湖北黄冈市黄梅县实验中学2013年中考模拟试题数学试卷(附答案及

2011年湖北省襄阳市中考数学试卷
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一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1、（湖北襄阳3分）﹣2的倒数是
A ．2-
B ．2
C ．1
2- D ．12
【答案】C 。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，直接得出结果：∵（－2）×（12-）=1，∴﹣2的倒数是12
-。

故选C 。

2、（湖北襄阳3分）下列运算正确的是
A ．2a a a -=
B ．236()a a -=-
C ．632x x x ÷=
D ．222()x y x y +=+
【答案】B 。

【考点】合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式。

【分析】A ，2a a a -=-，故本选项错误；B ，幂指数的幂，指数相乘，故本答案正确；C ，同底数幂的除法底数不变指数相减，633x x x ÷=故本选项错误；D ，应该是完全平方式，222()2x y x xy y +=++，故本选项错误。

故选B 。

3、（湖北襄阳3分）若x y 、为实数，且110x y ++-=，则2011()x y
的值是 A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2011
【答案】C 。

【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值，有理数的乘方。

【分析】根据非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，求出x y 、的值，再代入2011()x y
进行计算即可： ∵1x +=0，∴x +1=0，解得x =﹣1；
∵10y -=，∴y ﹣1=0，解得y =1。

∴201120111()11x y ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭。

故选C 。

4、（湖北襄阳3分）如图，CD ∥AB ，∠1=120°，∠2=80°，则∠E 的度数是
A 、40°
B 、60°
C 、80°
D 、120°
【答案】A 。

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质。

【分析】∵CD ∥AB ，∴∠1=∠EDF=120°，∴∠E=∠EDF ﹣∠2=120°﹣80°=40°。

故选A 。

5、（湖北襄阳3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是
A 、
B 、
C 、
D 、
【答案】A 。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合。

据此作答：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；B 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；C 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
D 、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误。

故选A 。

6、（湖北襄阳3分）下列说法正确的是
A ．0()2π
是无理数 B ．33是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有
理数
【答案】D 。

【考点】实数的概念，0次幂，根式化简。

【分析】对各选项进行化简，然后根据有理数和无理数的定义即可判断：A 、0()2
π
=1是有理数，故本选项错误；B 、33
是无理数，故本选项错误；C 、4=2是有理数，故本选项错误；D 、38-=﹣2是有理数，故本选项正确。

故选D 。

7、（湖北襄阳3分）下列事件中，属于必然事件的是
A、抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上
B、打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C、到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
D、某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖
【答案】C。

【考点】必然事件。

【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断：：A、不一定发生，是随机事件，故选项错误；B、不一定发生，是随机事件，故选项错误；C、是必然事件，故正确；D、不一定发生，是随机事件，故选项错误。

故选C。

8、（湖北襄阳3分）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该
几何体的小立方块有
A、3块易行
B、4块
C、6块
D、9块
【答案】B。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体；从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体。

故选B。

9、（湖北襄阳3分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm．若⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是
A、外切
B、内切
C、相交
D、外离
【答案】A。

【考点】圆与圆的位置关系，勾股定理。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：相切（两圆圆心距离等于两圆半径之和或两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

由∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB==5cm。

∵⊙A，⊙B 的半径分别为1cm，4cm，又∵1+4=5，∴⊙A与⊙B的位置关系是外切。

故选A。

10、（湖北襄阳3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边
形ABCD一定是
A、菱形
B、对角线互相垂直的四边形
C、矩形
D、对角线相
等的四边形
【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定。

【分析】如图，根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要四边形为菱形，必须邻边相等，即可得到答案：
∵E F G H分别是边AD DC CB AB 的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。

∵要平行四边形EFGH是菱形即要EF=EH，即AC=BD。

即对角线相等。

故选D。

11、（湖北襄阳3分）2011年春我市发生了严重干旱，市政府号召居民节约用水．为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表．
月用水量（吨） 5 6 7
户数 2 6 2
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是
A、众数是6
B、极差是2
C、平均数是6
D、方差是4
【答案】D。

【考点】众数，极差，平均数，方差。

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大的与最小的数据的差，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案：
这组数据6出现了6次，最多，所以这组数据的众数为6；
这组数据的最大值为7，最小值为5，所以这组数据的极差=7﹣5=2；
这组数据的平均数=（5×2+6×6+7×2）÷10=6；
这组数据的方差S2=[2×（5﹣6）2+6×（6﹣6）2+7×（7﹣6）2]÷10=0.9。

所以四个选项中，A、B、C正确，D错误。

故选D。

12、（湖北襄阳3分）已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是
A 、k ＜4
B 、k ≤4
C 、k ＜4且k ≠3
D 、k ≤4且k ≠3
【答案】
【考点】抛物线与x 轴的交点，一元二次方程根的判别式，一次函数的性质。

【分析】分为两种情况：①当30k -=时，得到一次函数21y x =+，与x 轴有交点，此时3k =；②当30k -≠时，求出△=224(3)14160k k -⋅-⋅=-+≥的解集即可，即4k ≤。

因为4k ≤包含3k =，因此k 的取值范围是4k ≤。

故选B 。

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上．
13、（湖北襄阳3分）为了推进全民医疗保险工作，截止2011年5月31日，今年中央财政已累计下拨医疗卫生补助金1346亿元．这个金额用科学记数法表示为 ▲ 元．
【答案】1.246×1011。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为1010n a a <⨯≤，其中1，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。

在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。

1346亿=124600000000一共12位，从而1346亿=1.246×1011。

14、（湖北襄阳3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC 方向开山修路
（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的
一点B 取∠ABD=140°，BD=1000m ，∠D=50°．为了使开挖点E 在直线AC 上，
那么DE= ▲ m ．
（供选用的三角函数值：sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192）
【答案】642.8 。

【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。

【分析】先判断出△BED 的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可：
∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°。

∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE ﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。

∴DE =BD·cos ∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8 （m ）。

15、（湖北襄阳3分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答） 一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 ▲ 道题．
【答案】14。

【考点】一元一次不等式的应用。

【分析】根据本次竞赛规则：竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数和得分要超过100分，列出不等式求解即可：设要答对x 道，则10x +（﹣5）×（20﹣x ）≥100，解得x ≥14。

16、（湖北襄阳3分）关于x 的分式方程
3111m x x +=--的解为正数，则m 的取值范围是 ▲ ．
【答案】m ＞2且m ≠3。

【考点】分式方程的解。

【分析】方程两边同乘以1x -，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围：
方程两边同乘以1x -，得，m ﹣3=1x -，解得x =m ﹣2。

∵分式方程的解为正数，∴m ﹣2＞0且x ﹣1=m ﹣3≠0，
即m ＞2且m ≠3。

17、（湖北襄阳3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6，BC=16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间t = ▲ 秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或143。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定。

【分析】由已知以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q 运动到E 和B 之间，（2）当Q 运动到E 和C 之间，根据平行四边形的判定，由AD ∥BC ，所以当PD=QE 时为平行四边形．根据此设运动时间为t ，列出关于t 的方程求解：
（1）当Q 运动到E 和B 之间，
则PD=6－t ，QE=2t －8，
∴6﹣t =2t －8，解得：t =143。

（2）当Q 运动到E 和C 之间，
则PD=6－t ， EQ=8－2t ，
∴6－t =8﹣2t ，解得：t =2。

因此，当运动时间t =2或
143秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形。

三、解答题：（本大题共9个小題，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答題卡上每题对应的答题区域内．
18、（湖北襄阳5分）已知直线3y x =-与双曲线m 5y x -=
交于点P （﹣1，n ）． （1）求m 的值；
（2）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在双曲线m 5y x -=
上，且x 1＜x 2＜0，试比较y 1，y 2的大小．
【答案】解：（1）∵点P （﹣1，n ）在直线3y x =-上，∴n=﹣3×（﹣1）=3。

∵点P （﹣1，3）在双曲线m 5y x -=
上，∴m ﹣5=﹣3，解得，m=﹣2。

（2）∵m ﹣5=﹣3＜0，
∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大。

∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数m 5y x
-=
上，且x 1＜x 2＜0， ∴y 1＜y 2。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】（1）根据点P （﹣1，n ）在直线3y x =-上求出n 的值，然后根据P 点在双曲线上求出m 的值。

（2）首先判断出m ﹣5正负，然后根据反比例函数的性质，当x 1＜x 2＜0时，判
断出y 1，y 2的大小。

19、（湖北襄阳6分）先化简再求值：22121(1)24
x x x x ++-÷+-．其中0tan 601x =-． 【答案】解：原式＝()()()()()()2
21221212222211x x x x x x ==x x x x x x ++---+-÷-⋅++-+++。

当0tan60131x =-=-时，原式＝()231
33
313113==-----+。

【考点】分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，特殊角的三角函数值。

【分析】首先利用分式的混合运算，将原分式化简，再代入求值即可。

20、（湖北襄阳6分）为了庆祝中国共产党建党九十周年，襄阳市各单位都
举行了“红歌大赛”．某中学将参 加本校预赛选手的成绩（满分为100分，得
分为整数，最低分为80分，且无满分） 分成四组，并绘制了如右的统计图，
请根据统计图的信息解答下列问题．
（1）参加本校预赛选手共 人； （2）参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围是 ；
（3）成绩在94.5分以上的预赛选手中，男生和女生各占一半．学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，则恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【答案】解：（1）60。

（2）84.5﹣89.5。

（3）23。

【考点】频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法，概率。

【分析】（1）直接把各个小组的人数求和即可得到参加本校预赛选手数： 4+32+20+4=60（人）。

（2）∵总人数为60人，∴参加预赛选手成绩的中位数是第30和31名选手成绩
的平均数。

又∵第一小组由4人，第二小组由32人，
∴参加预赛选手成绩的中位数所在组的范围是84.5﹣89.5。

（3）由于成绩在94.5分以上的预赛选手4人中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名参加市“红歌大赛”，由此画树状图：
可见，等可能的所有情况有12种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有8种，
∴P（恰好是一名男生和一名女生）=
82 123
=。

21、（湖北襄阳6分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；
②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③：①③⇒②；②③⇒①。

（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【答案】解：（1）①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，
（2）选择①③⇒②，
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
又∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。

∴AD=AE。

【考点】命题与定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论。

（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明。

22、（湖北襄阳6分）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？
【答案】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得6.4（1+x）2=10，解之，得x1=0.25，x2=﹣0.25，
∵x2=﹣2.25＜0，故舍去，∴x=0.25=25%。

10×（1+25%）=12.5，
答：2011年的年产量为12.5万辆。

【考点】一元二次方程的应用（平均增长率问题）。

【分析】设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解舍去即可。

23、（湖北襄阳7分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是
优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC 的度数；
（2）若弦BC=6cm ，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）∵BC ⊥OA ，BE=CE ， BA =CA 。

又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=60°。

（2）连接OB ，
∵BC=6，∴CE=
12
BC=3， 在Rt △OCE 中，OC=CE 323sin AOC 3
2
==∠， ∴OE=12OC=3。

又∠BOC=2∠AOC=120°，
∴S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OBC =()212023
1634333602
ππ⋅⋅-⋅⋅=-。

【考点】垂径定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，扇形面积的计算。

【分析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE ， BA =CA ，再根据圆周角定理即可得出∠AOC 的度数、
（2）连接OB ，由锐角三角函数和勾股定理得出OC 、OE 的长，求出∠BOC 的
度数，然后根据S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OBC 计算即可。

24、（湖北襄阳10分）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方
法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数
分段定价售票，即m 人以下（含m 人）的团队按原价售票；超过m 人的团队，
其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分 的游客打b 折售票．设某旅游团人数
为x 人，非节假日购票款为y 1（元），节假日购票款为y 2（元）．y 1与y 2之
间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a = ； b = ； m= ；
（2）直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日（非节假日）带B 团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A ，B 两个团队合计50人，求A ，B 两个团队各有多少人？
【答案】解：（1）6，8，10、
（2）设1y kx =，当x =10时，1y =300，代入其中得，k =30。

∴1y 的函数关系式为：130y x =。

同理可得，当0≤x ≤10时，250y x =，当x ＞10时，240100y x =+。

（3）设A 团有n 人，则B 团有（50﹣n ）人，
当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n ）=1900解得，n=20，这与n≤10矛盾；
当n ＞10时，40n+100+30（50﹣n ）=1900，解得，n=30，50﹣30=20。

答：A 团有30人，B 团有20人。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据原票价和实际票价可求a 、b 的值，m 的值可看图得到；门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，所以a =6；
从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8
折得到的价格，所以b =8；
看图可知m=10。

（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析
式。

（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数
的n 的一元一次方程，解此可得人数。

25、（湖北襄阳10分）如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，
B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE
交边BC 于点F ，连接BE ，DF ．
（1）求证：∠ADP=∠EPB ；
（2）求∠CBE 的度数；
（3）当AP AB
的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD ，∴∠ADP+∠APD=90°。

∵∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPB=90°。

∴∠ADP=∠EPB 。

（2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB ，PD=PE ，∴△PAD ≌△EGP （AAS ）。

∴EG=AP ，AD=AB=PG ，∴AP=EG=BG 。

∴∠CBE=∠EBG=45°。

（3）当AP 1AB 2
=时，△PFD ∽△BFP 。

理由如下： 设AD=AB=a ，则AP=PB=12a ，∴BF=BP•AP 1AB 4
a =。

∴PD=225AD +AP 2a =，，PF=225PB +BF 4a =。

∴PB 5PD PF 5
BF ==。

又∠DPF=∠PBF=90°，∴△PFD ∽△BFP 。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。

【分析】（1）根据∠ADP 与∠EPB 都是∠APD 的余角，根据同角的余角相等，即可求证。

（2）首先证得△PAD ≌△EGP ，可以证得△BCG 是等腰直角三角形，可以求得
∠EBG=45°，即可求得∠CBE=45°。

（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，反之也成立。

26、（湖北襄阳13分）如图，在平面直角坐标系x o y 中，AB 在x 轴上，AB=10，以AB
为直径的⊙O'与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是⊙O'的切线，AD 丄CD 于点D ，tan ∠CAD=12
，抛物线2y ax bx c =++过A ，B ，C 三点． （1）求证：∠CAD=∠CAB ；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）证明：连接O′C ，
∵CD 是⊙O 的切线，∴O′C ⊥CD 。

∵AD ⊥CD ，∴O′C ∥AD 。

∴∠O′CA=∠CAD 。

∵O′A=O′C ，∴∠CAB=∠O′CA 。

∴∠CAD=∠CAB 。

（2）①∵AB 是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°。

∵OC ⊥AB ，∴∠CAB=∠OCB 。

∴△CAO ∽△BCO 。

∴OC OB OA OC
=，即OC 2=OA•OB 。

∵tan ∠CAO=tan ∠CAD=12
，∴AO=2OC 。

又∵AB=10，∴OC 2=2OC （10﹣2OC ）。

∵CO ＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2。

∴A （﹣8，0），B （2，0），C （0，4）。

∵抛物线2y ax bx c =++过点A ，B ，C 三点，∴c =4，
由题意得：424064840a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：143
2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

∴抛物线的解析式为：
213442
y x x =--+。

②设直线DC 交x 轴于点F ，∴△AOC ≌△ADC （AAS ）。

∴AD=AO=8。

∵O′C ∥AD ，∴△FO′C ∽△FAD 。

∴
O F O C AF AD ''=。

∴8（BF+5）=5（BF+10）。

∴BF=103，F （163
，0）。

设直线DC 的解析式为y kx m =+， 则41603
m k m =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：344k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

∴直线DC 的解析式为344y x =-+。

由()2213125434244y x x x =--
+=-++ 得顶点E 的坐标为（﹣3，254
）， 将E （﹣3，254
）代入直线DC 的解析式344y x =-+中，右边=()3253444-⋅-+==左边。

∴抛物线顶点E 在直线CD 上。

（3）存在，P 1（﹣10，﹣6），P 2（10，﹣36）。

【考点】二次函数综合题，圆的切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）连接O′C ，由CD 是⊙O 的切线，可得O′C ⊥CD ，则可证得O′C ∥AD ，又由O′A=O′C ，则可证得∠CAD=∠CAB 。

（2）①首先证得△CAO ∽△BCO ，根据相似三角形的对应边成比例，可得
OC 2=OA•OB ，又由tan ∠CAO=tan ∠CAD=
12
，则可求得CO ，AO ，BO 的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。

②首先证得△FO′C ∽△FAD ，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F 的坐
标，求得直线DC 的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案。

（3）根据题意分别从PB ∥AC 与PA ∥BC 去分析求解即可求得答案：
当PB ∥AC 时，由A 、C 两点坐标求得AC 的表达式：112
y x =
-，则设PB 的表达式为12y x p =+，把B （2，0）代入，求得1p =-，得PB 的表达式：112
y x =-，与213442y x x =--+联立，即可求得P 点的坐标P 1（﹣10，﹣6）。

当PA ∥BC 时，由B 、C 两点坐标求得BC 的表达式：24y x =-+，则设PB 的表
达式为2y x q =-+，把A （﹣8，0）代入，求得16q =-，得PB 的表达式：216y x =--，与213442
y x x =--
+联立，即可求得P 点的坐标P 2（10，﹣36）。