2016-2017年山东省滨州市惠民一中高一(下)第三次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年山东省滨州市惠民一中高一（下）第三次月考数
学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2B．3C．9D．﹣9
2．（5分）若A（﹣4，2），B（6，﹣4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号依次为（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
3．（5分）如果直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于（）A．1B．C．D．﹣2
4．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（）
A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜1}
D．{x|﹣1＜x＜2}
5．（5分）下列命题中，错误的是（）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线
D．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
6．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α7．（5分）圆（x+2）2+y2＝1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16的位置关系为（）A．相交B．相离C．外切D．内切
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
10．（5分）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
11．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，P A、AB、BC两两垂直，且AB＝，BC＝，则二面角B﹣AP﹣C的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝2，S5＝15，若b n＝，则数
列{b n}的前10项和为（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）如图，一艘船下午13：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，14：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9海里，则此船的航速为海里/小时．
14．（5分）ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF 与AC所成角的大小为．
15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．
16．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，SA＝SB＝，AB＝2，平面SAB⊥平面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是．
三、解答题（共7小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，1）．
（1）求BC边所在的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若2a sin B＝b，A为锐角，求A的值；
（2）若b＝5，c＝，cos C＝，求a的值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，P A⊥平面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：OM∥平面P AB；
（2）求证：平面PBD⊥平面P AC．
20．（12分）在公差不为零的等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．
21．（12分）如图所示，要围建一个面积为400m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地的总费用为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）试确定x的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．
22．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）如果P A＝2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．
23．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2．
（Ⅰ）求直线AM与平面BCD所成角的大小；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BMD的体积；
（Ⅲ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．（理科生必做，文科生选做）
2016-2017学年山东省滨州市惠民一中高一（下）第三次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2B．3C．9D．﹣9
【解答】解：∵三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，
∴k AC＝k AB，即，解得b＝﹣9．
故选：D．
2．（5分）若A（﹣4，2），B（6，﹣4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号依次为（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解答】解：＝（6+4，﹣4﹣2）＝（10，﹣6）；＝（12+4，6﹣2）＝（16，4）；
＝（2﹣12，12﹣6）＝（﹣10，6）；＝（2﹣6，12+4）＝（﹣4，16）
则：10×6﹣（﹣10）×（﹣6）＝0，所以AB∥CD，①正确；
10×（﹣10）+6×（﹣6）＝﹣136≠0，故②AB⊥CD错误；
16×16﹣（﹣4）×4＝256+16＝272≠0，故③AC∥BD错误；
16×（﹣4）+16×4＝0，故AC⊥BD，
所以④正确，
故选：B．
3．（5分）如果直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于（）A．1B．C．D．﹣2
【解答】解：∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，∴斜率之积等于﹣1，
∴＝﹣1，a＝﹣2，
故选：D．
4．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（）
A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜1}
D．{x|﹣1＜x＜2}
【解答】解：不等式﹣x2﹣x+2＞0可化为x2+x﹣2＜0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜1；
所以不等式的解集是（﹣2，1）．
故选：C．
5．（5分）下列命题中，错误的是（）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线
D．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
【解答】解：A选项，一条直线与两个平行平面中的一个相交，必与另一个平面相交，所以正确；
B选项，平行平面具有传递性，故命题正确；
C选项，直线l不平行平面α，若l在平面内，则会有无数条直线与l平行，故为假命题；D选项，可用反证法的思想，若平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判定可得，平面α一定垂直平面β，故命题正确．
故选：C．
6．（5分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α
【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；
B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；
C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；
D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；
故选：B．
7．（5分）圆（x+2）2+y2＝1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16的位置关系为（）A．相交B．相离C．外切D．内切
【解答】解：这两个圆（x+2）2+y2＝1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16的圆心分别为（﹣2，
0）、（2，1）；
半径分别为1、4．
圆心距为＝，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，故选：A．
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系
不妨设AB＝2，则D（0，0，0），A（2，0，0），M（2，2，1），N（0，1，0），D′（0，0，2）．
＝（0，2，1），＝（0，﹣1，2）．
∴cos＝＝0．
∴＝90°．
故选：D．
9．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD
为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
∵AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，∴AE＝AB sin60°＝，
BE＝AB cos60°＝1，
V1＝＝，V2＝＝π，
∴V＝V1﹣V2＝，
故选：A．
10．（5分）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
【解答】解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾
C不正确，如图所示：
D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．
故选：C．
11．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，P A、AB、BC两两垂直，且AB＝，BC＝，则二面角B﹣AP﹣C的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，P A、AB、BC两两垂直，且AB＝，BC＝，
∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（，0，0），P（，0，t），C（0，，0），
＝（0，0，﹣t），＝（﹣，，﹣t），
设平面P AC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，，0），
平面P AB的法向量＝（0，1，0），
设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
∴θ＝30°．
∴二面角B﹣AP﹣C的大小为30°．
故选：A．
12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝2，S5＝15，若b n＝，则数
列{b n}的前10项和为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a2＝2，S5＝15，
∴，解得a1＝d＝1．
∴a n＝1+（n﹣1）＝n．
∴b n＝＝＝＝，
则数列{b n}的前10项和＝++…++
＝
＝．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）如图，一艘船下午13：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，14：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9海里，则此船的航速为36海里/小时．
【解答】解：由题意得BS＝9，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠S＝45°．
在△ABS中，由正弦定理得，
∴AB＝＝18．
∴船的速度为V＝＝36海里/小时．
故答案为：36．
14．（5分）ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF
与AC所成角的大小为．
【解答】解：如图不妨令正方形的边长为2，则AC＝DF＝2，取H，M，N为三个线线段的中点，连接HM，MN，则有HM∥AC，MN∥DF，故∠HMN即为DF与AC所成角可所成角且HM＝MN＝
连接HN，DN，在直角三角形DCN中可以求得ND＝，
在直角三角形HDN中可以求得HN＝
在△HMN中cos∠HMN＝＝﹣
故∠HMN＝
所以DF与AC所成角的大小为
故答案为
15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：22π×4﹣22×4＝16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
16．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为等边三角形，SA＝SB＝，AB＝2，平面SAB⊥平面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是60°．
【解答】解：取AB的中点O，连接SO，CO，
∵底面ABC为等边三角形，SA＝SB＝，
∴SO⊥AB，OC⊥AB，
∵面SAB⊥平面ABC，
∴CO⊥平面SAB，
即∠CSO是SC与平面ABC所成的角，
∵AB＝2，∴OC＝，OA＝1，
∵SA＝SB＝，
∴SO＝＝3，
则直角三角形SOC中，tan∠CSO＝，
则∠CSO＝60°，
故答案为：60°．
三、解答题（共7小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边所在的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）由A（﹣4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，1），
得BC边所在的直线的方程是，
即2x+y+3＝0；
（2）∵直线BC的斜率为﹣2，
∴BC边上的高所在直线的斜率为．
又∵直线过点A，
∴所求直线的方程为．
即x﹣2y+4＝0．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若2a sin B＝b，A为锐角，求A的值；
（2）若b＝5，c＝，cos C＝，求a的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，由正弦定理知a＝2R sin A，b＝2R sin B，
∴由已知可得：×2R sin B＝2×2R sin A sin B，
∵sin B≠0，
∴sin A＝且A为锐角，
∴A＝60°…6分
（2）由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：5＝a2+25﹣2×5a×，
可得：a2﹣9a+20＝0，
解得：a＝4或5…12分
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，P A⊥平面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：OM∥平面P AB；
（2）求证：平面PBD⊥平面P AC．
【解答】解：（1）证明：在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
所以OM∥PB，
因为OM⊄平面P AB，
PB⊂平面P AB，
所以OM∥平面P AB；
（2）证明：因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以P A⊥BD；
因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又因为AC⊂平面P AC，
P A⊂平面P AC，AC∩P A＝A，
所以BD⊥平面P AC，
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面P AC．
20．（12分）在公差不为零的等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，
∵a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3，∴1+d＝q，1+5d＝q2，联立解得．
∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，b n＝4n﹣1．
（2）由c n＝a n b n＝（3n﹣2）4n﹣1．
∴数列{c n}的前n项和S n＝1+4×4+7×42+…+（3n﹣2）4n﹣1．
4S n＝4+4×42+7×43…+（3n﹣5）4n﹣1+（3n﹣2）•4n．
∴﹣3S n＝1+3×（4+42+…+4n﹣1）﹣（3n﹣2）•4n＝1+3×﹣（3n﹣2）•4n＝（3﹣3n）•4n﹣3，
∴S n＝（n﹣1）•4n+1．
21．（12分）如图所示，要围建一个面积为400m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地的总费用为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）试确定x的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．
【解答】解：（1）由题意知，矩形的一边长为xm，另一边长为m，
则y＝56x+200（x﹣3）+200××2
＝256x+﹣600（x＞0）．
故y＝256x+﹣600（x＞0）．
（2）因为x＞0，所以256x+≥2＝12800，
所以y＝256x+﹣600≥12200，
当且仅当256x＝，即x＝25时，等号成立．
故当利用旧墙的长度为25m时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元．22．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；
（2）如果P A＝2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．
【解答】（1）证明：连接AE，由AB＝BE＝1，得，同理，
∴AE2+DE2＝4＝AD2，由勾股定理逆定理得∠AED＝90°，∴DE⊥AE．
∵P A⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．
（2）取P A的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．
∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．
由P A＝2，AB＝1，BC＝2，得，，∴，
．
∴异面直线PD与AE所成的角的大小为．
23．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2．
（Ⅰ）求直线AM与平面BCD所成角的大小；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BMD的体积；
（Ⅲ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．（理科生必做，文科生选做）
【解答】（14分）解：（Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，
A、B、O、M共面，
延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，
OB＝MO＝，MO∥AB，则＝，EO＝OB＝，
所以EB＝2＝AB，即∠AEB＝45°．
∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°；
（Ⅱ）△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，
V A﹣BDM＝V M﹣ABD＝V O﹣ABD＝＝1；
（III）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，
∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，因为∠BCE＝120°，
所以∠BCF＝60°，
BF＝BC cos60，tanθ＝＝2，sinθ＝．所以，所求二面角的正弦值是．。