2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷(解析版)

2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷
一．填空题（每题5分，共70分）
1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B=．
2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．
3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是．4．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为．
6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2
﹣=1的渐近线的距离为．
8．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a2b﹣．（填“＞”、“＜”或“=”）9．△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是．10．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去
一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M是线段A1F 上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是．
12．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．
13．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．
14．若实数x，y满足x﹣4=2，则x的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；
（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．
16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．
17．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．
（1）求大学M在站A的距离AM；
（2）求铁路AB段的长AB．
18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；
（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．
（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n的最小值．
20．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），
（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；
（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2
①求b的取值范围；
②求证：＞1．
[选做题]（选修4-2：矩阵与变换）
21．已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=
对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ﹣）=2．
（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．
【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.
23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
24．已知（x+2）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．
（1）求a0及S n=a i；
（2）试比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，并说明理由．
2017年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（每题5分，共70分）
1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A={x|﹣2≤x≤2}，
由B中不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，
则A∩B={x|1≤x≤2}，
故答案为：{x|1≤x≤2}
2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．
【解答】解：=．
∵复数是纯虚数
∴，解得：a=4．
故答案为：4．
3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．
【考点】特称命题．
【分析】根据特称命题的等价条件，建立不等式关系即可．
【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，
则判别式△=4﹣4a≥0，
即a≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
4．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】列举出所有情况，让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，
共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况，
能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况，
所以P（任取三条，能构成三角形）==．
故答案为：
5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为30．
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数．
【解答】解：根据题意，
在区间[4，5]的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3，
而总数为100，因此频数为30．
故答案为30．
6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为﹣4．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2﹣2x+2=26，即可解得x的值．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，
当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2﹣2x+2=26，
解得：x=﹣4或x=6（舍去）
故答案为：﹣4
7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．
【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），
双曲线的渐近线方程为y=±3x，
则F到双曲线的渐近线的距离为
d==．
故答案为：．
8．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a＜2b﹣．（填“＞”、“＜”或“=”）【考点】不等式比较大小．
【分析】作差即可得出大小关系．
【解答】解：∵a≠b，a＜0，
∴a﹣（2b﹣）=＜0，
∴a＜2b﹣．
故答案为：＜．
9．△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是（﹣2，6）．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求则
的取值范围．
【解答】解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，
点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），
则=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m）．
又∵点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，
则═（1，4m）•（﹣3，4m）=16m2﹣3，∴﹣2＜16m2﹣3＜6，
故答案为：（﹣2，6）．
10．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，
整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．
又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；
②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．
又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．
综上所述，q=．
故答案为：{， }．
11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M是线段A1F 上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是1．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD
上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值．
【解答】解：由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值，如图所示，O为所求，则由射影定理，可得，DO=，sin∠ADO=cos ∠CDO=，
∴CO==1，
∴△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是（1+）=+，
故答案为： +．
12．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．
【分析】本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，
∴△=0，
∴a2+4b=0，
∴b=．
∵关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），
∴方程f（x）=c﹣1的两根分别为：m﹣4，m+1，
即方程：﹣x2+ax=c﹣1两根分别为：m﹣4，m+1，
∵方程：﹣x2+ax=c﹣1根为：
，
∴两根之差为：2=（m+1）﹣（m﹣4），
c=﹣．
故答案为：．
13．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是{2} ．
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．
【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．
当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，
于是，，解得k≥2．
另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．
令=，
则．
由于1≤x≤2e，
所以，
于是函数x﹣lnx为增函数，
从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，
所以m′（x）≥0，
则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．
所以k﹣1≤[m（x）]min=m（1）=1，
即k≤2．
综上，k=2．
故答案为：{2}．
14．若实数x，y满足x﹣4=2，则x的取值范围是[4，20]∪{0} ．【考点】基本不等式；函数的零点与方程根的关系．
【分析】本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变量x的取值范围．
【解答】解：方法一：【几何法】
当x=0时，解得y=0，符合题意，当x＞0时，解答如下：
令t=∈[0，]，原方程可化为：﹣2t+=，
记函数f（t）=﹣2t+，g（t）=，t∈[0，]，
这两个函数都是关于t的函数，其中x为参数，
f（t）的图象为直线，且斜率为定值﹣2，
g（t）的图象为四分之一圆，半径为为，
问题等价为，在第一象限f（t），g（t）两图象有公共点，
①当直线与圆相切时，由d=r解得x=20，
②当直线过的点A（0，）在圆上的点（0，）处时，
即=，解得x=4，
因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，
综合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．
方法二：【代数法】
令t=∈[0，]，原方程可化为：x﹣4t=2，
因为x﹣y=x﹣t2≥0，所以x≥t2≥0，
两边平方并整理得，20t2﹣8xt+x2﹣4x=0（*），
这是一个关于t的一元二次方程，则方程（*）有两个正根（含相等），
，解得，x∈[4，20]∪{0}．
特别地，当x=0时，y=0，符合题意．
故答案为：[4，20]∪{0}．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；
（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差
公式即可得出．
【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．
∴tan（θ+）===﹣；
（2）∵+=，
∴=（1+cosθ，sinθ）．
=，
∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，
解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．
∴cos（﹣θ）==+=．
16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．
（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．【解答】证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，
所以DO⊥面ABC．
又AE⊥面ABC，则AE∥DO．
又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．
又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．
17．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．
（1）求大学M在站A的距离AM；
（2）求铁路AB段的长AB．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；
（2）由cos，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，
由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2×
×15×=72．
所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km…6分
（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，
在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin ∠MAO=，
∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，
∵tanα=2，∴sin，cosα=，
∴sin∠ABO=sin（）=，
又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．
在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km…12分
18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；
（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得=b，解得b．又离心率e==，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．
（2）把x=代入椭圆方程可得：，可得⊙D的方程为：
=即可得出．．令x=0，解得y，可得|AB|，利用S
△ABD
（3）由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，联立解得E．设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．解得P．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．可得F．即可证明2m﹣k为定值．【解答】（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，
∴=b，化为b=1．
∵离心率e==，b2=a2﹣c2=1，联立解得a=2，c=．
∴椭圆C的方程为=1；
（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．
∴⊙D的方程为：．
令x=0，解得y=±，
∴|AB|=，
===．
∴S
△ABD
（3）证明：由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），
∴直线A1B2的方程为，
由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，
由，解得．
设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1﹣2）=．
∴．
设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．
即=，∴x2=，∴F．
∴EF的斜率m==．
∴2m﹣k=﹣k=为定值．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．
（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n的最小值．
【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．
【分析】（1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；
（2）求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式＞2010的n的最小值．
【解答】（1）证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．
∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n﹣1=S n﹣1+n﹣1，n≥2，
两式相减得a n=2a n﹣1+1，n≥2，即a n+1=2（a n﹣1+1），n≥2，
∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1，n∈N*；
（2）解：b n=（2n+1）a n+2n+1=（2n+1）•2n，
∴T n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n，
∴2T n=3•22+5•23+…+（2n+1）•2n+1，
两式相减可得﹣T n=3•2+2•22+2•23+…+2•2n﹣（2n+1）•2n+1，
∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2
∴＞2010可化为2n+1＞2010
∵210=1024，211=2048
∴满足不等式＞2010的n的最小值为10．
20．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），
（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；
（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2
①求b的取值范围；
②求证：＞1．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（﹣1）﹣2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；
（2）①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，
②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明．
【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），
所以，所以a=﹣2．
由f′（1）=g（﹣1）﹣2，
得a+1=b﹣2，
所以b=1．
所以h（x）=﹣x2+lnx+x，（x＞0）．
则，（x＞0），
由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．
所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．
（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．
所以h，（x＞0），
当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．
当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．
=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．
所以h（x）
极大=h（）
且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．
所以当时，h（x）有两个零点．
②证明：由题意得，即，
①×②得．
因为x1，x2＞0，
所以﹣b（x1+x2）＞0，
所以，
因为0＜﹣b＜，
所以e﹣b＞1，
所以x1x2＞＞＞e2，
所以＞1．
[选做题]（选修4-2：矩阵与变换）
21．已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=
对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】利用矩阵的乘法，求出MN，（NM）﹣1，利用变换得到的点的坐标为（8，4），即可求实数a，b的值．
【解答】解：依题意，NM==，…
由逆矩阵公式得，（NM）﹣1=，…
所以=，即有a=5，b=﹣．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ﹣）=2．
（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；
（2）设P（cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可．
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=2，
整理得：ρ（sinθcos﹣cosθsin）=ρsinθ﹣ρcosθ=2，
即ρsinθ﹣ρcosθ=4，
则直角坐标系中的方程为y﹣x=4，即x﹣y+4=0；
（2）设P（cosα，3sinα），
∴点P到直线l的距离d==≥=2﹣，
则P到直线l的距离的最小值为2﹣．
【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.
23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）数对（x，y）共有16种，利用列举法求出使为整数的种数，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）随机变量ξ的所有取值为﹣1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），
所以；
（2）随机变量ξ的所有取值为﹣1，0，1，
ξ=﹣1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故，
ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故，
∴P（ξ=0）=1﹣=，
∴ξ的分布列为：
ξ﹣101
P
ξ的数学期望为．
24．已知（x+2）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．
（1）求a0及S n=a i；
（2）试比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，并说明理由．
【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．
【分析】（1）令x=1，则，再令x=2，则，可得S n=a i 的值．
（2）要比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n﹣1）3n+2n2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．猜测当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论．
【解答】解：（1）令x=1，则，令x=2，则，所以S n=a i =4n﹣
3n．
（2）要比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n﹣1）3n+2n2的大小．当n=1时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，
当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，当n=4或5时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．
猜想：当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．
②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时结论成立，即4k＞（k﹣1）3k+2k2，
两边同乘以4，得4k+1＞4[（k﹣1）3k+2k2]=k3k+1+2（k+1）2+[（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2]，
而（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2=（k﹣4）3k+6（k2﹣k﹣2）+2k+10=（k﹣4）3k+6（k﹣2）（k+1）+2k+10＞0，
所以4k+1＞[（k+1）﹣1]3k+1+2（k+1）2，
即n=k+1时结论也成立．
由①②可知，当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2成立．
综上所述，当n=1时，；当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，S n＜（n﹣2）3n+2n2；
当n≥4时，．
2017年3月9日。