剪应力互等定理由平衡方程

§3—3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚 _t __1_10__r0_ ,r0：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：
2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
它们组成的力偶，其矩为
y
d a
dy

b

x
z
dx
c
(dxdy)dz
(dxdy)dz
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
数量相等而转向相反，从而可得
y
d a
dy

b

x
z
dx
c

剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示符合右手 螺旋法则。
变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴 线的相对转动。
A
B O
A
BO
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
以扭转变形为主的杆件 称为轴。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA

D
02
2

2


d
O
D

D4
32

0.1D4
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
m3
m1 n
B
C
m2
m3
A
m1
D
m4
B
C
A
D
解:计算外力偶矩
m1 15.9kN.m
m2 m3 4.78kN.m m4 6.37kN.m
计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 。假设 M n2为正值。
由平衡方程
m2 m3 2
m1
m4
B
C2
A
D
m2
m3 M n2
x
BC
m m M mx 0,
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
___t_g______Gd_1G_x_____d_ _dx_
________dd_x__
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
2. 物理关系：
胡克定律：
y
d a
dy

b

x
z
dx
c
纯剪切应力状态：
单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元 体为纯剪切应力状态。
y
d a
dy

b

x
z
dx
c
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
m 9.55 N K (KN .m) n
m 7.024 P (KN.m) n
_______________________________________________________
m——作用在轴上的力偶矩，( KN.m )
NK——轴传递的功率， (kW) P ——轴传递的功率， (PS) n——轴的转速 ( r/min )
§3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
1, 传动轴的外力偶矩
m2
m1
m3
n
从动轮
主动轮
从动轮
m2
m1
m3
n
从动轮
主动轮
从动轮
一传动轴，转速为 n转/min ，轴传递的功率由主动轮输入， 然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得。
代入物理关系式



G
d
dx
得：
______T__I_p__


T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
强度计算（危险截
例题：一传动轴如图所示，其转速 n = 300转/min ，主动轮输入的 功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率， 三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW 及N4 = 200 kW。试做扭矩图。
m2
m3
m1
n
m4
B
C
D
A
m2
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。
(a)
´ (b)
M
1. 点M的应力单元体如图(b)：
2. 斜截面上的应力；
取分离体如图(d)：
´ (c)


x
´ (d)
(d)
n

´

x
t
转角规定： 轴正向转至截面外法线 由平衡方程：
22 +
mB
mC
B
C
14
mA = 22 kN。m， mB = 36 kN。m mC =14 kN。m
分别校核两段轴的强度
1max

M n1 W1

M n1 d13

22 103 (0.123 )

64.84MPa
[]
16 16
2 max

M n2 W2

M n2
d
3 2

14 103 (0.13 )
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0
Ft 0 ; dA (dAcos)cos ( dAsin)sin 0
解得： ___________s_in__2____; ________c_o_s_2_______
11，扭矩和扭矩图
分析图示圆轴任一横截面
m
n—n上的内力。仍用 截面法。
n
m
x
•
在n—n截面处假想将轴 截开取左侧为研究对象
n
m
•
x
横截面上的内力应是一个 力偶称为该横截面上 扭矩
mx 0 Mnm 取右侧为研究对象
其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
m
n
m
x
•
n
m
Mn
•
x
m
••
重点、难点
扭矩与扭矩图 圆轴扭转时的剪应力及强度条件 剪应力互等定理 圆轴扭转时的变形及刚度条件 扭转超静定问题
§3-1 概 述
一、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
M
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
F
M
F
M
3、机器中的传动轴工作时受扭。
M 4、钻井中的钻杆工作时受扭。
m
二、扭转的概念 扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
当 = 90°时， 90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的剪应力为最大值；在 45°
方向角 = 45的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
´
论，就可解释前述的破坏现象。
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
,
max

max
T

d 2
Ip

T
Ip
d 2

T Wt
(令W I p
d 2
)
__m_a_x____WT__t _
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： Wt Ip R D3 16 0.2D3
对于空心圆截面：Wt Ip R D3(14) 16 0.2D3(1-4)
G
代入上式得：


G
G
d
dx



G
d
dx
______G___dd_x_
3. 静力学关系： dA

T A dA
O

A
G 2
d
dx
dA

G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
T

GI p
Hale Waihona Puke ddx__dd_x____G_T_I_p_
第三章 扭 转
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 §3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
内容提要
扭矩与扭矩图 等直圆杆扭转时的应力与强度条件 等直圆杆扭转时的变形与刚度条件
A dA r0 T

dα

r0 AdA r0 2 r0 t T



T
2 r02
t

T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。 二、剪切胡克定律
在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。
_______________________________G__
例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力[] = 80MPa，试校核该轴的强度。
mA
mB
mC
A
B
C
解：作轴的扭矩图
mA
A
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量 。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0 0 （2） 0 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布 ,而且方向垂直于其半径方向。
5、切应力的计算公式：

0
2
3
n2
- M m m ( ) 9.56kNm
n2
2
3
()
结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩
同理，在 BC 段内
- M n1 - m2 -4.78KN m ( )
在 AD 段内
m2
1
m3
B1 C
m2
M n1
M n3 m4 6.37KN m (+)
Tm a x 对于等截面圆轴： Wt

[
]
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度：
max

Tm a x Wt

[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt

Tm a x
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（ 3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax Wt[ ]
分析：
sin 2 ; cos2
当 = 0°时， 0 0 , 0 max 当 = 45°时， 45 min , 45 0
当 = – 45时， 45 max , 45 0
m1
3 m4
A3
D
M n3
m4
注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号 相同。
M n1 4.78KN .m
M 9.56KN.m n2
M n3 6.37KN .m
作出扭矩图
从图可见，最大扭矩 在 CA段内。
m2
m3
B
C
m1
m4
A
D
6.37
+
4.78 9.56
M nmax 9.56KN m

71.3MPa
[]
16 16
mA
A
22 +


D
d2
2

2


d
d
O
D
2


32
(D4

d 4)
( Dd )

D4
32
(1


4)

0.1D4(1


4)
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力：
由


T
Ip
知：当


R

d 2
G
G 称为材料的 剪变模量 。其单位是 Pa。
拉(压)，剪切弹性常数之间的关系
G

E
2(1 μ
)
____________________
思考题：指出下面图形的剪应变
剪应变为 2
剪应变为 0
三， 剪应力互等定理
(1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其
方向于 y 轴平行。 y
由平衡方程
y 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。
d a
dy

x
b
z
dx
c
其矩为 ( dy dz) dx
(2) 要满足平衡方程
MZ 0
x 0
y
d a
dy

x
b
z
dx
c
在单元体的上，下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对
内力元素τ dxdz
x
Mn
扭矩符号的规定
右手螺旋法则：当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正， 反之为负。
m
n
m
x
•
n
m
Mn
x
•
m
••
x
Mn
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于
杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示
扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②| M n |max值及其截面位置 面）。