2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教B版

3.1.4 空间向量的直角坐标运算
1．空间向量的坐标表示
空间直角坐标系及空间向量的坐标
(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i ，j ，k 都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，
a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序
实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a ＝(a 1，a 2，a 3)．
思考1：若a ＝x 1e 1＋ye 2＋ze 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？
[提示] 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 2．空间向量的坐标运算
空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．
(1)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2) 则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．
|AB →
|
(2)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
思考2：若向量AB ＝(x ，y ，z )，则点B 的坐标是(x ，y ，z )吗？ [提示] 不一定．A 点与原点重合是，不与原点重合则不是．
1．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b
＝2，则x 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 C [∵a·b ＝－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2，∴x ＝5.]
2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)
D ．(8,0,4)
D [4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．] 3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →
的夹角为________． 60° [∵AB →＝(0,3,3)，AC →
＝(－1,1,0)， ∴|AB →|＝32，|AC →
|＝2， AB →·AC →
＝3，
∴cos〈AB →，AC →
〉＝AB →·AC →
|AB →|·|AC →|＝332×2＝1
2，
∴〈AB →，AC →
〉＝60°.]
【例1】 (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，
E ，
F ，
G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→
}为基底，求下列向量的坐标．
①AE →，AG →，AF →； ②EF →，EG →，DG →.
(2)已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)、(1,3,4)、(0，－1,4)、(2，－1，－2)；若p ＝AB →，q ＝CD →
.求①p ＋2q ；②3p －q ；③(p －q )·(p ＋q )．
[解] (1)①AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，1.
②EF →＝AF →－AE →＝(AA ′→＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA ′→)＝12AA ′→＋12AB →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，0，12，
EG →＝AG →－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →
－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA ′→
＝AB →－12AD →－12AA ′→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12，0. (2)由于A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →
＝(2,1,3)，q ＝CD →
＝(2,0，－6)．
①p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p －q )·(p ＋q )＝p 2
－q 2
＝|p |2
－|q |2
＝(22
＋12
＋32
)－(22
＋02
＋62
)＝－26.
(1)用坐标表示空间向量的步骤
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
1．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是
AB ，
MN →
的
PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量
坐标．
[解] 因为PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB →，AD →，AP →
是两两垂直的单位向量．
设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →
＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →
＝－12AB →＋AP →＋1
2
(PA →＋AC →)
＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AB →＋AD →)＝12AD →＋12AP →＝12e 2＋12e 3，所以MN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12.
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直． 2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示] 三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件是x 2－x 1x 3－x 1＝
y 2－y 1
y 3－y 1
＝
z 2－z 1
z 3－z 1
. 简证：三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件为AB →＝λAC →
，
即向量AB →与向量AC →
共线，其坐标对应成比例，从而有x 2－x 1x 3－x 1＝y 2－y 1y 3－y 1＝z 2－z 1
z 3－z 1
.
【例2】 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)若|c |＝3，c ∥BC →
.求c ；
(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .
[思路探究] 先求a ，b ，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解． [解] (1)因为BC →＝(－2，－1,2)，且c ∥BC →
，
所以设c ＝λBC →
＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c |＝(－2λ)2
＋(－λ)2
＋(2λ)2
＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →
＝(－1,0,2)， 所以ka ＋b ＝(k －1，k,2)，
ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．
又因为(ka ＋b )⊥(ka －2b )， 所以(ka ＋b )·(ka －2b )＝0. 即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝2k 2
＋k －10＝0.
解得k ＝2或k ＝－5
2.
故所求k 的值为2或－5
2
.
1．(变条件)若将本例(1)中“c ∥BC →
”改为“c ⊥a 且c ⊥b ”，求c . [解] a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →
＝(－1,0,2)． 设c ＝(x ，y ，z )．
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＋z 2
＝9，x ＋y ＝0，
－x ＋2z ＝0
解得x ＝2，y ＝－2，z ＝1或x ＝－2，y ＝2，z ＝－1， 即c ＝(2，－2,1)或c ＝(－2,2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)中改为“若ka －b 与ka ＋2b 互相垂直”求k 的值． [解] ∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →
＝(－1,0,2)． 所以ka －b ＝(k ＋1，k ，－2)，
ka ＋2b ＝(k －2，k,4)．
∵(ka －b )⊥(ka ＋2b )， ∴(ka －b )·(ka ＋2b )＝0，
即(k ＋1，k ，－2)·(k －2，k,4)＝(k ＋1)(k －2)＋k 2
－8＝0，解得k ＝－2或k ＝52.
故所求k 的值为－2或5
2
.
解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a ＝(x ，y ，z ). (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解.
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的.
【例3】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD ­A
1B 1C 1D 1中，E ，
F 分别是D 1D ，BD 的中点，
G 在棱CD 上，且CG ＝1
4
CD ，H 为C 1G 的中点．
(1)求证EF ⊥B 1C ；
(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．
[思路探究] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
[解] (1)证明：如图所示，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ，易知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝
⎛⎭⎪⎫0，34
，0，H ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，78
，12. ∵EF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12， B 1C →
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴EF →·B 1C →
＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C →
，即EF ⊥B 1C .
(2)由(1)易知C 1G →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， EF →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，12，－1
2
，
∴|C 1G →
|＝174，|EF →
|＝3
2
，
EF →·C 1G →
＝12
×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
×(－1)＝38
，
∴cos〈EF →，C 1G →
〉＝EF →·C 1G →
|EF →||C 1G →|＝51
17，
即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为
5117
. (3)由(1)知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，78，1
2，
∴FH →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－
122
＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫382
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝418.
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.
2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC ­A 1B 1C 1中，
CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．
(1)求BN 的长；
(2)求BA 1→
与B 1C →
夹角的余弦值．
[解] 如图，以CA →，CB →，CC 1→
为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz . (1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →
|＝
(1－0)2
＋(0－1)2
＋(1－0)2
＝3， ∴线段BN 的长为 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→
＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→
|＝6，|CB 1→
|＝5，
∴cos〈BA 1→
，CB 1→
〉＝
BA 1→·CB 1
→|BA
1
→
||CB 1→
|
＝3010
， 即BA 1→
与B 1C →
夹角的余弦值为
3010
.
1．思考辨析
(1)已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 的坐标向量，并且AB →
＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为(－1,1，－1)．
( ) (2)向量a ＝(2，－3,1)与向量b ＝(－4,6，－2)平行． ( )
(3)若向量a ＝(1，－1,2)与向量b ＝(x,2，－1)垂直，则x ＝4.
( )
[提示] (1)× 向量AB →
的坐标与B 点的坐标不同． (2)√ (3)√
2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35 D.75
D [由于ka ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k －1)×3＋k ×2＋2×(－2)＝0，解得k ＝7
5
.]
3．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )
A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 A [设AD →＝λAC →，又AC →
＝(0,4，－3)， 则AD →
＝(0,4λ，－3λ)． 又∵AB →
＝(4，－5,0)，
∴BD →＝AD →－AB →
＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
由AC →·BD →
＝0，得0×(－4)＋4×(4λ＋5)＋(－3)×(－3λ)＝0，解得λ＝－4
5，
∴BD →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →
|＝5.] 4．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →
的夹角θ的大小是________．
120° [由于AB →＝(－2，－1,3)，CA →
＝(－1,3，－2)，
所以AB →·CA →＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB →|＝14，|CA →
|＝14， 所以cos θ＝cos 〈AB →，CA →
〉＝－7
14×14＝－12，
则θ＝120°.]。