河南省南阳市高二数学上学期第二次月考试题(2021学年)

河南省南阳市2０17-２01８学年高二数学上学期第二次月考试题
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河南省南阳市２017—2０1８学年高二数学上学期第二次月考试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,36927a a a ++=,则前9项和9S 的值为( ） A.6６ B.99 Ｃ.14４ D ．２97
2.在ABC ∆中，若3a =，1cos 2
A =-,则ABC ∆的外接圆半径是( ）
A ．12
B.
2
C. D 3.不等式()()120x x --≥的解集为（ )
Ａ.{}12x x ≤≤ B.{1x x ≤或}2x ≥ Ｃ.{}12x x << D ．{1x x <或}2x >
4．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+,1315a a a ++
+=（ )
A ．1２4 Ｂ.1２0 C.128 D ．１2１ 5．在ABC ∆中,若2cos sin sin
B A
C =,则ABC ∆的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B ．直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
6．设,a b 是非零实数，若a b >,则一定有( ） A.11a
b
< B.2a ab > C.22
11ab a b > D ．11a b a b
->-
7.在ABC ∆中，2a =,b =4
A π
=，则角B =( ）
Ａ．
6π Ｂ.6π或56π C ．3π D ．56
π
８．设数列{}n a 满足()21*1232222
n n n
a a a a n -++++=∈N ,通项公式是( )
A.12n a n = B ．112n n a -= C ．12n n a = D.11
2
n n a +=
9.若221x y +=,则x y +的取值范围是( )
A.[]0,2
B.[]2,0- Ｃ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 10．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若3
A π
=，()1cos cos b C c A -=，2b =,
则ABC ∆的面积为( ）
．１1．ABC ∆的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sin sin C
q A
+的取值范围为( )
A ．()0,+∞ Ｂ.(1,2+ Ｃ.()1,+∞ D ．
)
1
12.数列{}n a 的通项公式为123n a n =-,12n n n n b a a a ++=⋅⋅,n S 是数列{}n b 的前n 项和，则n S 的最大值为（ )
A ．2８0 B.３08 C.310 D ．32０
第Ⅱ卷（共９0分）
二、填空题(每题5分,满分2０分，将答案填在答题纸上)
1３．在ABC ∆中，三边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、,若2220a b c +-=，则角C 的大小为 .
１４.在数列{}n a 中，其前n 项和32n n S k =⋅+，若数列{}n a 是等比数列，则常数k 的值为 ．
1５．已知0x >,0y >，14
1x y
+=,不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围
是 .（答案写成集合或区间格式）
16．已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =,记数列{}n a 的前n 项和为n T ,若对任意的
*n ∈N ,3362n T k n ⎛
⎫+≥- ⎪⎝
⎭恒成立,则实数k 的取值范围 .（答案写成集合或区间格
式）
三、解答题 （本大题共６小题，共７0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
１7.已知()211f x x a x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭．
（1)当1
2
a =
时,解不等式()0f x ≤; (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.
18．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且1cos 2
a C c
b +=. (1)求角A 的大小；
(２）若1a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围.
19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形的休闲区1111A B C D (阴影部分）和环公园人行道组成。

已知休闲区1111A B C D 的面积为4000平方米，人行道
的宽分别为４米和10米。

(1)若设休闲区的长11A B x =米,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数()S x 的解析式; (2)要使公园所占面积最小，休闲区1111A B C D 的长和宽该如何设计？
20.已知数列{}n a 中,12a =，
11
322
n n
n n a a ++=+。

(１)求数列{}n a 的通项公式; (２)求数列{}n a 的前n 项和．
21.(１）在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，求
cos AC
A
的值及AC 的取值范围; （2）在ABC ∆中，已知2221cos cos cos A B C +=+,试判断ABC ∆的形状．
22.设正项数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足2
2n n n S a a =+。

(1）求数列{}n a 的通项公式； (2）若数列12
21
n n n n n a a b a a ++++=
+
,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:122n T n <+．
南阳一中2017秋高二第二次月考数学答案
一、选择题
１—５：BDADC ６—10：CA ＣＤD 11、12：BC 二、填空题 1３.
34
π
(或135°） 14．3- 15.()1,9- 1６．2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
三、解答题 17．解：（1）当12a =
时,有不等式()25
102
f x x x =-+≤， ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为122x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
（２）∵不等式()()10f x x x a a ⎛
⎫=--≤ ⎪⎝
⎭
当
1a a >时,有01a <<,∴不等式的解集为1x a x a ⎧
⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
; 当1a a <时，有1a >,∴不等式的解集为1x x a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭; 当
1
a a
=时，有1a =,∴不等式的解集为{}1． １8．解:(1)∵1
cos 2
a C c
b +=，
由正弦定理得1
2sin cos 2sin 2sin 2
R A C R C R B +=,
即1sin cos sin sin 2
A C C
B +=，
又∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+, ∴1sin cos sin 2
C A C =, ∵sin 0C ≠, ∴1cos 2
A =
, 又∵0A π<<, ∴3
A π
=。

（2）由正弦定理得：sin
sin a B b A ==c =
∴1a b c =++
)1sin sin
B C =+ ())1sin sin
B A B =++
112cos 2B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭
12sin 6B π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
∵3A π
=
,∴20,3B π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，∴5,666
B πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
, ∴1sin ,162B π⎛
⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦.
故ABC ∆的周长L 的取值范围为(]2,3. 19.解:(1）由11A B x =，知114000
B C x
=
()4000208S x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()8000
416080x x x
=++
>
(2)8000041608S x x =++
≥41605760+= 当且仅当80000
8x x
=
即100x =时取等号 ∴要使公园所占面积最小,休闲区1111A B C D 的长为100米,宽为40米。

２０．解：(1)2n n n a b =
，则1
1
1
2n n n a b +++=,由题13n n b b +=+ 则13n n b b +-= ∴2n n a ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是公差为3,首项为1的等差数列, ∴
()131322
n
n a n n =+-=- ∴()322n n a n =-⋅ （2）设23124272n S =⋅+⋅+⋅++()()1352322n n n n --⋅+-⋅
则2342124272n S =⋅+⋅+⋅++()()1352322n n n n +-⋅+-⋅
相减得()()23123222322n n n S n +-=++++--⋅
()()2112212332221
n n n -+-=+⋅
--⋅-
()()112324322n n n ++=+---⋅
()110532n n +=-+-⋅
∴()110352n n S n +=+-⋅.
2１．解:（1)设2A B θθ∠=⇒=,由正弦定理得sin 2sin AC BC
θθ
=，
∴
122cos cos AC AC
θθ
=⇒=。

由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<︒,
又01803903060θθ︒<︒-<︒⇒︒<<︒
，故3045cos 2θθ︒<<︒⇒<<
∴2cos AC θ=∈。

（2）由题,2222sin 2sin sin A B C -=--,∴222sin sin sin A B C =+ 由正弦定理得222a b c =+，∴ABC ∆为直角三角形.
22．解：(1)由题意可得22n n n S a a =+，2
1112n n n S a a ---=+,两式相减得,
22112n n n n n a a a a a --=-++，所以22
110n n n n a a a a -----=，
即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列,所以11n n a a -+=, 即数列{}n a 为等差数列,又1n =时，2112a a a =+,所以11a =,11n a a n n =+-=。

（2）由(1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为12121n n n b n n ++=+=-++1111
122112
n n n n ++=+-++++， 所以()12222n n T b b b =+++=+++11111
1233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
所以12n n T b b b =++
+=11122222
n n n +
-<++。

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