2019年高考数学江苏卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏省）
数学答案解析
一、填空题 1．【答案】{1,6} 【解析】由交集定义可得{1,6}A B =
【考点】集合的交运算 2．【答案】2
【解析】(a+2 i)(1+i)=a-2+(a+2) i ，实部是0，-20, 2a a ∴==. 【考点】复数的运算、实部的概念 3．【答案】5
【解析】执行算法流程图，11,2x S ==
，不满足条件；3
2,2
x S ==，不满足条件；3, 3x S ==，不满足条件；4, 5x S ==，满足条件，结束循环，故输出的S 的值是5. 【考点】算法流程图 4．【答案】[1,7]-
【解析】要使函数有意义，则2760x x +-≥，解得17x -剟，则函数的定义域是[-1,7]. 【考点】函数的定义域 5．【答案】
5
3
【解析】数据6，7，8.8，9，10的平均数是678891086+++++=，则方差是4100145
63
+++++=.
【考点】平均数、方差 6．【答案】
7
10
【解析】记3名男同学为,,A B C ，2名女同学为,a b ，则从中任选2名同学的情况有
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(,),(,),(,),()(C, a),(C, ,b),(a, b)A a A b B a B b ，，共7种，故所求概率为
7
10
. 【考点】古典概型
7．【答案】y =
【解析】因为双曲线2
2
21(0)y x b b -=>经过点(3,4)，所以21691b
-=
，得b =
程是y bx =±=. 【考点】双曲线的几何性质 8．【答案】16 【解析】通解
设等差数列{}n a 的公差为d .则
()(22258111111914)74570,93627a a a a d a d a d a d a d a d S a d +=++++=++++==+=，解得152a d =-=，，则81828405616S a d =+=-+=.
优解
设等差数列{}n a 的公差为d .()199559927,32
a a S a a +=
===，又2580a a a +=，则3(33)330d d -++=，
得2d =，则()(1884584)4(13)162
a a S a a +=
=+=+=.
【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式 9．【答案】10
【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，所以1120ABCD CC S ⋅=四边形，又E 是1CC 的中点，所以三棱锥E BCD -的体积11
1111
12010332212
E BCD BCD ABCD V EC S CC S -∆=⋅=⨯⨯=⨯=四边形. 【考点】空间几何体的体积 10．【答案】4 【解析】通解
设4,,0P x x x x ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，则点P 到直线0x y +=
的距离4
24x d +=
=
≥
=，当且仅当4
2x x
=
，即x =时取等号，故点P 到直线0x y +=的距离的最小值是4. 优解
由4(0)y x x x =+
>得24
1y x
'=-，令2411x -=-
，得x =，则当P
点的坐标为时，点P 到直线
0x y +=
4=.
【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用 11．【答案】(e, 1)
【解析】设()00,ln A x x ，又1y x
'=
，则曲线ln y x =在点A 处的切线方程为()0001
ln y x x x x -=-，将(,1)
e --代入得，()00011ln x e x x --=
--，化简得00
ln e
x x =，解得0e x =，则点A 的坐标是(,1)e . 【考点】导数的几何意义的理解和应用 12．
【解析】解法一
以点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设
(,0),(,0),(,),00B a C a A b c a c ->>，，由2B E E A
=得22,33b a c E -⎛⎫
⎪⎝⎭，则直线:c OA y x b =，直线:(2)()C E b a y
c x
a
-=-，
联
立
可
得
,22b c O ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
22
2
2
2
4222(,)(),,,223
33b c a b c b c ab
AB AC a b c a b c b c a AO EC -+-⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=+-⋅=--⋅-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由6A B A C
A O E C ⋅=⋅得()
2222222b c a b c ab
+-=+-，化简得
222
4ab b c a =++，
则
AB AC ===. 解法二
由,,A O D 三点共线，可设AO AD =λ，则()2
AO AB AC λ
=
+，由,,E O C 三点共线可设EO EC =μ，则()AO AE AC AE -=μ-，则1
(1)(1)3A O A E A C A B A C =-μ+μ=-μ+μ，由平面向量基本定理可得
1
(1)322λ⎧-μ=⎪⎪⎨
λ⎪μ=⎪⎩
解得
11
,42
μ=λ=
，则
11
(),43
AO AB AC EC AC AE AC AB
=+=-=-，则
2211321
66())43233
AO EC AB AC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫
⎛⋅=⨯+⋅-=
⋅+-=⋅ ⎪ ⎝⎭
⎝，化简得223AC AB =，
则AB
AC
=
【考点】向量的线性运算、数量积 13．
【答案】
10
【解析】通解
t a n
t a n (1t a n )2
t a n 1t a n 13
1t a n
αα-α=
=-α+α+-α得tan 2α=或1tan 3α=-，当t a n 2α
=时，
2222222222sin cos 2tan 4cos sin 1tan 3
sin 2,cos2sin cos tan 15sin cos tan 15αααα-α-αα===α===-
α+αα+α+αα+此时1sin 2cos 25
α+α=，同
理
当
1
t a n 3
α=-时
，
34
sin 2,cos255
α=-α=
，此时1
s i n 2
c o s 25
α+α=，
所sin(2)2cos2)4210
πα+=α+α=
. 优解，
s i n c o s
t a n 243t a n c o s s i n 44π⎛
⎫αα+ ⎪α⎝⎭=
=-ππ⎛⎫⎛⎫α+αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭则2sin cos cos sin 434ππ⎛⎫⎛⎫αα+=-αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
又
5sin sin cos cos sin sin cos 244434⎡⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=α+-α=α+α-α+α=α+α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
则
sin cos 4π⎛
⎫α+α=
⎪⎝
⎭，
则
1
s i n 44⎡⎤πππππ⎛
⎫⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫α+=
α++α=α+α+
α+α=
α+α== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎣⎦
【考点】同角三角画款的基本关系、三角也等变换
14．
【答案】1,34⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】当(0,2]x ∈
时，令y 22(1)1,0x y y -+=…，即()f x 的图象是以(1,0)为圈心、1为半径的半圆，利用()f x 是奇函数，且周期为4，画出函数()f x 在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数()((0,9])g x x ∈的图象，如图，关于x 的方程()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知()((0,1])g x x ∈与()((0,1])f x x ∈的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线(2)y k x =+经过点(1,1)时，1
3
k =
，当直线(2)y k x =+与半圆22(1)1(0)x y y -+=…
相切时，1=
，k =
k =，所以k
的取值范围是134⎡⎢⎣⎭。

【考点】品数的性质以及直线与圆的位置关系 二、解答题
15．【答案】（1）因为2
3,3
a c
b B ==
=
，
由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即21
3
c =.
所以3
c =
（2）因为
sin cos 2A B
a b
=
， 由正弦定理
sin sin a b A B =，得cos sin 2B B
b b
=
，所以cos 2sin B B =. 从而2
2
cos (2sin )B B =，即()
22cos 41cos B B =-，故24
cos 5
B =
.
因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =
.
因此πsin cos 25
B B ⎛⎫+
== ⎪⎝
⎭. 【解析】（1）利用余弦定理建立方程求解
（2）利用正弦定理、同角三角函数的基本关系和诱导公式求解 【考点】正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、透导公式等 16．【答案】（1）证明：因为D E ，分别为, BC AC 的中点， 所以ED AB ∥.
在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以11//A B ED .
又因为ED ⊂平面1DEC ，11A B ∥平面1DEC ， 所以11A B ∥平面1DEC .
（2）因为,AB BC E =为AC 的中点，所以BE AC ⊥. 因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以1C C ⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以1C C BE ⊥. 因为1CC 平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，1C C AC C =，
所以BE ⊥平面11A ACC .
因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BE C E ⊥.
【解析】（1）根据直三棱桂的性质和三角形中位线定理得线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）易得1,BE AC C C BE ⊥⊥，然后利用线面垂直的判定定理证得线面垂直，即可得证. 【考点】直线与直线、直线与平面的位置关系等. 17．【答案】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为12(1,0),(1,0)F F -，所以122,1F F c ==.
又因为125
,2
DF AF x =⊥轴，所以2DF =3
2
==，
因此1224a DF DF =+=，从而2a =. 由222b a c =-，得23b =.
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=，2a =，
因为2AF x ⊥轴，所以点A 的横坐标为1.
将1x =代入圆2F 的方程22
(1)16x y -+=，解得4y =±.
因为点A 在x 轴上方，所以(1,4)A . 又1(1,0)F -，所以直线1:22AF y x =+.
由22
()22116
y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115
x =-
.
将115x =-
代入22y x =+，得125
y =-， 因此1112(,)55B -
-.又2(1,0)F ，所以直线2BF ：3
(1)4
y x =-. 由22
1
4
33(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得2
76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3
(1,)2
E --. 解法二：
由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=.如图，连结1EF .
因为2122,
2BF a EF EF a =+=，所以1EF EB =，
从而1BF E B ∠=∠.
因为22F A F B =，所以A B ∠=∠， 所以1A BF E ∠=∠，从而12EF F A ∥. 因为2AF x ⊥轴，所以1EF x ⊥轴.
因为1(1,0)F -，由22143
1
x x y ⎧⎪
⎨+
==-⎪⎩，得32y =±.
又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以32
y =-
. 因此3
(1,)2
E --. 【解析】无.
【考点】直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等.
18．【答案】解法一：
（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB AB ⊥
所以84cos sin 105
PBD ABE ∠=∠=
=. 所以12
154
cos 5
BD PB PBD =
==∠.
因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，连结AD ，由（1
）知10AD =
=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠=
=>⋅，所以BAD ∠为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当90OBP ︒∠<时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当90OBP ︒∠≥时，对线段PB 上任意一点,F OF OB ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O
的
半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯
=； 当90OBP ︒∠>时，在1PPB △中，115PB PB
>=. 由上可知，15d ≥. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得15QA ≥，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当15QA =时，
1
C Q =
.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当PB AB ⊥，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P Q 、两点间的距离
17PQ PD CD CQ =++=+.
因此，d 最小时，P Q ，两点间的距离为317+. 解法二：
（1）如图，过O 作OH l ⊥，垂足为H .
以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为12,6BD AC ==，所以9OH =，直线l 的方程为9y =，点,A B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，10AB =，所以圆O 的方程为2225x y +=. 从而(4,3),(4,3)A B --，直线AB 的斜率为
3
4
.
因为PB AB ⊥，所以直线PB 的斜率为43
-
， 直线PB 的方程为425
33
y x =-
-
.
所以(13,9)P -，15PB =. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点(4,0)E -，则45EO =<，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知(4,9)D -，又(4,3)A ， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-剟.
在线段AD 上取点153,4M ⎛⎫
⎪⎝⎭，因为5OM =<=，
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当90OBP ︒∠<时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当90OBP ︒∠…时，对线段PB 上任意一点F ，OF OB ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时1(13.9)P -； 当90OBP ︒∠>时，在1PPB △中，115PB PB
>=. 由上可知，15d ≥. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得15QA ≥，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当15QA =时，设,9Q a （）
，由
15(4)AQ a ==>，得4a =+，所以(4Q +，此时，线段QA 上所有点
到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当(13,9),(4P Q -+时，d 最小，此时P Q ，两点间的距离
4(13)17PQ =+-=+
因此，d 最小时，P Q ，两点间的距离为17+.
【解析】（l ）建立平面直角坐标系，利用两直线垂直的条件得直线BP 的方程，求解点P 的坐标，再由两点间距离公式即可求解PB 的长；
（2）判断线段AD 与圆O 的位置关系即可求解；
（3）利用两点间距离公式、直线与圆的位置关系即可求解。

【考点】三角函数的应用、解方程、直线与圆等
19．【答案】（1）因为a b c ==，所以3
()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3
(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，
所以2
3
2
2
()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛
⎫=--
⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23
a b
x +=． 因为2,,
3
a b
a b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以
21,3,33
a b
a b +===-． 此时2
()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：
所以()f x 的极小值为2
(1)(13)(13)32f =-+=-．
（3）因为0,1a c ==，所以3
2
()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，
2()32(1)f 'x x b x b =-++．
因为01b <≤，所以2
2
4(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．
由()0f 'x =
，得1211,33
b b x x +++==．
列表如下：
所以()f x 的极大值()1
M f x =．
解法一：
()321111(1)M f x x b x bx ==-++
()2
21
111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪
⎝⎭
()23
21(1)(1)2
27927
b b b b b --+++=++
23(1)2(1)(1)2
272727b b b b +-+=-+
(1)24272727b b +≤
+≤
．因此4
27
M ≤． 解法二：
因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．
当(0,1)x ∈时，2
()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．
令2
()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
．
令()0g'x =，得1
3
x =
．列表如下：
所以当13x =
时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭
．
所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此4
27
M ≤． 【解析】无
【考点】利用导数研究函数的性质.
20．【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以10,0a q ≠≠.
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111
440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨=⎩．
因此数列{}n a 为“M —数列”.
（2）①因为1122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2122
11b =-，则22b =. 由1122
n n n S b b +=-，得112()
n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{}n b 的通项公式为()
*n b n n =∈N .
②由①知，k b k =，*k ∈N .
因为数列{}n c 为“M –数列”，设公比为q ，所以11,0c q =>.
因为1k k k c b c +≤≤，所以1k k
q k q -≤≤，其中1,2,3,,k m =⋯.
当1k =时，有1q …
； 当2,3,,k m =⋯时，有
ln ln ln 1
k k
q k k ≤≤-． 设f （x ）=
ln (1)x x x >，则21ln ()x
f 'x x
-=． 令()0f 'x =，得e x =.列表如下：
因为
ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3
f k f ==．
取q =1,2,3,4,5k =时，
ln ln k
q k
…，即k k q ≤， 经检验知1
k q k -≤也成立．
因此所求m 的最大值不小于5．
若6m ≥，分别取3,6k =，得33q ≤，且56q ≤，从而15243q ≥，且11
216q ≤，
所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 【解析】无
【考点】等差数列的定义、通项公式、性质，等比数列的通项公式 附加题
21．A 【答案】（1）因为3122⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ，
所以2
31312222⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A
=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （2）矩阵A 的特征多项式为
23
1
()542
2
f λλλλλ--=
=-+--.
令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 【解析】无
【考点】矩阵的运算、特征值等．
21．B 【答案】（1）设极点为O .在OAB △中，3,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2B π⎫⎪⎭，
由余弦定理，得AB =
=（2）因为直线l 的方程为sin()34
ρθπ+=，
则直线l 过点)2π，倾斜角为
34
π．
又)2
B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242
ππ
⨯-=. 【解析】无
【考点】曲线的极坐标方程．
21．C 【答案】解：当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13
x <-；
当1
02
x ≤≤
时，原不等式可化为122x x +->，即|1x <-，无解； 当1
2
x >
时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3
x x x <->或. 【解析】无
【考点】解不等式．
22．【答案】（1）因为0122
(1)C C C C 4n n n
n n n n x x x x n +=+++
+≥，，
所以2
323(1)(1)(2)
C ,C 26
n n
n n n n n a a ---==
==， 44(1)(2)(3)
C 24
n n n n n a ---==
．
因为2
3242a a a =，
所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)
[
]26224
n n n n n n n n n ------=⨯⨯，
解得5n =．
（2）由（1）知，5n =．
5(1(1n +=+
022334455
55555C C C C C C =++++
a =+
解法一：
因为*
,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，
从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：
50122334455
555555(1C C (C (C (C (C (=+++++
022334455
55555
C C C C C C =--+-．
因为*
,a b ∈N ，所以5(1a =-．
因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯-=-=-． 【解析】无
【考点】二项式定理、组合数．
23．【答案】（1）当1n =时，X 的所有可能取值是12
X
的概率分布为22667744(1),(C 15C 15
P X P X ==
====，
22662222
(2),(C 15C 15
P X P X ==
====． （2）设()A a b ，
和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；
②若01b d ==，
，
则AB =≤，所以X n >当且仅
当AB ，此时
0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；
③若02b d ==，
，则AB =3n ≥
n ≤，所以X n >当
且仅当AB =
，此时0 a c n ==，
或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，
，
则AB =≤，所以X n >当且仅
当AB ，此时
0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．
综上，当X n >时，X
22
24
24
42
(,(C C n n P X P X ++==
==
．
因此，224
6()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-
．
【解析】无
【考点】计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布．。