2020-2021九年级数学下期中一模试卷带答案(4)

2020-2021九年级数学下期中一模试卷带答案(4)
一、选择题
1．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 3．若37a b =，则b a a -等于（ ） A ．34 B ．43 C ．73 D ．37
4．对于反比例函数y=1x
，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称
C ．图象位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
5．在△ABC 中，若=0，则∠C 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．105° 6．如图，过反比例函数
的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若
S △AOB =2，则的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3
B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9
C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3
D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9
8．若△ABC∽△A′B′C′且
3
4
AB
A B
=
''
,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）
cm.
A．18B．20 C．15
4
D．
80
3
9．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
10．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（）
A．15m B．203m C．24m D．103m
11．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于
A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
12．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC 的平分线交AD于点E，则AE的长为
A．42
3
B．2C．
82
3
D．2
二、填空题
13．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为________．
14．如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要________个小立方体．
15．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．
16．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D 是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．
17．如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，直线EF BD P ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，若13AEG EBCG S S V 四边形，=则CF AD
= ．
18．如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项,那么:AP AB 的值为________．
19．若关于x 的分式方程
33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____. 20．若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，则k ＝______.
三、解答题
21．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°，在点A 处有一栋居民楼，AO ＝320m ，如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向行驶时．
（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；
（2）如果行驶的速度为72km /h ，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？
22．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BAC=36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F ．
（1）求∠DAF 的度数；
（2）求证：AE 2=EF•ED ；
23．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，Q 是CD 上的点，且∠AQP =90０
， 求证：△ADQ ∽△QCP ．
24．如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ．
（1）求证：AM HG AD BC
=； （2）求这个矩形EFGH 的周长．
25．（1）计算：tan 609tan308sin 602cos 45︒︒︒︒+-+
（2）在ABC V
中，90,C AC BC ︒∠===A ∠的度数
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故A 不符合题意;锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B 、D 不符合题意；矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A 符合题意；故选C ．
【点睛】
本题主要考查了相似图形判定，解决本题的关键是要注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.
【详解】
∵∠1＝∠2，∠C ＝∠C ，∴△ACE ∽△ECD ，∵∠2＝∠3,∴DE ∥AB ，
∴△BCA ∽△ECD ，∵△ACE ∽△ECD ，△BCA ∽△ECD ，∴△ACE ∽△BCA ，
∵DE ∥AB ，∴∠AED ＝∠BAE ，∵∠1＝∠2，∴△AED ∽△BAE ，∴共有4对，故此选D 选项.
【点睛】
本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.
3．B
解析：B
【解析】
由比例的基本性质可知a=37b ，因此b a a -=347337
b b b -=.
4．D
解析：D 【解析】
A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1
x
的图象上，故本选项错
误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】
由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命
D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；
故选B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．
8．B
解析：B
【解析】
∵△ABC∽△A′B′C′，∴
3
4 ABC AB
A B C A B
''
=
''
=
'
V
V
的周长
的周长
，
∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选B．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
=，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：Rt △ABC 中，BC ＝12cm ，tanA ＝1：3；
∴AC ＝BC÷
tanA ＝123cm ， ∴AB ＝2212(123)+＝24cm ．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．
11．C 解析：C
【解析】
【分析】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案． 【详解】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，
则BP PQ QC a ===；
∵AM CM =，AF ∥BC ，
∴1AF AM BC CM
==， ∴3AF BC a ==，
∵AF ∥BP ，
∴133
BD BP a DF AF a ===， ∴34
DF BF BD =
=， ∵AF ∥BQ ， ∴2233
BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =
，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ，
∴313BM BC a MF AF a
===， ∴BM MF =，即2BF BM =
， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=
-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010
BF BF BF BD DE EM =
=：：． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得，在Rt △ABD 中，
由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC ，
∵AC=8，
∴，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ︒=3， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴=3
，
∴AE=AD-DE== 故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
二、填空题
13．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4
解析：
【解析】
已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠
C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CD
BC AC
=，即可得
AC2=CD•BC=4×8=32，解得.
14．8【解析】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个由主视图可知第二层最少有2个第三层最少有1个所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何
解析：8
【解析】
由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个，由主视图可知第二层最少有2个，第三层最少有1个，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个．
点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．
15．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯
解析：7
【解析】
【分析】
首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.
【详解】
根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，
∴527
+=，
∴最多是7个，
故答案为：7.
【点睛】
本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.
16．【解析】【分析】如图连接AEADOEOD作AJ⊥BC于JOK⊥DE于K首先证明∠E OD＝2∠C＝定值推出⊙O的半径最小时DE的值最小推出当AB是直径时DE的值最
小【详解】如图连接AEADOEOD 作A 解析：5
【解析】
【分析】
如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．首先证明∠EOD ＝2∠C ＝定值，推出⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，推出当AB 是直径时，DE 的值最小．
【详解】
如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．
∵BE ∥AC ，
∴∠EBC+∠C ＝180°，
∵∠EBC+∠EAD ＝180°，
∴∠EAD ＝∠C ，
∵∠EOD ＝2∠EAD ，
∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，
∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，
∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，
∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，
∴BJ ＝CJ ＝4，
∴AJ 22A C CJ -2264-5
∵OK ⊥DE ，
∴EK ＝DK ，
∵AB ＝6，
∴OE ＝OD ＝3，
∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ， ∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256
， ∴3EK 25， ∴EK 5
∴DE ＝5
∴DE 的最小值为5
故答案为
【点睛】
本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．【解析】【分析】先证△AEG∽△ABC△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC∠AGE=∠ACB∴△AEG∽△ABC且S△AEG=S四边形EB
解析：1 2
【解析】
【分析】
先证△AEG∽△ABC，△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解.【详解】
解：∵EF∥BD
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=1
3
S四边形EBCG
∴S△AEG：S△ABC=1：4，
∴AG：AC=1：2，
又EF∥BD
∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，∴△AGF∽△ACD，且相似比为1：2，∴S△AFG：S△ACD=1：4，
∴S△AFG
1
=
3
S四边形FDCG
S△AFG
1
=
4
S△ADC
∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2
∵∠ACD=90°
∴AF=CF=DF
∴CF：AD=1：2．
18．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P是线段AB的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P是线段AB的黄
【解析】
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比是
12
解答即可. 【详解】 ∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，
∴:AP AB ，
故填12
. 【点睛】
此题考察黄金分割，AP 是AB 与PB 的比例中项即点P 是线段AB 的黄金分割点，即可得
到:AP AB =12
. 19．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m 的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按
解析：3
【解析】
【分析】
把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．
【详解】
去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．
【点睛】
考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k 的值即可【详解】解：若函数y ＝(k －2)是反比例函数则解得k ＝﹣2故答案为﹣2 解析：-2
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩
，解出k 的值即可． 【详解】
解：若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，
则
2
k-5=-1 k-20⎧
⎨
≠⎩
解得k＝﹣2，
故答案为﹣2．
三、解答题
21．（1）居民楼会受到噪音的影响；（2）影响时间应是12秒．【解析】
【分析】
（1）作AC⊥ON于C，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝1
2
AO＝160，则点
A到MN的距离小200，从而可判断学校会受到影响；
（2）以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、D，如图，则AB＝AD＝200，利用等腰三角形的性质得BC＝CD，接下来利用勾股定理计算出BC＝120，所以BD＝2BC＝240，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．
【详解】
（1）如图：过点A作AC⊥ON，
∵∠QON＝30°，OA＝320米，
∴AC＝160米，
∵AC＜200，
∴居民楼会受到噪音的影响；
（2）以A为圆心，200m为半径作⊙A，交MN于B、D两点，
即当火车到B点时直到驶离D点，对居民楼产生噪音影响，
∵AB＝200米，AC＝160米，
∴由勾股定理得：BC＝120米，由垂径定理得BD＝2BC＝240米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：240÷20＝12秒．
【点睛】
此题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（1）36°；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出
∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可.【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=1
2
×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
×72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE ED EF AE
，
∴AE2=EF×ED.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．证明见解析
【解析】
试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.
试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，
∵∠AQP=90°,
∴∠AQP+∠PQC=90°,
又∵∠PQC+∠QPC=90°,
∴∠AQP=∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.
24．（1）证明见解析；（2）72cm．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可得出结论；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE 的长度，以及矩形的周长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形，
∴EF ∥GH ，
∴∠AHG =∠ABC ，
又∵∠HAG =∠BAC ，
∴△AHG ∽△ABC ， ∴AM HG AD BC
=； （2）解：由（1）
AM HG AD BC =得：设HE =xcm ，则MD =HE =xcm ． ∵AD =30cm ，
∴AM =（30﹣x ）cm ．
∵HG =2HE ，
∴HG =（2x ）cm ， 可得：
303040
x x -=， 解得：x =12，
故HG =2x =24， 所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）=72（cm ）．
答：矩形EFGH 的周长为72cm ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG ∽△ABC 是解决问题的关键．
25．（1；（2）∠A ＝60°
【解析】
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）由锐角三角函数定义求出∠A 度数即可．
【详解】
（12
⨯
（2）∵90,C AC BC ︒∠==
=
∴tanA ＝
BC AC ==， ∴∠A ＝60°
【点睛】
此题考查了实数的运算以及解直角三角形，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。