b ）b ＋a －b ， 只需证0<2（a －b ）b .
由a >b >0知最后一个不等式成立， 故原不等式成立．
2．已知关于x 的方程x a ＋b x
＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值；
(2)当b a >1
4
且a >0时，证明：该方程没有实数根．
解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋b x ＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
4b －3a i ＝1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b
4＝1，34b －3
a ＝0，所以a ＝
b ＝2.
(2)证明：原方程化为x 2
－ax ＋ab ＝0，
假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0即a 2
≥4ab ，
因为a >0，所以b a ≤14，这与题设b a >1
4
矛盾，
所以假设错误，原方程有实数根．。