大学附中高考数学一轮复习 计数原理单元检测

安徽大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习检测：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一社区，则不同的分派方法有( )
A ．240种
B ．216种
C ．120种
D ．72种
【答案】B
2．10(1)i -(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )
A ．120 i -
B ．210
C ．210-
D ．120 i 【答案】C
3．记123n a a a a 为一个n 位正整数，其中12,,,n a a a 都是正整数，
119,09(2,3,,)i a a i n ≤≤≤≤=．若对任意的正整数(1)j j n ≤≤，至少存在另一个正整数(1)k k n ≤≤，使得j k a a =，则称这个数为“n 位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为( )
A ．1994个
B ．4464个
C ．4536个
D ．9000个
【答案】B
4．1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )
A ． 450
B ． 460
C ． 480
D ． 500
【答案】C
5．已知n n n x a x a x a a bx )1()1()1(12210-++-+-+=+ 对任意R x ∈恒成立，且36,921==a a ，则=b ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
6．若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（ ）组。

A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】C 7．将4名志愿者分配到3所不同的学校进行学生课外活动内容调查,每个学校至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A ．24
B ． 36
C ． 72
D ． 144
【答案】B
8．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )
A ．150种
B ．147种
C ．144种
D ．141种
【答案】D
9．某单位安排7位员工对一周的7个夜晚值班，每位员工值一个夜班且不重复值班，其中员工甲必须安排在星期一或星期二值班，员工乙不能安排在星期二值班，员工丙必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有( )
A ．96种
B ．144种
C ． 200种
D ．216种
【答案】D
10．从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数( )
A ．2448C C ⋅
B ．3438
C C ⋅ C ．612C
D ．2448A A ⋅
【答案】A
11．在2011年8月举行的深圳世界大学生运动会中，将某5名志愿者分配到3个场馆参加接待工作，每个场馆至少安排一名志愿者的方案种数为( )
A ．540
B ．300
C ．180
D ．150
【答案】D
12．4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A ．43
B ．34
C ．24
D ．12 【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．
A B C
D E F
【答案】732
14．有五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有____________种。

【答案】32
15．若=++++++++++=+82010991010,)1()1()1(10a a a x a x a x a a x x 则
【答案】510
16
．在多项式610(1)x +
的展开式中，其常数项为____________。

【答案】-495
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？
(2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？
(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）
【答案】 (1)46360A = (2)2325120A A = (3)
4245240A C = 18．已知圆的方程)0()()(222>=-+-r r b y a x ，从0， 3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。

问：
(1）可以作多少个不同的圆？
(2）经过原点的圆有多少个？
(3）圆心在直线上010=-+y x 的圆有多少个？
【答案】（1）可分两步完成：第一步，先选r 有18A 中选法，第二步再选a,b 有28A 中选法
所以由分步计数原理可得有18A .28A =448个不同的圆
(2）圆经过原点满足 1086543,,,222两组，，与，，共有满足题意的r b a r b a ∴=+
所以符合题意的圆有4222=A 8分
(3） 圆心在直线010=-+y x 上，所以圆心),(b a 有三组：0，10；3，7；4，6。

所以满足题意的圆共有382.16221722=+A A A A 个4
19．二项式n x x )2
1
(3-展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍. 求：（1）n ； (2）展开式中的所有的有理项。

【答案】 (1)二项式的通项 1433
11()(1)22n r r
n r r r r r n
n r x T C C x -+-+=-=- 依题意，4214(1)2
r n n r C C =- 解得 n=6
(2）由（1）得1
(64)3161(1)2r r
r r r T C x --+=-，当r=0,3,6时为有理项， 故有理项有121T x =,2452T x =-,6764
x T = 20．已知()()()()n
n n x a x a x a a x 11112210-++-+-+=+ （*,2N n n ∈≥）， (1）当5=n 时，求54321a a a a a ++++的值；
(2）设n n n n b b b T a b +++==- 3232,2
，试用数学归纳法证明：当2≥n 时，()()3
11-+=n n n T n 。

【答案】（1）记()()51+=x x f ，
则()()55543212312-=-=++++f f a a a a a
(2）设y x =-1，则原展开式变为：()n n n y a y a y a a y ++++=+...22210， 则2222-=n n C a
所以()123
2-==-n n a b n n
当2=n 时，2,222==b T ，结论成立
假设k n =时成立，即()()311-+=k k k T k
那么1+=k n 时， ()()()k k k k k b T T k k k 13
1111++-+=+=++ ()()()3211311++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=k k k k k k
()()[]()[]311111-++++=k k k ，结论成立。

所以当2≥n 时，()()311-+=
n n n T n 。

21．
已知n 2
2)x 的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3. (1)求正自然数n 的值； (2)求展开式中的常数项.
【答案】 (1)由题意C n 4 C n 2 =14：3， 即n(n 1)(n 2)(n 3)
144321=n(n 1)3
21
---⨯⨯⨯-⨯， 化简得n 2
－5n －50=0，∴n=10或n=－5\ (舍去)，
∴正自然数n 的值为10.
(2)
∵105r r
10r r r r 2r+1101022T =C ()=C 2x x --⨯⨯⨯， 由题意得105r =02
-，得r=2， ∴常数项为第3项T 3= T 2+1=22·C 102
=180.
22．甲队有4名男生和2名女生，乙队有3名男生和2名女生．
(Ⅰ）如果甲队选出的4人中既有男生又有女生，则有多少种选法？
(Ⅱ）如果两队各选出4人参加辩论比赛，且两队各选出的4人中女生人数相同，则有多少种选法？
【答案】（Ⅰ）甲队选出的4人中既有男生又有女生，则选法为
1422241234=+=C C C C N 种 (或144446=-=C C N 种）
(Ⅱ）两队各选出的4人中女生人数相同，则选法为
322223222412331234=⋅+⋅=C C C C C C C C N 种。