考前归纳总结：导数中常见的分类讨论

函数 f (x) 的导函数. (1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线 方程是 y 3x 3 ,求 a, b 的值;(2)若函数 g(x) eax f '(x) ,求函数 g(x) 的单调区间.
5．（广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知函数
三、针对性练习
1.已知函数 f (x) a ln x ax 3(a R且a 0)
．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当 a 2 时，设函数 h(x) ( p 2)x p 2e 3 ，若在区间 [1, e] 上至少存在一个 x
x0 ，
使得 h(x0 ) f (x0 ) 成立，试求实数 p 的取值范围．
（Ⅱ） a 2, f (x) 2 ln x 2x 3. 令 F (x) h(x) f (x) ，
则 F (x) ( p 2)x p 2e 3 2 ln x 2x 3 px p 2e 2 ln x .
x
xx
1. 当 p 0 时，由 x [1, e]得 px p 0, 2e 2 ln x 0 ，
2
综 上 ， 当 a 1 时 ， f (x) 在 (0, ) 上 为 增 函 数 ; 当 0 a 1 时 ， f (x) 在
8
8
[1
1 8a ,1
1 8a ] 上为减函数，
f (x) 在 (0,1
1 8a 1 ],[
1 8a , ) 上为增函数，
2
2
2
2
当 a＜0 时， f (x) 在（0， 1 1 8a ]上为减函数， f (x) 在[ 1 1 8a ＋∞）上为增函数．
近些年年高考模拟题及真题： 1．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－3,2]上的最大值为 4，则 a 等于( )
A．－3
3 B．－
8
C．3
3 D. 或－3
8
2．对一切实数，不等式 x2＋a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．[－2，＋∞) C．[－2,2] D．[0，＋∞)
f (x) x2 a ln x (a R) (1)若函数 f (x) 在 x 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值;(2)若函数 f (x) 在区间 (1,) 上为增函数,求 a 的取值范围;(3)讨论函数 g(x) f (x) (a 2)x 的单调性.
6.已知函数 f (x) (x k)ex 。（1）求 f (x) 的单调区间；（2）求 f (x) 在区间[0,1] 上的最小
3．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数 f (x) x a ln x(a R)
(1)当 a 2 时,求曲线 y f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值.
4．（汕头四中 2014 届高三数学（理））已知函数 f (x) 1 x3 1 ax2 x b(a 0) , f '(x) 为 32
x
x
从而 F (x) 0 , 所以，在[1, e] 上不存在 x0 使得 h(x0 ) f (x0 ) ；
2.
当p
0 时， F (x)
px 2
2x x2
p 2e , x [1, e], 2e 2x 0 ,
px 2 p 0, F (x) 0 在[1, e] 上恒成立，
故 F (x) 在[1, e] 上单调递增。
x
x2 x
x2
令 f (x) 0 得 x 2 （舍）或 x 1
等价于 f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即 f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
a＋1
2ax2＋4x＋a＋1
令 g(x)＝f(x)＋4x，则 g′(x)＝ ＋2ax＋4＝
.
x
x
－4x2＋4x－1 －2x－12
于是 g′(x)≤
＝
≤0.
x
x
从而 g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故 g(x1)≤g(x2)，即 f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
例 1.：已知函数 f (x) p ln x ( p 1)x 2 1, 当 p 0 时，讨论函数 f (x) 的单调性。
练习 1：已知函数 f (x) ln(x 1) k(x 1) 1，求函数 f (x) 的单调区间；
二、判别式引起的分类讨论
例 2：已知函数 f (x) x2 x a ln x ， (a R) ，讨论 f (x) 在定义域上的单调性。
22
2
2
解得 a 0 ，
综上：实数 a 的取值范围是 a 0 。
a＋1
2ax2＋a＋1
例 4 解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ ＋2ax＝
.
x
x
当 a≥0 时，f′(x)＞0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当 a≤－1 时，f′(x)＜0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1) 0 a 1 时， 1
1 8a 1
1 8a
0，
f
(x)
在
1 [
1 8a 1 ,
1 8a ]
8
2
2
2
2
1 上为减函数， f (x) 在 (0,
1 8a 1 ],[
1 8a , ) 上为增函数，
2
2
2）当 a 0 时， 1
1 8a
0
，故
f
(x)
1 在 [0,
1 8a ] 上为减函数，
2
2
f (x) 在[ 1 1 8a ，＋∞）上为增函数．
x
x
，
当 p 1时， f '(x) ＞0，故 f (x) 在（0，+∞）单调递增；
当 0＜ p ＜1 时，令 f '(x) =0，解得 x
2
p p
1
.
则当 x 0,
p
2p 1
时，
f
'( x)
＞0；
x
p
2 p 1 ,
时，
f
'( x)
＜0.
故 f (x) 在 0,
p
2p 1
单调递增，在
p
2p 1
1
4a
，其对称轴为
x
4
4a 8
a 1 2
，
(i) 当 a 1 1 ,即 a 0 时，应有 16(1 a)2 16(1 4a) 0 22
解得: 2 a 0 ，所以 a 0 时成立，
(ii) 当 a 1 1 ,即 a 0 时，应有 h( 1) 0 即:1 4(1 a) 1 1 4a 0
导数中的分类讨论问题
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨 论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高 的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、 做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引起的分类讨论
三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论
例 3：已知函数 f (x) = - 2 x3 + 2ax2 + 3x ，令 g(x) = ln(x + 1) + 3- f ¢(x) ，若 g(x) 在 3
( 1 , ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围. 2
四、二项系数引起的分类讨论
例 4.已知函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1. (1)讨论函数 f (x) 的单调性； (2)设 a≤－2，求证：对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
2
2
例 3 解：由已知得 g(x) ln(x 1) 3 (2x2 4ax 3) ln(x 1) 2x2 4ax ，
g(x) 1 4x 4a 4x2 4(1 a)x 1 4a ，
x 1
x 1
又当 x ( 1 , ) 时，恒有 x 1 0 ， 2
设
h(x)
4x2
4(1
a)x
值。
7.
【浙江宁波市期末】设函数
f (x) c ln x
1 x2 2
bx
(b, c R, c 0) ，且 x
1为
f (x) 的
极值点．(Ⅰ) 若 x 1 为 f (x) 的极大值点，求 f (x) 的单调区间（用 c 表示）；
(Ⅱ)若 f (x) 0 恰有两解，求实数 c 的取值范围．
所以 f (x) 的增区间（1， ）.
若
a
0, 则
a
2
1，故当
x (1,
a
2]，
f
'(x)
2x(x
a
2
2)
0
，
2
2
x 1
当
x[a
2
,)
时，
f
(x)
2x(x
a 2
2)
0
，
2
x 1
所以 a>0 时 f (x) 的减区间为（1, a 2 ）， f (x) 的增区间为［ a 2 ,) .
2
2
3.解：因为 f (x) x 2 ln x(x 0) ，所以 f (x) 1 2 1 x2 x 2 (x 0)
变式 3：若函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x ，求 f (x) 在区间[2，3]上的最小值。 x
三、小结： 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数
进行讨论。 1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论； 2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<0 进行分类讨论； 3）在求最值或单调区间时，由 f’(x)=0 解出的根， 需与给定区间的两个端点比较大小，进 行分类讨论。 分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某 个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的 解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。在分类讨论时，要注意：1、分类对 象确定，标准统一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。
故对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
三、针对性练习
1.解：（Ι）由 f (x) a(1 x) 知： x
当 a 0 时，函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ，单调减区间是 (1,) ；
当 a 0 时，函数 f (x) 的单调增区间是 (1,) ，单调减区间是 (0,1) ；
2.已知函数 f (x) x2 ax a ln(x 1)(a R) ,求函数 f (x) 的单调区间；
3.若函数 f (x) x 2 ln x ，求函数 f (x) 的极值点。 x
变式 1：若函数 f (x) x a ln x ，试讨论函数 f (x) 的极值存在情况。 x
变式 2：若函数 f (x) ax 2 ln x ，求函数的单调区e)
pe
p e
4
故只要 pe p 4 0 ，解得 p 4e
e
e2 1
综上所述，
p
的取值范围是
(
4e ,) e2 1
。
2.解： f '(x) 2x a
a
2x(x a 2)
2,
x 1
x 1
若
a
0
时，则
a
2
1,
f
(x)
2x(x
a
2
2)
>0
在（1，
）恒成立，
2
x 1
a＋1 当－1＜a＜0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ － ，
2a
则当 x (0, a 1] 时，f′(x)＞0；当 x ( a 1, ) 时， f (x) 0 ；
2a
2a
故 f (x) 在 (0, a 1] 上单调递增，在 ( a 1, ) 上单调递减．
2a
2a
不妨设 x1≥x2.由于 a≤－2，故 f(x)在(0，＋∞)上单调减少，所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|
,
单调递减.
练习 1 解:（1） f ' (x) 1 k, (x 1) ,所以, x 1
在 k 0时 , f ' (x) 0; 在 k 0时 ,由 f ' (x) 0 得: x 1 1 , 所以, k
在 k 0时 f (x)在 1, 上为增函数；
在
k 0时 f (x)在
1,1
1 k
上为增函数；在
1
1 k
,
上为减函数；
例 2：解：由已知得 f (x) 2x 1 a 2x2 x a , (x 0) ，
x
x
（1）当 1 8a 0 ， a 1 时， f (x) 0 恒成立， f (x) 在 (0, ) 上为增函数． 8
（2）当 1 8a 0 ， a 1 时， 8
8. 已知函数 f (x) ln x hx 1. （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若 f (x) 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围；
n ln i n(n 1) (n N * , n 1).
（Ⅲ）证明： i2 i 1
4
导数中的分类讨论问题参考答案
例 1.解： f (x) 的定义域为（0，+∞）， f ' x p 2 p 1x 2 p 1x2 p