带电粒子在电场中运动的综合问题

图3
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共 同的速度大小v1； 解析 子弹打入靶盒过程中，由动量守恒定 律得mv0＝10mv1 解得v1＝0.1v0。 答案 0.1v0
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O点的最
大距离s；
解析 靶盒向右运动的过程中，由牛顿第二
定律得qE＝10ma
又 v21＝2as 解得 s＝2m0qvE20 。
4.(多选)如图 4 所示，ACB 为固定的光滑半圆形竖直绝
缘轨道，半径为 R，AB 为半圆水平直径的两个端点， OC 为半圆的竖直半径，AC 为41圆弧，OC 的左侧、OA 的下方区域有竖直向下的匀强电场。一个带负电的小
球，从 A 点正上方高为 H 处由静止释放，并从 A 点
沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，小球电荷量不
电场，x 轴沿水平方向，一带负电小球以初速度 v0 从坐标原点 O 水平射出，一
段时间后小球通过第四象限 PL，－L点(图 2 中没有标出)。已知小球质量为 m，
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重力加速度为 g，则小球( AB )
A.从 O 到 P 的运动过程，运动时间为vL0
B.到达 P 点时动能为25mv20
C.到达 P 点时速度偏向角正切值为 tan θ＝1
C.－mgLqsin θ
D.mgLqsin θ
图3
解析 带正电小滑块从 A 点由静止开始沿斜面下滑，受到重力和电荷 Q 的库仑
力作用，从 A 点运动到 B 点的过程，由动能定理可知 mgLsin θ＋qUAB＝0，解 得 A、B 两点间的电势差 UAB＝－mgLqsin θ，C 正确。
对点练 2 电场中的力、电综合问题
答案
mv20 20qE
(3)若靶盒回到O点时，第2颗完全相同的子弹 也以v0水平向右打入靶盒，求第2颗子弹对靶 盒的冲量大小I。
解析 第1颗子弹打入靶盒后，靶盒将向右减速后反向加速，返回O点时速度大 小仍为v1，设第2颗子弹打入靶盒后速度为v2，取向右为正方向，由动量守恒定 律得mv0－10mv1＝11mv2 解得v2＝0 以靶盒与第1颗子弹为整体，由动量定理得I＝0－(－10mv1) 解得I＝mv0。 答案 mv0
解析 设重力与电场力的合力方向与竖直方向成α 角，如图 由 tan α＝mqEg解得 α＝37° 合力大小为 F＝ qE2＋mg2＝54mg 过 O 点作与竖直方向夹角为 α＝37°的直线，与圆
轨道分别交于 D 点和 E 点，则小球在 D 点速度最大，E 点速度最小。 在 E 点对
轨道压力为零时，小球的释放位置离 A 点最近。对小球在 E 点应用牛顿第二定律
图4
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度 H； (2)已知电容器储存的电能 E＝21CU2，转化为 灭火弹动能的效率 η＝15%，灭火弹的质量为 3 kg，电容 C＝2.5×104 μF，电容器工作电压
U 应设置为多少？ 答案 (1)60 m (2)1 000 2 V 解析 (1)灭火弹离开炮口后，做斜上抛运动，则水平方向上有 L＝v0tcos θ，竖 直方向上有 H＝v0tsin θ－12gt2，代入数据联立解得 H＝60 m。 (2)根据题意可知 Ek＝ηE＝15%×12CU2，又因为 Ek＝21mv20，联立可得 U＝ 1 000 2 V。
2.能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判 断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点 (1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢 量必须选同一个正方向。 (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意 题目表述是否在某方向上动量守恒。
考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动
1.等效重力场 物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全 新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
2.方法应用 (1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
F合 (2)将 a＝ m 视为等效重力加速度。 (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的 点为“等效最高点”。 注意：这里的最高点不一定是几何最高点。 (4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
2
提升素养能力
A级 基础对点练
对点练1 带电粒子在电场和重力场中的运动 1.(多选)如图1所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB
是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电 场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放， 小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度大小为g，取sin
上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等
的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在
水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空
气阻力，下列判断正确的是( D )
A.如果A球带电，则A球一定带正电
图2
B.如果A球带电，则A球的电势能一定增加
C.如果B球带电，则B球一定带负电
D.如果B球带电，则B球的电势能一定增加
例2 如图3，质量为9m的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光滑水平 面上的O点。O点右侧存在电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O 点左侧有一质量为m的子弹，以速度v0水平向右打入靶盒后与靶盒一起运动。 已知子弹打入靶盒的时间极短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计 空气阻力。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
例 1 如图 1 所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直
圆轨道在 A 点相切，斜面与水平方向的夹角为 θ。
B 点为圆轨道的最低点，C 点为圆轨道的最高点，
O 点为圆轨道的圆心，半径 OA 与竖直方向夹角
也为 θ。整个空间存在水平向左的匀强电场，电场
强度为 E＝34mqg。已知 θ＝53°，圆轨道半径 R＝1 m，
图1
g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。现把一质量为 m＝1 kg、电荷量为 q
的带正电小球从斜面上某位置由静止释放。为使小球能在运动到 C 点之前始终
不脱离轨道，求小球释放位置离 A 点的最小距离，和小球从此位置释放后运动
到 B 点时对轨道的压力(计算结果均保留 3 位有效数字)。
考点二 电场中的力、电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模 型，能够从带电粒子受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行 分析与研究。 1.动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特 别注意重力是否需要考虑。
2.(2023·山东卷，15)电磁炮灭火消防车(图4甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入 高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设 置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁 炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方 向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小 g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
Ek－0，分析上式可知 Ek<0，即假设不成立，故 A 错误；P、B 两点间的电势差 UPB＝E·25R＝31m0gqR，故 C 正确；小球从 A 点运动 到 B 点，根据动能定理有 qE·2R＝12mv2B，此时小球的向心加速度大小 a 向＝vR2B＝
3g，故 D 正确。
2.(多选)坐标系 xOy 所在的竖直平面内存在着范围足够大且方向竖直向下的匀强
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( CD )
A.小球可以沿圆环运动到 C 点
B.匀强电场的电场强度大小为35mqg C.P、B 两点间的电势差为31m0gqR
D.小球运动到 B 点时，向心加速度大小为 3g
图1
解析 小球运动到 P 点时的动能最大，即重力和电 场力的合力沿着 OP 方向，对小球受力分析有mqEg＝ tan 37°，解得 E＝34mqg，故 B 错误；假设小球能够 沿圆环运动到 C 点，根据动能定理有 qER－mgR＝
得 F＝mvR2E 设小球的释放位置到A点的最小距离为x，在小球从释放点到E点的过程中，由动
能定理得
mg(ssin θ－Rcos θ－Rcos α)－qE(scos θ＋Rsin θ＋Rsin α)＝12mv2E 解得 s＝11243 m＝8.79 m
对小球从 B 点到 E 点的过程应用动能定理得
带电粒子在电场中运动的综合问题
学习目标
1.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。 2.知道“等效重力场”的概念。 3.会用动力学观点和能量观点分析电场中的力电综合问题。
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
1
研透核心考点
考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动
考点二 电场中的力、电综合问题
－FR(1＋cos α)＝12mv2E－21mv2B 设小球在 B 点受到的支持力为 FN，由牛顿第二定律
得 FN－mg＝mvR2B 解得 FN＝247mg＝67.5 N 由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小等于67.5 N，方向竖直向下。
答案 8.79 m 67.5 N，方向竖直向下
1.(2024·辽宁葫芦岛市高三检测)如图2所示，在竖直向
3.如图3，倾角为θ的绝缘光滑斜面和斜面底端电荷量为Q的正点电荷均固定，一 质量为m、电荷量为q的带正电小滑块从A点由静止开始沿斜面下滑，刚好能够 到达B点。已知A、B间距为L，Q≫q，重力加速度大小为g。则A、B两点间的电
势差UAB等于( C )
A.－mgLQsin θ
mgLsin θ B. Q
B级 综合提升练 5.如图5，滑块A、B的质量均为m，B带正电，电荷量为q；A不带电，A套在固定
图4
变。关于带电小球的运动情况，下列说法正确的有( BCD )
A.小球一定能从B点离开轨道 B.小球在圆弧AC部分运动的加速度大小可能不变 C.若小球能沿圆弧返回从A点离开，上升的高度一定等于H D.若小球能沿圆弧到达C点，其速度不可能为零
解析 由题意可知，带电小球从开始下落到 C 的过 程中，电场力做负功，重力做正功，由于二者做功 的大小关系不确定，故小球有可能不能从 B 点离开 轨道，故 A 错误；若重力和电场力大小相等，则小 球在 AC 部分做匀速圆周运动，加速度大小不变， 故 B 正确；若小球能沿圆弧返回从 A 点离开，全 过程电场力做功为零，小球上升的高度一定等于 H， 故 C 正确；若 qE≤mg，小球沿圆弧从 A 到 C 做加速或匀速率运动，故小球到 达 C 点的速度不可能为零；若 qE>mg，小球沿圆弧运动到 C 点的最小速度为 v， 则有 qE－mg＝mRv2，故小球能到达 C 点的速度也不可能为零，故 D 正确。
解析 平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移 相同，故下落时间相同，A 球在上方，竖直位移较大， 由 h＝12at2 可知，A 球下落的加速度较大，所受合外力 较大，如果 A 球带电，则 A 球受到向下的电场力，一 定带负电，电场力做正功，电势能减小，故 A、B 错误； 如果 B 球带电，由于 B 球的竖直位移较小，加速度较小，所受合外力较小，则 B 球受到的电场力向上，应带正电，电场力对 B 球做负功，电势能增加，故 C 错误，D 正确。
D.所受电场力大小为2mLv20＋mg
图2
解析 从 O 到 P 的运动过程，小球在水平方向
上做匀速运动，则运动时间为 t＝vL0，选项 A 正 确；小球在竖直方向做匀加速运动，则 L＝v2yt， 即 vy＝2v0，到达 P 点时速度为 vP＝ v20＋vy2＝
5v0，动能 Ek＝12mv2P＝25mv20，选项 B 正确；到 达 P 点时速度偏向角正切值为 tan θ＝vv0y＝2，选项 C 错误；由动能定理有 mgL －FL＝12mv2P－21mv20，所受电场力大小为 F＝mg－2mLv20，选项 D 错误。