对数函数及其性质练习题及答案解析

1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )
A ．(1,4]
B ．(1,4)
C ．[1,4]
D ．[1,4)
解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧
x －1>04－x ≥0
，解得1<x ≤4. 2．函数y ＝x |x |log 2|x |的大致图象是( )
解析：选D.当x >0时，y ＝x x log 2x ＝log 2x ；当x <0时，y ＝x －x
log 2(－x )＝－log 2(－x )，分别作图象可知选D.
3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则ab ＝( )
A ．1
B ．2
C.1
2 D.14
解析：选A.如图由f (a )＝f (b )，
得|lg a |＝|lg b |.
设0＜a ＜b ，则lg a ＋lg b ＝0.
∴ab ＝1.
4．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________．
解析：当x ＝－1时，log a (x ＋2)＝0，y ＝log a (x ＋2)＋3＝3，过定点(－1,3)．
答案：(－1,3)
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是( )
A ．y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)
B ．y ＝x 与y ＝x
C ．y ＝lg x 与y ＝lg x
D ．y ＝x 2与y ＝lg x 2
解析：选C.A.定义域分别为R 和(0，＋∞)，B.定义域分别为R 和[0，＋∞)，C.定义域都是(0，＋∞)，D.定义域分别为R 和x ≠0.
2．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象关于( )
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：选A.y ＝log 12x ＝－log 2x .
3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )
解析：选B.由y＝log a(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象应在y轴左侧，可排除A、D 选项．
当a>1时，y＝a x应为增函数，y＝log a(－x)应为减函数，可知B项正确．
而对C项，由图象知y＝a x递减⇒0<a<1⇒y＝log a(－x)应为增函数，与C图不符．4．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()
x
A．y＝log4x B．y＝log1
4
x D．y＝log2x
C．y＝log1
2
解析：选D.设y＝log a x，∴4＝log a16，X k b 1 . c o m
∴a4＝16，∴a＝2.
5．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x 的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是()
A．a4＜a3＜a2＜a1
B．a3＜a4＜a1＜a2
C．a2＜a1＜a3＜a4
D．a3＜a4＜a2＜a1
解析：选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用log a a＝1结合图象求解．
6．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是()
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0,1]
解析：选D.∵1≤x≤2，
∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1.
7．函数y＝log1
(x－1)的定义域是________．
2
解析：由0＜x－1≤1，得函数的定义域为{x|1＜x≤2}．
答案：{x|1＜x≤2}
8．若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．
解析：∵0<a<1，
∴函数f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，
∴在区间[a,2a ]上，
f (x )min ＝lo
g a (2a )，f (x )max ＝log a a ＝1，
∴log a (2a )＝13，∴a ＝24
. 答案：24
9．已知g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x x ≤0ln x x >0，则g [g (13)]＝________. 解析：∵13>0，∴g (13)＝ln 13
<0， ∴g [g (13)]＝g (ln 13)＝e ln 13＝13
. 答案：13
10．求下列函数的定义域：
(1)y ＝log 333x ＋4
； (2)y ＝log (x －1)(3－x )．
解：(1)∵33x ＋4
＞0，∴x ＞－43， ∴函数y ＝log 333x ＋4的定义域为(－43，＋∞)． (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＞0x －1＞0
x －1≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＜x ＜3x ≠2. ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3)．
11．已知f (x )＝log 3x .
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0＜a ＜2时，有f (a )＞f (2)，利用图象求a 的取值范围． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．
(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，
解得x ＝2.
由如图所示的图象知：当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)． 故当0＜a ＜2时，不存在满足f (a )＞f (2)的a 的值．
12．函数f (x )＝log 2(32－x 2)的定义域为A ，值域为B .试求A ∩B . 解：由32－x 2＞0得：－42＜x ＜42，
∴A ＝(－42，42)．
又∵0＜32－x 2≤32，
∴log 2(32－x 2)≤log 232＝5，
∴B ＝(－∞，5]，
∴A ∩B ＝(－42，5]．。