现代工程制图基础教学课件第2章 点、直线、平面的投影
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直线的投影规定用粗实线绘制。
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.2. 各种位置直线
正平线（只平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（只平行于Ｗ面） 水平线（只平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
特殊位置直线
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面，必
侧垂线（垂直于Ｗ面） 平行于另外两个投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-5］已知直线AB及点K的两面投影，判断点K是否 在直线AB上。
解法二： （应用定比定理）
a k ●
b
X
a ●k0 k● b
O
● b0
作图步骤：
1）过a(或b)任作一辅助直线；
2）在辅助线上截取ak0=a′k′， k0b0=k′b′ ;
3）连接bb0和kk0，由于bb0 和kk0不平行，即 ak∶kb≠a′k′∶k′b′ ，因此， 点K 不在直线AB上。
az ●a
O
Yw
通过作45°线使 aaz=aax
a●
YH
解
法
用圆规直接量取
二
aaz=aax
a● X ax
Z
az
a
●
O
Yw
a●
az
Z
●a
解
a●
YH
法
X ax
Yw
用圆规画弧
三
a●
使aaz=aax
YH
第2章 点、直线、平面的投影
3. 点的投影与坐标
点A的x坐标xA=OaX=Aa"=点A到W面的距离； 点A的y坐标yA=OaY=Aa' =点A到V面的距离； 点A的z坐标zA=OaZ=Aa=点A到H面的距离。
H面向下翻转
● a
O
W
aY
Y
Y轴分开
第2章 点、直线、平面的投影
2. 点的投影规律
V
a●
A
●
X aX a●
Z
aZ
● a
OW aY
H Y
(1) aa⊥OX轴 (2) aa⊥OZ轴 (3) aax= aaz=y=A到V面的距离
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-1］已知点的两个投影，求第三投影。
Z
解 a● 法 一 X ax
(1)H投影反映实形；
(2)V、W投影分别为 平行OX、OYW轴的 直线段，有积聚性
(1)V投影反映实形；
(2）H、W投影分别为 平行OX、OZ轴的 直线段，有积聚性
Z
aZ ● a
OW aY
注意：空间点用大写字 母表示，点的投影用小 写字母表示。
H Y
空间点A的三个坐标：
aX、aY、aZ
第2章 点、直线、平面的投影
投影面展开
空间问题转化为平面问题
V a
X
aX
●
a H
Z
aZ
V面保持不动
W ●a"
V a
●
W面向右翻转
Z
aZ
A
O
X ax
●
aYW YW
aYH
a●
YH
H
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.3 直线上的点
V
b
1. 从属性
c
B
若点在直线上，则点的各个投 a
影必在直线的各同面投影上。 x
C
即c∈ab, c∈a b , c∈ab。
A
b
ac
H
2. 等比性
属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
即AC: CB = ac : cb= ac : cb = ac : cb。
2.3.2 各种位置平面
投影面垂直面
特殊位置平面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 必垂直于另两个投影面
一般位置平面
与三个投影面都倾斜
第2章 点、直线、平面的投影
1. 一般位置平面
投影特性
(1) 三个投影均是小于实形的类似形。 (2) 三个投影均不反映平面与投影面的倾角。
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
返回封面
2.1 点的投影
2.1.1 三投影面体系的建立 2.1.2 点的投影及其投影规律
第2章 点、直线、平面的投影
返回章目录
2.1.1 三投影面体系的建立
1. 点在一个投影面上的投影
(2) 等比性 平行两直线长度之比等于其投影长度之比。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-6] 判断图中两条直线是否平行。
①
b d
a c
x
a
cb
AB//CD
d
对于一般位置直线，只要
有两个同面投影互相平行，空 间两直线就平行。
②
c
a
c a
d b
c b
b d
da
如AB何与判C断D？不平行
对于特求殊出位侧置面直投线影，只有
方8 mm 处确定b′；
2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b ；
3）根据投影关系求得b″。
第2章 点、直线、平面的投影
(2) 重影点及其可见性
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点时，则称此两 点为该投影面的重影点。
被挡住的投影 加( )
a ●
c●
X
Z
● a
● c
O
Yw
●
a (c)
第2章 点、直线、平面的投影
返回章目录
2.2.1 直线投影的确定
B
●
A●
●b a●
A●
M● B●
●
a≡b≡m
A● a●
●B α
●b
直线平行于投影面 直线垂直于投影面 直线倾斜于投影面 投影反映直线实长 投影积聚为一点 投影小于直线实长
第2章 点、直线、平面的投影
两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就 得到直线的同面投影。
侧垂面 （⊥W）
投影面垂直面
立体图
投影图
投影特性
(1)H投影为斜直 线，有积聚性，且 反映β、γ的大小
(2）V、W投影不是 实形，但有相仿性
(1) V投影为斜直 线，有积聚性，且 反映α、γ的大小
(2）H、W投影不是 实形，但有相仿性
(1) W投影为斜直 线，有积聚性，反 映α、β的大小
(2）H、V投影不是 实形，但有相仿性
② a
c●
X ac
b O
b
点C不在直线 AB上
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-5］已知直线AB及点K的两面投影，判断点K是否 在直线AB上。
解法一： （应用第三投影）
a
Z a
k ●
● k
b
X
O
a
k●
b
YH
b
Yw
作图步骤：
1）根据投影关系作出直 线AB及点K的侧面投 影；
2）根据侧面投影可判断： k″不在a″ b″上，因 此，点K不在直线AB 上。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
第2章 点、直线、平面的投影
1. 一般位置直线
投影特性
(1) 三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。 (2) 三个投影与投影轴的夹角都不反映空间直线与三个
投影面倾角的大小。
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面平行线
投影特性
(1) 直线在所平行投影面上的投影反映其实长，及其与 另两个投影面的倾角。
右Z O
投影轴
H
OX轴 OY轴 OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
三个投影面互 相垂直
上 W
下 Y
第2章 点、直线、平面的投影
2.1.2 点的投影及其投影规律
1. 点在三投影面体系中的投影
a ——点A的水平投影
V a●
a——点A的正面投影 a——点A的侧面投影
A
●
X aX
a●
两个同面投影互相平行，空间 直线不一定平行。
第2章 点、直线、平面的投影
2. 两直线相交
O
当两直线相交时，它们在各投影面上的同面投影也必然相 交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
第2章 点、直线、平面的投影
3. 两直线交叉
同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投 影规律。
“疑似交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可 帮助判断两直线的空间位置。
过空间点A作投影面P的垂线， 垂足即为点A在P面上的投影。
P
● a
A●
点在一个投影面上的投影不能
P
确定点的空间位置。 解决办法？
B1
B2 ●
B3 ●
●
● b
采用多面投影。
第2章 点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面体系与投影轴
左
投影面体系
V ◆正立投影面（简称V 面） ◆水平投影面（简称H 面） X ◆侧立投影面（简称W面）
第2章 点、直线、平面的投影
4. 各种位置点的投影
(1) 一般位置点（x , y , z）
(2) 特殊位置点
1)投影面上的点：V 面上点（x，0，z）
H 面上点（x，y，0）
W 面上点（0，y，z）
2)投影轴上点:
X 轴上点（x，0，0）
Y 轴上点（0，y，0） Z 轴上点（0，0，z）
3)原点上的点: （0，0，0 ）
第2章 点、直线、平面的投影
Z
A。a′
。a
。 b。′C。c′ 。c
X
a
c
。b YW
。
Bb
。b
YH
b在此对吗？
注意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。
第2章 点、直线、平面的投影
5. 两点的相对位置和重影点
(1) 两点的相对位置指两点在空间的左右、前后、上下位 置关系。
判断方法：
▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面垂直面
类似性
类似性
积聚性
铅垂面
投影特性
(1) 在它垂直的投影面上的投影积聚成倾斜直线。该直 线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面倾角 的大小。
(2) 另外两个投影面上的投影为小于实形的类似形。
第2章 点、直线、平面的投影
名称
铅垂面 （⊥H）
正垂面 （⊥V）
点B在点A之左、之后、之下。
▲z 坐标大的在上
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-2］如图，已知点A 的三面投影，另一点B 在点A 上方 8 mm，左方12 mm，前方10 mm处，求点B 的三个投影。
b ● a 8
12
X bx
ax
a
10
●
b
Z
bz
b
●
az a
O
by YW
ay
ay by
YH
作图步骤： 1）在a′左方12 mm ，上
第2章 点、直线、平面的投影
3. 投影面平行面
积聚性
积聚性
实形性
水平面
投影特性
(1) 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 (2) 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴
平行的直线。
第2章 点、直线、平面的投影
名称
投影面平行面
立体图
投影图
水平面 （∥H）
正平面 （∥V）
侧平面 （∥W）
投影特性
5) 过c作X轴的垂线与a′b′交于c 。则c 、 c′即所求分点C 的投影。
B1
分析： 分点C 的投影，必在AB 线段的同面投影上，且 ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝2∶3，可用比例作图法作图。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-4] 判断点C是否在直线AB上。
①
b
c
a
X
c
bO
a
点C在直线 AB上
YH
A、C为哪个投影
面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
第2章 点、直线、平面的投影
点A、B 在对H 面的同一条投射线上，它们在H 面的投影重合，称为对H 面的重影点。而点C、A
则称为对W 面的重影点。
第2章 点、直线、平面的投影
2.2 直线的投影
2.2.1 直线投影的确定 2.2.2 各种位置直线 2.2.3 直线上的点 2.2.4 空间两直线的相对位置
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-7] 判断两直线的相对位置。
z
d a
o
c
b
解法一：（作 第三面投影法） 交点不满足点
YW 的投影规律。
结论：交叉
YH
第2章 点、直线、平面的投影
1
1பைடு நூலகம்
解法二：（比例法） 交点分CD两投影之 比不相等，不是共有 点。
结论：交叉
1d
c 1
第2章 点、直线、平面的投影
(2) 直线在另两个投影面上的投影分别平行于相应的影 轴，且都小于实长。其到相应投影轴距离反映直线与 它所平行的投影面之间的距离。
第2章 点、直线、平面的投影
3. 投影面垂直线
投影特性
(1) 直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 (2) 直线在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的
投影轴，且反映其实长。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-3] 试在直线AB 上取一点C ,使AC :CB＝2:3 ，求分点C 的投影。
作图步骤：
c a
X
c a
C1
1) 过a(或b)任作一直线aB1（或bB1) ； b 2) 在aB1上取C1，使aC1∶C1B1＝2∶3；
3) 连接B1、b；
b 4) 过C1作C1c∥B1b，与ab交于c ；
2.3 平面的投影
2.3.1 平面的表示法 2.3.2 各种位置平面 2.3.3 平面上的点和直线
第2章 点、直线、平面的投影
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2.3.1 平面的表示法
1. 几何元素表示法
c
c
c
●
●
●
c
c
●
●
a●
a●
a●
d a●
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.4 空间两直线的相对位置
1. 两直线平行 2. 两直线相交
同面直线
3. 两直线交叉(交错) ——异面直线
第2章 点、直线、平面的投影
1. 两直线平行
(1) 平行性 若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必 然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平 行，则此两直线在空间也一定相互平行。
a●
● c
●c
●c
●c
●c
不共线的三点 直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
最基本
最常用
第2章 点、直线、平面的投影
2. 迹线表示法
空间平面与投影面的交线称为平面的迹线。(平面与投影面
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.2. 各种位置直线
正平线（只平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（只平行于Ｗ面） 水平线（只平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
特殊位置直线
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面，必
侧垂线（垂直于Ｗ面） 平行于另外两个投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-5］已知直线AB及点K的两面投影，判断点K是否 在直线AB上。
解法二： （应用定比定理）
a k ●
b
X
a ●k0 k● b
O
● b0
作图步骤：
1）过a(或b)任作一辅助直线；
2）在辅助线上截取ak0=a′k′， k0b0=k′b′ ;
3）连接bb0和kk0，由于bb0 和kk0不平行，即 ak∶kb≠a′k′∶k′b′ ，因此， 点K 不在直线AB上。
az ●a
O
Yw
通过作45°线使 aaz=aax
a●
YH
解
法
用圆规直接量取
二
aaz=aax
a● X ax
Z
az
a
●
O
Yw
a●
az
Z
●a
解
a●
YH
法
X ax
Yw
用圆规画弧
三
a●
使aaz=aax
YH
第2章 点、直线、平面的投影
3. 点的投影与坐标
点A的x坐标xA=OaX=Aa"=点A到W面的距离； 点A的y坐标yA=OaY=Aa' =点A到V面的距离； 点A的z坐标zA=OaZ=Aa=点A到H面的距离。
H面向下翻转
● a
O
W
aY
Y
Y轴分开
第2章 点、直线、平面的投影
2. 点的投影规律
V
a●
A
●
X aX a●
Z
aZ
● a
OW aY
H Y
(1) aa⊥OX轴 (2) aa⊥OZ轴 (3) aax= aaz=y=A到V面的距离
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-1］已知点的两个投影，求第三投影。
Z
解 a● 法 一 X ax
(1)H投影反映实形；
(2)V、W投影分别为 平行OX、OYW轴的 直线段，有积聚性
(1)V投影反映实形；
(2）H、W投影分别为 平行OX、OZ轴的 直线段，有积聚性
Z
aZ ● a
OW aY
注意：空间点用大写字 母表示，点的投影用小 写字母表示。
H Y
空间点A的三个坐标：
aX、aY、aZ
第2章 点、直线、平面的投影
投影面展开
空间问题转化为平面问题
V a
X
aX
●
a H
Z
aZ
V面保持不动
W ●a"
V a
●
W面向右翻转
Z
aZ
A
O
X ax
●
aYW YW
aYH
a●
YH
H
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.3 直线上的点
V
b
1. 从属性
c
B
若点在直线上，则点的各个投 a
影必在直线的各同面投影上。 x
C
即c∈ab, c∈a b , c∈ab。
A
b
ac
H
2. 等比性
属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
即AC: CB = ac : cb= ac : cb = ac : cb。
2.3.2 各种位置平面
投影面垂直面
特殊位置平面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 必垂直于另两个投影面
一般位置平面
与三个投影面都倾斜
第2章 点、直线、平面的投影
1. 一般位置平面
投影特性
(1) 三个投影均是小于实形的类似形。 (2) 三个投影均不反映平面与投影面的倾角。
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
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2.1 点的投影
2.1.1 三投影面体系的建立 2.1.2 点的投影及其投影规律
第2章 点、直线、平面的投影
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2.1.1 三投影面体系的建立
1. 点在一个投影面上的投影
(2) 等比性 平行两直线长度之比等于其投影长度之比。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-6] 判断图中两条直线是否平行。
①
b d
a c
x
a
cb
AB//CD
d
对于一般位置直线，只要
有两个同面投影互相平行，空 间两直线就平行。
②
c
a
c a
d b
c b
b d
da
如AB何与判C断D？不平行
对于特求殊出位侧置面直投线影，只有
方8 mm 处确定b′；
2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b ；
3）根据投影关系求得b″。
第2章 点、直线、平面的投影
(2) 重影点及其可见性
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点时，则称此两 点为该投影面的重影点。
被挡住的投影 加( )
a ●
c●
X
Z
● a
● c
O
Yw
●
a (c)
第2章 点、直线、平面的投影
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2.2.1 直线投影的确定
B
●
A●
●b a●
A●
M● B●
●
a≡b≡m
A● a●
●B α
●b
直线平行于投影面 直线垂直于投影面 直线倾斜于投影面 投影反映直线实长 投影积聚为一点 投影小于直线实长
第2章 点、直线、平面的投影
两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就 得到直线的同面投影。
侧垂面 （⊥W）
投影面垂直面
立体图
投影图
投影特性
(1)H投影为斜直 线，有积聚性，且 反映β、γ的大小
(2）V、W投影不是 实形，但有相仿性
(1) V投影为斜直 线，有积聚性，且 反映α、γ的大小
(2）H、W投影不是 实形，但有相仿性
(1) W投影为斜直 线，有积聚性，反 映α、β的大小
(2）H、V投影不是 实形，但有相仿性
② a
c●
X ac
b O
b
点C不在直线 AB上
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-5］已知直线AB及点K的两面投影，判断点K是否 在直线AB上。
解法一： （应用第三投影）
a
Z a
k ●
● k
b
X
O
a
k●
b
YH
b
Yw
作图步骤：
1）根据投影关系作出直 线AB及点K的侧面投 影；
2）根据侧面投影可判断： k″不在a″ b″上，因 此，点K不在直线AB 上。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
第2章 点、直线、平面的投影
1. 一般位置直线
投影特性
(1) 三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。 (2) 三个投影与投影轴的夹角都不反映空间直线与三个
投影面倾角的大小。
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面平行线
投影特性
(1) 直线在所平行投影面上的投影反映其实长，及其与 另两个投影面的倾角。
右Z O
投影轴
H
OX轴 OY轴 OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
三个投影面互 相垂直
上 W
下 Y
第2章 点、直线、平面的投影
2.1.2 点的投影及其投影规律
1. 点在三投影面体系中的投影
a ——点A的水平投影
V a●
a——点A的正面投影 a——点A的侧面投影
A
●
X aX
a●
两个同面投影互相平行，空间 直线不一定平行。
第2章 点、直线、平面的投影
2. 两直线相交
O
当两直线相交时，它们在各投影面上的同面投影也必然相 交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
第2章 点、直线、平面的投影
3. 两直线交叉
同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投 影规律。
“疑似交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可 帮助判断两直线的空间位置。
过空间点A作投影面P的垂线， 垂足即为点A在P面上的投影。
P
● a
A●
点在一个投影面上的投影不能
P
确定点的空间位置。 解决办法？
B1
B2 ●
B3 ●
●
● b
采用多面投影。
第2章 点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面体系与投影轴
左
投影面体系
V ◆正立投影面（简称V 面） ◆水平投影面（简称H 面） X ◆侧立投影面（简称W面）
第2章 点、直线、平面的投影
4. 各种位置点的投影
(1) 一般位置点（x , y , z）
(2) 特殊位置点
1)投影面上的点：V 面上点（x，0，z）
H 面上点（x，y，0）
W 面上点（0，y，z）
2)投影轴上点:
X 轴上点（x，0，0）
Y 轴上点（0，y，0） Z 轴上点（0，0，z）
3)原点上的点: （0，0，0 ）
第2章 点、直线、平面的投影
Z
A。a′
。a
。 b。′C。c′ 。c
X
a
c
。b YW
。
Bb
。b
YH
b在此对吗？
注意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。
第2章 点、直线、平面的投影
5. 两点的相对位置和重影点
(1) 两点的相对位置指两点在空间的左右、前后、上下位 置关系。
判断方法：
▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前
第2章 点、直线、平面的投影
2. 投影面垂直面
类似性
类似性
积聚性
铅垂面
投影特性
(1) 在它垂直的投影面上的投影积聚成倾斜直线。该直 线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面倾角 的大小。
(2) 另外两个投影面上的投影为小于实形的类似形。
第2章 点、直线、平面的投影
名称
铅垂面 （⊥H）
正垂面 （⊥V）
点B在点A之左、之后、之下。
▲z 坐标大的在上
第2章 点、直线、平面的投影
［例2-2］如图，已知点A 的三面投影，另一点B 在点A 上方 8 mm，左方12 mm，前方10 mm处，求点B 的三个投影。
b ● a 8
12
X bx
ax
a
10
●
b
Z
bz
b
●
az a
O
by YW
ay
ay by
YH
作图步骤： 1）在a′左方12 mm ，上
第2章 点、直线、平面的投影
3. 投影面平行面
积聚性
积聚性
实形性
水平面
投影特性
(1) 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 (2) 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴
平行的直线。
第2章 点、直线、平面的投影
名称
投影面平行面
立体图
投影图
水平面 （∥H）
正平面 （∥V）
侧平面 （∥W）
投影特性
5) 过c作X轴的垂线与a′b′交于c 。则c 、 c′即所求分点C 的投影。
B1
分析： 分点C 的投影，必在AB 线段的同面投影上，且 ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝2∶3，可用比例作图法作图。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-4] 判断点C是否在直线AB上。
①
b
c
a
X
c
bO
a
点C在直线 AB上
YH
A、C为哪个投影
面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
第2章 点、直线、平面的投影
点A、B 在对H 面的同一条投射线上，它们在H 面的投影重合，称为对H 面的重影点。而点C、A
则称为对W 面的重影点。
第2章 点、直线、平面的投影
2.2 直线的投影
2.2.1 直线投影的确定 2.2.2 各种位置直线 2.2.3 直线上的点 2.2.4 空间两直线的相对位置
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-7] 判断两直线的相对位置。
z
d a
o
c
b
解法一：（作 第三面投影法） 交点不满足点
YW 的投影规律。
结论：交叉
YH
第2章 点、直线、平面的投影
1
1பைடு நூலகம்
解法二：（比例法） 交点分CD两投影之 比不相等，不是共有 点。
结论：交叉
1d
c 1
第2章 点、直线、平面的投影
(2) 直线在另两个投影面上的投影分别平行于相应的影 轴，且都小于实长。其到相应投影轴距离反映直线与 它所平行的投影面之间的距离。
第2章 点、直线、平面的投影
3. 投影面垂直线
投影特性
(1) 直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 (2) 直线在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的
投影轴，且反映其实长。
第2章 点、直线、平面的投影
[例2-3] 试在直线AB 上取一点C ,使AC :CB＝2:3 ，求分点C 的投影。
作图步骤：
c a
X
c a
C1
1) 过a(或b)任作一直线aB1（或bB1) ； b 2) 在aB1上取C1，使aC1∶C1B1＝2∶3；
3) 连接B1、b；
b 4) 过C1作C1c∥B1b，与ab交于c ；
2.3 平面的投影
2.3.1 平面的表示法 2.3.2 各种位置平面 2.3.3 平面上的点和直线
第2章 点、直线、平面的投影
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2.3.1 平面的表示法
1. 几何元素表示法
c
c
c
●
●
●
c
c
●
●
a●
a●
a●
d a●
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.4 空间两直线的相对位置
1. 两直线平行 2. 两直线相交
同面直线
3. 两直线交叉(交错) ——异面直线
第2章 点、直线、平面的投影
1. 两直线平行
(1) 平行性 若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必 然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平 行，则此两直线在空间也一定相互平行。
a●
● c
●c
●c
●c
●c
不共线的三点 直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
最基本
最常用
第2章 点、直线、平面的投影
2. 迹线表示法
空间平面与投影面的交线称为平面的迹线。(平面与投影面