初中数学知识大全

一、数与式
（一）有理数
1.有理数的分类
o整数：正整数、0、负整数。

o分数：正分数、负分数。

1.数轴
o定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

o数轴上的点与有理数一一对应。

1.相反数
o只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是 0。

o互为相反数的两个数和为 0。

1.绝对值
o定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。

o正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。

1.有理数的运算
o加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为 0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数。

o减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

o乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。

o除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（0 不能做除数）。

o运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

（二）实数
1.无理数
o无限不循环小数叫做无理数，如，等。

1.实数的分类
o实数包括有理数和无理数。

1.实数的运算
o实数和有理数的运算法则相同，运算律也相同。

o实数的开方运算：如果（），那么叫做的平方根，记作；如果，那么叫做的立方根，记作。

（三）代数式
1.代数式的定义
o用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

1.代数式的值
o用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

（四）整式
1.整式的概念
o单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

o多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数。

1.整式的运算
o整式的加法和减法：实质是合并同类项，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

o整式的乘法
⏹单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式
里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⏹单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⏹多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再
把所得的积相加。

o整式的除法
⏹单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⏹多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
相加。

（五）分式
1.分式的概念
o一般地，如果 A、B（B≠0）表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。

1.分式的基本性质
o分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

1.分式的运算
o分式的乘法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

o分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

o分式的加减法
⏹同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

⏹异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

（六）二次根式
1.二次根式的概念
o形如（）的式子叫做二次根式。

1.二次根式的性质
o（）。

o。

1.二次根式的运算
o二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。

o二次根式的乘法：（）。

o二次根式的除法：（）。

二、方程与不等式
（一）一元一次方程
1.方程的定义
o含有未知数的等式叫做方程。

1.一元一次方程的定义
o只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，一般形式为（）。

1.一元一次方程的解法
o移项、合并同类项、系数化为 1。

（二）二元一次方程组
1.二元一次方程的定义
o含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。

1.二元一次方程组的定义
o由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

1.二元一次方程组的解法
o代入消元法、加减消元法。

（三）一元二次方程
1.一元二次方程的定义
o只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为（）。

1.一元二次方程的解法
o直接开平方法：对于形如（）的方程，。

o配方法：将方程通过配方转化为（）的形式，然后求解。

o公式法：对于一元二次方程（），其解为（）。

o因式分解法：将方程化为两个一次因式的积等于 0 的形式，然后使每个因式等于 0 求解。

1.一元二次方程根的判别式
o对于一元二次方程（），。

⏹当时，方程有两个不相等的实数根。

⏹当时，方程有两个相等的实数根。

⏹当时，方程没有实数根。

（四）不等式与不等式组
1.不等式的定义
o用不等号（大于 >、小于 <、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。

1.不等式的基本性质
o性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

o性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

o性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

1.一元一次不等式的定义
o含有一个未知数，未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式，一般形式为或（）。

1.一元一次不等式的解法
o与解一元一次方程类似，通过移项、合并同类项、系数化为 1 求解，但要注意不等号的方向。

1.一元一次不等式组的定义
o几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

1.一元一次不等式组的解集
o几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

o求解方法：可以通过数轴来确定不等式组的解集。

三、函数
（一）平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的定义
o在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

o水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。

1.点的坐标
o平面内的点可以用一对有序实数来表示，有序实数对（x，y）叫做点的坐标，其中x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标。

（二）函数的概念
1.函数的定义
o一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。

1.函数的表示方法
o解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系的方法。

o图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系的方法。

o列表法：列出表格来表示两个变量之间的函数关系的方法。

（三）一次函数
1.一次函数的定义
o一般地，形如 y = kx + b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

当 b = 0 时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。

1.一次函数的图象和性质
o一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象是一条直线。

⏹当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；直线从左到右上升。

⏹当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小；直线从左到右下降。

1.用待定系数法求一次函数解析式
o根据已知条件，设出函数解析式，再根据条件列出关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值，从而确定函数解析式。

（四）反比例函数
1.反比例函数的定义
o一般地，形如（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。

1.反比例函数的图象和性质
o反比例函数的图象是双曲线。

⏹当 k>0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增
大而减小。

⏹当 k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增
大而增大。

（五）二次函数
1.二次函数的定义
o一般地，形如（a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

1.二次函数的图象和性质
o二次函数（a≠0）的图象是一条抛物线。

⏹当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。

⏹对称轴为直线，顶点坐标为。

1.二次函数的解析式
o一般式：（a≠0）。

o顶点式：（a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

o交点式：（a≠0），其中，是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

四、图形的认识
（一）点、线、面、体
1.点动成线，线动成面，面动成体。

2.直线、射线、线段
o直线没有端点，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；
线段有两个端点，不可以延伸。

o两点确定一条直线；两点之间线段最短。

（二）角
1.角的定义
o有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

1.角的度量
o 1 度 = 60 分，1 分 = 60 秒。

1.角的分类
o锐角（小于 90°）、直角（等于 90°）、钝角（大于 90°小于 180°）、平角（等于180°）、周角（等于 360°）。

1.角的运算
o角的和、差、倍、分的运算。

o余角和补角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角。

（三）相交线与平行线
1.相交线
o对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

对顶角相等。

o邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。

o垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

o垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

1.平行线
o定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

o平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

o平行线的判定
⏹同位角相等，两直线平行。

⏹内错角相等，两直线平行。

⏹同旁内角互补，两直线平行。

o平行线的性质
⏹两直线平行，同位角相等。

⏹两直线平行，内错角相等。

⏹两直线平行，同旁内角互补。