2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1
．直线10x ++=的倾斜角是 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
【答案】D
【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.
【详解】因为直线10x ++=
的斜率为所以其倾斜角为150︒ 故选：D
2．抛物线22x y =的准线方程是（ ） A ．1
2
x =-
B ．14
x =- C ．1
8x =-
D ．116
x =-
【答案】C
【分析】化为标准形式求解即可.
【详解】解：22x y =可化为2
1
2
y x =
， 所以抛物线22x y =的准线方程为1
8
x =-．
故选：C
3．平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为（ ）
A ．35
B ．
310 C ．32
D ．52
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式即可求得平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离 【详解】在直线1:34100l x y -+=上取点5
(0,)2
A
则点5
(0,)2
A 到直线2:6850l x y --=
的距离
52d == 则平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为5
2
故选：D
4．圆()()22
119x y -+-=和圆228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离
【答案】A
【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断. 【详解】()()2
2
119x y -+-=的圆心记为()11,1O ，半径3r =，
将228690x y x y +-++=化成标准式为：()()2
2
4316x y -++=，故得圆心()24,3O -，半径4R =，
则两圆的圆心的距离()()
22
1241315O O =
-+--=,
由于1217R r OO r R =-<<+= ，故两圆相交， 故选：A
5．图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ）
A ．
7
2
B ．
213
C ．74
D ．73
【答案】B
【分析】设出双曲线的方程，根据题意可知：双曲线过点(2,2)a a ，将其代入曲线方程，求出,a b 的关系，再根据,,a b c 的关系即可求出离心率.
【详解】设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
如图：由题意可知：2CD a =，24AB CD a ==，
又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点(2,2)A a a ， 将点A 代入曲线方程2222441a a a b -=，解得：223
4
a b =，
所以该双曲线的离心率c e a =，
故选：B.
6．设a ，b 为实数，若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(),P a b 与圆的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不能确定
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系，求得,a b 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.
1<，即221a b +>，故点(),P a b 在圆221x y +=外.
故选：B.
7．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则
椭圆C 的离心率为（ ）
A B C D 【答案】B
【分析】表示出各点坐标，由90ABF ∠=︒可得0BA BF ⋅=，得出,,a b c 的等式，变形后可求离心率． 【详解】由题意(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，则(,),(,)BA a b BF c b =--=-，
90ABF ∠=︒，
∴20BA BF ac b ⋅=-+=，即220a c ac --=，
可得2()10c c
a a
+-=，
∴c e a =
=
． 故选：B ．
8．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．5+
D ．3+【答案】C
【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．
【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得2
2(1
(1)2x y -+-=），
所以A 在以(1,1)C
又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，
5CD ==，
∴AB 的最大值为5CD =+ 故选：C.
【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B ．若直线l 过()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程为240x y +-=
C ．直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=
D ．经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等的直线l 的方程为20x y += 【答案】AC
【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案. 【详解】A 选项，直线20x y --=的横截距为2，纵截距为2-，
所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是1
2222
⨯⨯=，A 选项正确.
B 选项，直线1
2
y x =
过点()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，所以B 选项错误. C 选项，直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=（横坐标相同，纵坐标相反），C 选项正确.
D 选项，直线1y =经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等（都为1），所以D 选项错误. 故选：AC
10．已知圆22:420C x y x +-+=，则下列说法正确的有（ ）
A ．直线10x y --=与圆C
B ．圆
C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2
222x y +-=
C ．若点(),P x y 是圆C 上的动点，则22x y +的最大值为2
D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=，则1m =-或3- 【答案】ABD
【分析】对于A ，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案. 对于B ，相当于求以点C 关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程. 对于C ，注意到2242x y x +=-，结合x 范围可得答案.
对于D ，题目等价于直线0x y m ++=，进而可得答案. 【详解】圆22:420C x y x +-+=()2
222x y ⇒-+=
对于选项A ，设10x y --=到圆心()2,0距离为1d =
=
又圆C
所以直线10x y --=与圆C 的相交弦长l ==故A 正确.
对于选项B ，点C 关于0x y -=对称点为()0,2，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2
222x y +-=.故B 正确.
对于选项C ，由圆C ：()2
222x y -+=，可得22x ≤.
又2242x y x +=-，得22
66x y ⎡+∈-+⎣，故C 错误.
对于选项D ，圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=等价于
直线0x y m ++=到圆心()2,0距离2d =-
=
=
1m =-或3-.故D 正确. 故选：ABD
【点睛】结论点睛：本题A ，B ，C 选项所涉知识较为基础，选项D 涉及的结论为： 设直线l 与圆O 相交，l 到O 距离为d ，圆O 半径为r ，圆上一点P 到l 距离为1d . （1）若10d =，满足条件的点P 有2个.
（2）若10d r d <<-，满足条件的点P 有4个 （3）若1d r d =-，满足条件的点P 有3个 （4）若1r d d r d -<<+，满足条件的点P 有2个 （5）若1d r d =+，满足条件的点P 有1个 11．已知1F ，2F 是双曲线()22
22
:
10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过1
F 作倾斜角为6π的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1MP MF =，下列判断正确的是（ ） A ．123
F PF π
∠=
B ．E 的离心率等于23
C ．双曲线渐近线的方程为2y x =±
D ．12PF F △的内切圆半径是313
-
【答案】AC
【分析】根据已知条件可得出2PF x ⊥轴，可判断A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B 项；结合222c a b =+，得到
2b
a
=，即可求得渐近线方程，可判断C 项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r 的表达式与c 有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D 项错误. 【详解】如图所示，
因为M ，O 分别是1PF ，12F F 的中点，所以12PF F △中，2PF MO ∥，所以2PF x ⊥轴， A 选项中，因为直线1PF 的倾斜角为
6
π，所以123F PF π
∠=，故A 正确；
B 选项中，12Rt PF F 中，122F F c =，223
PF =，143PF =
， 所以1223
2PF PF a -==，得：3==c e a B 不正确；
C 选项中，由222c a b =+，即223c a =，即2223a b a +=，即
2b
a
=， 所以双曲线的渐近线方程为：2b
y x x a
=±=±，故C 正确；
D 选项中，12PF F △的周长为()
223c +，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有
(
)
23
22323cr c c +=⋅
，得：313r c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，是与c 有关的式子，所以D 错误.
故选：AC.
12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F （0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）
A ．椭圆的长轴长为2
B ．AFG 的周长为442+
C ．线段AB 长度的取值范围是4,222+⎡⎤⎣⎦
D ．ABF △面积的最大值是42【答案】BC
【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆定义可判断B ；由椭圆性质可判断C ；设AB 所在直线方程为y kx =，分别联立椭圆、圆的方程，求出A ，B 两点的横坐标，得出ABF S △根据单调性可得最大值判断D.
【详解】对于A ，由题知，椭圆中2b c ==，得2222a b c +=242a =，故A 错误； 对于B ，由椭圆定义知，242AF AG a +==AFG 的周长42442L FG =++B 正确；
对于C ，2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知222OA ≤≤4222AB ≤≤+C 正确；
对于D,设AB 所在直线方程为y kx =，联立22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩
可得A x =， 联立224y kx x y =⎧⎨+=⎩
可得B x =，
则11||||||||22ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x =+=+=△△△ 显然当20k ≥
时，函数y =
所以当0k =时，ABF S △有最大值4，故D 错误. 故选：BC
三、填空题
13．若椭圆()22144x y m m +=<
m 的值为__________．
【答案】2
【分析】根据椭圆方程确定,,a b c ，即可由离心率求解m 的值. 【详解】解：因为4m <，椭圆的焦点在x 轴上，所以224,a b m ，则2224c a b m =-=-
所以离心率
c a
==
2m =. 故答案为：2.
14．已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线，则m 的值为___________. 【答案】11-
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由22240x y x y m +--+=，得22(1)(2)5x y m -+-=-， 所以圆C 的圆心为()1,2C
因为圆22:(2)(2)1D x y +++=，所以圆D 的圆心为()22D ,--，半径为1， 因为圆C 与圆D 有三条公切线，所以圆C 与圆D 相外切， 即
1CD =
=，解得11m =-，
所以m 的值为11-. 故答案为：11-.
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线20ax y -+=与圆22:230C x y x +--=交于A ，B 两点，若钝角ABC
a 的值是______． 【答案】3
4
-##0.75-
【分析】由钝角ABC
sin ACB ∠=
，得到23ACB π∠=，进而求得圆心到直线
的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：由圆22:230C x y x +--=，即()2
214x y -+=， 可得圆心坐标为(1,0)C ，半径为2r =，
因为钝角ABC 1
22sin 2
ABC
S ACB =⨯⨯∠=
解得sin ACB ∠=
，因为2ACB ππ<∠<，所以23ACB π∠=，
可得||AB =
设圆心到直线的距离为d ，又由圆的弦长公式，可得1d =， 根据点到直线20ax y -+=的距离公式
1d ==，解得34a =-．
故答案为：3
4
-．
16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，圆22():21M x y -+=，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于,,,A P Q B 四点，则||4||AP BQ +的最小值为_________. 【答案】13
【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“||4||5AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将||4||5AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线方程为28y x =， 如下图，P 1F QF ==，
因为()()||4||||||4||||||4||5AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||2,||222
p p
AF x x BF x x =+=+=+=+， 所以12||4||45AP BQ x x +=++，
设:2l x my =+，所以282
y x x my ⎧=⎨=+⎩，()22
4840x m x -++=，所以124x x =，
所以1212||4||4524513AP BQ x x x x +=++≥+=，取等号时1244x x ==， 所以||4||AP BQ +的最小值为13， 故答案为：13.
【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）
（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p
PF x =+
； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+
； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p
PF y =-+.
四、解答题
17．已知直线l 1：2x +y +2=0；l 2：mx +4y +n =0． (1)若l 1⊥l 2，求m 的值．
(2)若l 1//l 2 ， 5m ，n 的值 【答案】(1)2m =- (2)8m =，28n =或12n =-
【分析】（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得m . （2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得,m n .
【详解】（1）由于12l l ⊥，所以240,2m m +==-.
（2）依题意12//l l ，则2418m m ⨯=⨯⇒=，
此时2:840l x y n ++=，即204n x y ++
=，故2,84
n n ≠≠.
254n =-=⇒28n =或12n =-. 18．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
20y ±=
，且过点(． (1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线l 交双曲线于,A B 两点，求弦长AB ．
【答案】(1)22
143x y -=； (2)24AB =.
【分析】（1
）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点(可构造方程求得,a b ，由此可得双曲线方程；
（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得AB 方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率b k a =±
20y ±=
，b a ∴=；
双曲线过点(，22
831a b ∴-=；
由22
831b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩∴双曲线C 的方程为：22143x y -=； （2）由（1
）得：双曲线的焦点坐标为()；
若直线AB
过双曲线的左焦点()
，则:AB y x =+
由2214
3y x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩
得：2400x ++=；
设()11,A x y ，()22,B x y
，则1212
40x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩
24AB ∴==；
由双曲线对称性可知：当AB 过双曲线右焦点时，24AB =；
综上所述：24AB =.
19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.
（1）试求m 的值，使圆C 的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点1,2的直线方程.
【答案】（1）3m =；（2）1x =或34110x y --=.
【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；
（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，
配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，
当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.
当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与x 轴不垂直时，设为()12y k x =--，
2=，解得34k =， 所以切线方程为31144
y x =-，即34110x y --=. 综上，直线方程为1x =或34110x y --=.
20．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．
(1)若直线l 过点()2,0-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．
【答案】(1)2x =-或3460x y -+=； (2)3510. 【分析】（1）讨论直线l 是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；
（2）根据题意以及几何关系，求得点P 的轨迹方程，再求PM 的最小值即可.
【详解】（1）根据题意，圆C 的方程为：222430x y x y ++-+=，变形可得()()22122x y ++-=， 其圆心为1,2，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，
易求直线l 与圆C 的交点为()2,1A -，()2,3B -，2AB =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，
则圆心C 到直线l 的距离222222121k k
d k --+⎛⎫=
=-= ⎪⎝⎭+， 解可得34
k =，所以直线l 的方程为3460x y -+=， 综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.
（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥，
所以PMC △为直角三角形，即222PM PC MC =-
设(),P x y ，由（1）知()1,2C -，2MC =PM PO =，
所以()()2222122x y x y ++--=+化简得点P 的轨迹方程为2430x y -+=
求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，
由距离公式可求得PM 35.
21．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22
. (I )求椭圆E 的方程；
(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），
问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
【答案】(1) 2
212
x y += (2)2 【详解】（Ⅰ）由题意知21c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =所以，椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212
x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，
由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠
则121222
4(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和
12121211
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭
()4(1)222(21)22(2)
k k k k k k k k -=+-=--=-. 【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
22．已知双曲线C 1：22
11612
x y -=，抛物线C 2：22y px =（0p >），F 为C 2的焦点，过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2截得的弦长等于双曲线C 1的实轴长．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线C 2分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．
【答案】(1)28y x =；
(2)16.
【分析】（1）由题设有直线l 为2p x =，联立抛物线求相交弦长有28p =，即可写出抛物线方程.
（2）由题意，可设直线AB 为(2)y k x =-且0k ≠，联立抛物线应用韦达定理求P 、Q 坐标，再由两点距离公式求||QF 、||PF ，进而得到FPQ S
关于k 的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】（1）由题意，双曲线实轴长28a =，直线l 方程为2p
x =，
由222p x y px
⎧=⎪⎨
⎪=⎩，得y p =，则过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2的弦长为2p ， 所以28p =，故抛物线2C 的方程为28y x =.
（2）因为(2,0)F ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；
所以，直线AB ，CD 的斜率均存在且不为0，
设直线AB 的斜率为()0k k ≠，则直线AB 的方程为(2)y k x =-
联立()
282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160ky y k --=，则2Δ61640k =+>， 设1122,(,)(,)A x y B x y ，则128y y k +=
． 设(,)P P P x y ，则1242P y y y k +==，则2422,P P y x k k =+=+即244(2,)P k k
+，同理得2(42,4)Q k k +-， 故2
224222||(422)(4)16164(1)QF k k k k k k =+-+-++2
42161641||k PF k k +=+，又PF QF ⊥，
所以2118(1)||||22||
FPQ k S PF QF k +=⋅=⨯==18(||)816,||k k ⨯+≥⨯= 当且仅当1||||k k =，即1k =±时等号成立，故△FPQ 面积的最小值为16．。