不等式及其性质练习题

不等式及其性质练习题
一、填空题
1. 若 a > b，则 a + 3 与 b 2 的大小关系是______。

2. 若 x 5 < 0，则 x 的取值范围是______。

3. 若 |x| > 5，则 x 的取值范围是______。

4. 若 a < b < 0，则a² 与b² 的大小关系是______。

5. 若 |x 1| = |x + 3|，则 x 的值为______。

二、选择题
1. 下列不等式中，正确的是（）
A. a² > b²
B. a + b > a
C. (a + b)²= a² + b²
D. |a| = a
2. 若 a > b，则下列不等式中正确的是（）
A. a b > 0
B. a < b
C. a² < b²
D. a/b < 1
3. 若x² 5x + 6 < 0，则 x 的取值范围是（）
A. x < 2 或 x > 3
B. 2 < x < 3
C. x < 2 且 x > 3
D. x ≠ 2 且x ≠ 3
三、解答题
1. 已知 a > b，证明：a² > ab。

2. 设 x 为实数，证明：若x² 3x + 2 > 0，则 x < 1 或 x > 2。

3. 已知 |x 1| + |x + 2| = 5，求 x 的值。

4. 若 a、b、c 为实数，且 a < b < c，证明：a + c < 2b。

5. 设 a、b 为正数，证明：若 a/b < 1/2，则 2a < b。

四、应用题
1. 某商店举行优惠活动，满 100 元减 20 元，满 200 元减 50 元，满 300 元减 80 元。

小明购物满 300 元，实际支付了 220 元，求小明原价购物金额。

2. 一辆汽车从 A 地出发，以 60 km/h 的速度行驶，另一辆汽车从 B 地出发，以 80 km/h 的速度行驶。

两车相向而行，经过 2.5 小时相遇。

求 A、B 两地之间的距离。

3. 某企业生产一种产品，每件成本为 200 元，售价为 300 元。

若每降价 10 元，销量增加 20 件。

求降价后企业的利润最大值。

五、判断题
1. 若 a < b，则 a c < b c 对所有实数 c 都成立。

（）
2. 若x² > 9，则 x > 3。

（）
3. 若 |x| = |y|，则 x = y 或 x = y。

（）
4. 若 a > b 且 c > d，则 ac > bd。

（）
5. 对于任意实数 x，不等式x² 2x + 1 ≥ 0 总是成立。

（）
六、简答题
1. 解释不等式的基本性质。

2. 什么是不等式的解集？如何表示一个不等式的解集？
3. 如何求解含有绝对值的不等式？
4. 举例说明不等式在实际生活中的应用。

5. 解释为什么当 a < b 时，不等式 a/c < b/c 在 c > 0 时成立，而在 c < 0 时则相反。

七、综合题
1. 已知不等式组：
\[
\begin{cases}
2x 3y > 6 \\
x + 4y ≤ 8
\end{cases}
\]
求解该不等式组的解集。

2. 设 a、b、c 是等差数列，且 a < b < c，证明：2b = a + c。

3. 已知 x 为实数，且 |x 1| + |x + 2| = 3，求 x 的取值范围。

4. 若 a、b、c 为三角形的三边，证明：a + b > c，b + c > a，
c + a > b。

5. 设f(x) = x² 4x + 3，求不等式 f(x) < 0 的解集。

八、挑战题
1. 已知 a、b、c 是等比数列，且 a < b < c，证明：b² > ac。

2. 设 x、y 为实数，证明：若x² + y² = 1，则x³ + y³ < x + y。

3. 已知不等式|x 2| + |x + 1| ≥ 5，求 x 的取值范围。

4. 若 a、b、c 为三角形的三边，且a² + b² = c²，证明：a/b + b/c + c/a ≥ 3。

5. 设f(x) = x³ 3x + 2，求不等式 f(x) > 0 的解集。

答案
一、填空题
1. a + 3 > b 2
2. x < 5
3. x < 5 或 x > 5
4. a² > b²
5. 2 或 4
二、选择题
1. B
2. A
3. B
三、解答题
1. 因为 a > b，所以 a b > 0，两边同时乘以 a（a > 0）得a² ab > 0，即a² > ab。

2. 因为x² 3x + 2 = (x 1)(x 2)，所以x² 3x + 2 > 0 当且仅当 x < 1 或 x > 2。

3. |x 1| + |x + 2| = 5 有两种情况：
当x ≥ 1 时，x 1 + x + 2 = 5，解得 x = 2。

当 x < 1 时，1 x + x + 2 = 5，解得 x = 2。

4. 因为 a < b < c，所以 a + c < b + b，即 a + c < 2b。

5. 因为 a/b < 1/2，所以 2a < b。

四、应用题
1. 小明原价购物金额为 300 + 80 = 380 元。

2. A、B 两地之间的距离为(60 + 80) × 2.5 = 350 km。

3. 设降价 x 元，则利润为(300 x 200) × (20 × x + 100)，解得 x = 10 时利润最大。

五、判断题
1. ×
2. ×
3. √
4. ×
5. √
六、简答题
（由于简答题需要文字描述，不提供具体答案。

）
七、综合题
1. 解集为 2x 3y > 6 与x + 4y ≤ 8 的交集。

2. 因为 a、b、c 是等差数列，所以 b = a + d，c = a + 2d，
所以 2b = 2a + 2d = a + a + 2d = a + c。

3. |x 1| + |x + 2| = 3 有两种情况：
当x ≥ 1 时，x 1 + x + 2 = 3，解得 x = 1。

当 x < 1 时，1 x + x + 2 = 3，解得 x = 0。

所以 x 的取值范围为 x = 0 或 x = 1。

4. 由三角形的两边之和大于第三边可得。

5. f(x) = x² 4x + 3 = (x 1)(x 3)，所以 f(x) < 0 的解集为 1 < x < 3。

八、挑战题
1. 因为 a、b、c 是等比数列，所以b² = ac。

2. 因为(x y)² ≥ 0，所以x²2xy + y² ≥ 0，即x² + y² ≥ 2xy，又因为x³ + y³ = (x + y)(x² xy + y²)，所以x³ + y³ < x + y 当x ≠ y 时成立。

3. |x 2| + |x + 1| ≥ 5 有三种情况：
当x ≥ 2 时，x 2 + x + 1 ≥ 5，解得x ≥ 3。

当1 ≤ x < 2 时，2 x + x + 1 ≥ 5，不成立。

当 x < 1 时，2 x x 1 ≥ 5，解得x ≤ 3。

所以 x 的取值范围为x ≤ 3 或x ≥ 3。

4. 由均值不等式可得。

5. f(x) = x³ 3x + 2 的导数为f'(x) = 3x² 3，令 f'(x) = 0，得x = ±1，通过分析导数符号可得 f(x) > 0 的解集为 x < 1 或 x > 1。