邵阳县石齐学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题及答案

命题：荆继进 时量：120分钟 总分：150分
必做基础题
一．选择题（35分） 1． 25
sin 6
π= ( )
Ａ．
12
Ｃ．12-
Ｄ．2．时钟的时针和分针一天24小时内重合（ ）次
A. 21
B.22
C.23
D.24
3．如果sin α－2cos α
3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为 ( )
A ．－2
B ．2 C.2316 D ．－23
16
4．函数cos(2)4
y x π
=+的图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．2
π
-
=x B. 4
π
-
=x C. 8
π
-
=x D. π=x
5．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( ) A.29 B.23 C.1
3
D.1
9
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
t 的值为( ) A ．3 B ．3.15 C ．3.5 D ．4.5
7.函数)4
2sin(log 2
1π
+
=x y 的单调减区间为
（ ） A ．)(],4
(Z k k k ∈-
ππ
π
B ．)(]8
,8
(Z k k k ∈+
-
π
ππ
π C ．)(]
8
,83(Z k k k ∈+-π
πππ D ．)(]8
3
,8(Z k k k ∈++
πππ
π
二．填空题（30分）
9．将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100
的样本，则应从C 中抽取________个个体．
10．1tan 、2tan 、3tan 的大小顺序是 11．已知sin(
4π+α)=2
3，则sin(43π-α)值为 。

12．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，
则ω的最小值是 __________ 13、已知直线 (0<<
)2
x a a π
=与函数x x f sin )(=和函数x x f cos )(=的图象分别交于
1122(,),(,)M x y N x y 两点，若7
13
MN =
，则12y y += _____ 14. 如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图像关于点)0,3
4(π
中心对称， 那么||ϕ的最小值为________ 三．解答题12+12+12=36分） 16.（12分）已知
α是第三象限的角，且
f (α)＝
π－α
π－α
－α＋32
π
－α－π
－α－π
，
(1)化简f (α)；
(2)若cos(α－32π)＝1
5，求f (α)；
(3)若α＝－31
3
π，求f (α)．
17.（12分）
(1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率． 18．（12分）已知在△ABC 中， sinA ＋cosA ＝
5
1
. （1）求sinAcosA 的值；
（2）判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求tanA 的值。

必做梯度题
一．选择和填空题（10分）
8．函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)(|φ|＜
2
π
，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为：
A. y=－4sin(8
4
x π
π
-
) B. y=－4sin(
8
4
x π
π
+
)
C. y=4sin(
8
4
x π
π
-
) D. y=4sin(
8
4
x π
π
+
)
15．给出如下五个结论:
①不存在α∈(0,),使sin α+cos α=;②存在区间(a,b),使y=cosx 为减函数而sinx<0; ③y=tanx 在其定义域内为增函数;④函数y=lgx-sinx 只有一个零点;⑤y=sin|2x+|的最小正周期为π.其中正确结论为
二．解答题（13+13+13=39分） 19.（13分）已知x ∈[－π3，2π
3]，
(1)求函数y ＝cos x 的值域；
(2)求函数y ＝－3sin 2
x －4cos x ＋4的值域．
20.（13分） 如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？． 21．(13分)
已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6
g x k x π
=-
，（0k ≠）
（1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；
（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围？
一．选择题：
二．填空题：
9．20 10.tan1>tan3>tan2 11.
23
12。

372π 13. 1713 14. 6π 15.○1
17. 解： (1)∵x
2000
＝0.19，∴x ＝380.（2分）
(2)高三年级学生人数为y ＋z ＝2000－(373＋377＋370＋380)＝500. 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为48
2000
×500＝12(名)．（6分）
(3)设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生，男生数记为(y ，z )．
由(2)知y ＋z ＝500，且y ， z ∈N ，基本事件有：(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个．
事件A 包含的事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)共5个． ∴P (A )＝5
11.（12分）
18．(1)因为sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225
.（4分）
(2)由(1)sinAcosA ＝－12
25
<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．（8分）
(3)(sinA －cosA)2
＝1－2sinAcosA ＝1＋
2425＝4925
. 又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0，所以si nA －cosA ＝
7
5
②， 所以由①，②可得sinA
＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝4
535
-＝－4
3.（12分）
20. 解：(1)由图象知A ＝
－12
－－32
2
＝1
2， k ＝－12＋－3
22
＝－1， T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2π
T ＝2.
∴y ＝1
2sin(2x ＋φ)－1.
当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6
.
∴所求函数解析式为y ＝12sin(2x ＋π
6)－1.（7分）
(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin(x ＋π
6
)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩
短为原来的12，得到y ＝sin(2x ＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝
1
2sin(2x ＋π6)，最后把函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin(2x ＋π
6)
－1的图象．（13分）
21（1） 22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为2
2sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解,
换sin t x = 则2
221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：
①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12
a =
②当1t =-时，x 有惟一解32
x π=
③当1t =时，x 有惟一解2
x π
=
故 (1,5)a ∈或1
2
a =
……………………6分 （2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1
[,10]8
-。