1.4.2正弦余弦函数的图像与性质

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1.4.2正弦、余弦函数的性质
观察下面图象：ysixn,xR y1,1
y
1
﹣2π
﹣π2
● ﹣ 3●π 2
●
﹣π
●
●
0π
●
2
●
π
3π
●2
●
2π
x
﹣1 奇函数
单调递 :增 22k区 ,2 间 2k 单调递 :2减 2k区 ,32 间 2k
观察下面图象：ysixn,xR y1,1
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
例 3、下列函数 最 有 小 最 值 大 吗 值 ？ 、 写 如 出 果 取 有 最
最小值时x的 的集 自合 变， 量并 、 说 最 出 小 最 值 大 分 。
(1)ycoxs1,xR 方法：利用正余弦函 (2)y3sin2x,xR 数的的最大（小）值
y2
1
3π
π2
2π
O -1
6
π
2
5 6
x
变式2、当
x 3
,
11
6
时，函数
y sinx 的值域。
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思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象 有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象 有什么关系？
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小结
1.体会推导新知识时的数形结合思想； 2.理解解决类三角函数图像的整体思想； 3.对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
y=sinx xR y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
正弦曲线
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函数 ysinx,x 0,2 的图像上的关
键点有哪些？
五点
图象的最高点( , 1 )
2
作 图象与x轴的交点(0,0) ( ,0)(2,0)
图 法
图象的最低点 ( 3 , 1)
2
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二.用五点法作y=sinx , x∈[0,2π]的简图
y
1
﹣2π
﹣π2
● ﹣ 3●π 2
●
﹣π
●
●
0π
●
2
●
π
3π
●2
●
2π
x
﹣1
对 称 中 心 坐 标 :k， 0
观察下面图象：
y=sinx (xR)
当x=
2
2k
时，函数值y取得最大值1；
y
1
2 0 2 3 4 5 6 x
-1
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1
2
对称中心k（ ,0)
对称x 轴 k：
练习：P40 1、2、 3、4
例4、利用三角函性 数， 的比 单较 调下列大 各小 组：
（1）sin( )与sin( )
18
10
(2)cos( 23 )与cos(17 )
还有其他方法来 比较吗？
5
4
练习：P40 5
作单位圆用三角函数线
例 5、求 y 函 sin 1数 x()x , [2,2]的单调. 递
2
的图象叫做余弦曲线。
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正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6x
正弦函数的图象
正弦曲线
向左 平移
2
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象y
余弦曲线
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o21 ,0)
( 2 ,0)
( ,-1)
2
3
4
5 6x
1.4.1正弦、余弦函数的图象
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1
一、复习回顾 1、作函数的图象，我们在初中学过一种方
法———描点法。
2、（思考）如果我们仍用描点法来画正 弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在 计算相应的函数值时，都是利用计算器或数 学用表得来的，大多数是一些近似值，因此 不易描出对应点的准确位置，因而画出的图
2 5 3 2
6
y
31
6
y=sinx ( x [0,2 ] )
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
7
6 4
2
●
0
11 6 3 2
3 5 6 -1
●
2 5
36
● ●
●
●
x ●
●
3 23
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6
终边相同的角的同一三角函数值相等。
y=sinx x[0,2]
202பைடு நூலகம்/10/10
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余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、 (
2
,0)、(
,-1)、3 (
2
,0)、2(
, 1)
y
1●
o
●
2
-1
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●
●
3 2
2 x
●
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知识应用
例1、 画函数y=1+sinx，x[0, 2] 的简图：
x
02
3
2
2
sinx 0
1
0 -1 0
1+sinx
y
2
向上平移 1 1个单位
8
( 2 )y f(x ) 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 ( ,0 ) ,求 .
解 :(1 )由 已 知 ,得 k y ,k Z 6
4
2
即k,kZ o
x
解 :(2 又 )由 已 知 ,得 - 0 ,4 k yk 1 , ,k Z 34 .
即k3,k3 Z又 o0,
x
2
. 3
象不够准确。怎么办呢？
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2
为此，我们应考虑用其它方法来作正弦 函数的图象
3、在这里，我们引入一种新的画法— 利用三角函数线来画三角函数的图象。
那么，我们来复习一下三角函数的几何 表示———三角函数线。
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三角函数
三角函数线
正弦函数 sin=MP 正弦线MP
余弦函数 cos=OM 余弦线OM
x
0
2
π 3π 2
2π
sin x 0
1
0 -1 0
y
1
.
.
O
π
2
-1
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.
π
3π
2.
.
2π x
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三、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象 思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函
yc o ss数xi？nπ (2 x)
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 向左平移π 个单位长度而得到。余弦函数
-1
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1
对称中k心 （ ,0)
2
对称轴 x： k
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在x∈[2kπ都是增函数 x∈[2kπ+
π2, 2kπ+ ，, π22kπ+
都是减函数.
π]2上
在
]上3π2
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
1.数形结合；
2.化归思想.
作业：P46.2、3、4、5。 P47.1,3
23
ycos( 1x)
32
y sin( 1 x)
32
反 思 :
对 于 求 yA sin (x )的 单 调 区 间 ,要 注 意 0 的 情 形 ,将 < 0 化 为 > 0 ,再 处 理 .
练 习 .求 函 数 y s in ( 2 x ) 的 单 调 递 减 区 间 .
6
变 式 一 .求 函 数 y s in ( 2 x )的 单 调 递 增 区 间 . 变 式 二 .如 何 求 函 数 y 6 s in 2 x c o s 2 x 23 s in x c o s x
即y2sin(2x)
6
所 求 函 数 的 递 增 区 间 为 [ k,k] ( k Z ) 21 223
例 6 . ( 0 5 全 国 ) 设 函 数 f ( x ) 2 s i n ( 2 x ) ( 0 ) ,
( 1 ) y f( x ) 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 直 线 x ,求 ;
2
ycox,sxR
y1,1
观察下面图象：
y 偶函数
﹣2π
﹣π2 1●
● ﹣ 3●π
●
﹣π
2
●
0π
﹣1 ●
2
●
π
3π
●2
●
2π
x
单调递 :增 2k区 ,2k间 单调递 :2k 减 , 区 2k间
观察下面图象：
y=cosx (xR)
当x= 2k 时，函数值y取得最大值1；
y 1
2 0 2 3 4 5 6 x
1
ycos,x[0,2π]
O
-1
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π 2
π3 π 2 2
π x
ycos,xx[0,2π]
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例2、当x∈[0，2π]时，求不等式
c o s x 1 的解集.
y2
1
O -1 3 2
y 1 2
π
5 2π x
23
0，3 53， 2
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变式1、当x∈[0，2π]时，求不等式 s in x 1 的解集.
正切函数 tan=AT 正切线AT
y PT
A(1,0)
-1
O
M
x
注意：三角 函数线是有 向线段！
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4
问题：如何作出正弦的图象？
步骤：列表，描点，连线
途径：利用单位圆中正弦线（表示正弦） 来解决。
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5
一. 用几何方法作正弦函数y=sinx， x [02， ] 的图象：
0
2
-1
12101
y=1+sinx，x[0, 2] 步骤：
1.列表
2.描点
3
2 3x.连线
2
2
y=sinx，x[0, 2]
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练习：画出y=-cosx , x∈[0，2 ]的简图
x0
ππ3 π 2 π
2
2
c o 1s 0 x - 101
- c o - 1s 0x 1 0- 1
y
的 单 调 区 间 ?
分 析 结 : 合 y 图 |s 象 in ,( 由 6 k 2 x ) 2 |x 化 为 y k | s in ( 2 x ,得 6 :)|, 62 kxk,kZ 2 12 2 3 分 析 : 化 简 ,得 y 3 s in 2 x c o s 2 x