2022年最新鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程单元测试试题(含解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第八章一元二次方程单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知a 、b 、c 是三个不全为0的实数，那么关于x 的方程x 2＋（a ＋b ＋c ）x ＋a 2＋b 2＋c 2＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个负根
B ．有两个正根
C ．两根一正一负
D ．无实数根
2、受疫情及其他因素影响，2021年2月份猪肉价格两次大幅度上涨，排骨价格由原来23元/千克，连续两次上涨x %后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）
A ．()2231%60x -=
B ．()2312%60x +=
C ．()2231%60x +=
D ．()231%60x +=
3、将方程x 2+6x +1=0配方后，原方程可变形为（ ）
A ．（x +3）2=﹣10
B ．（x ﹣3）2=﹣10
C ．（x ﹣3）2=8
D ．（x +3）2=8
4、已知m 、n 是2250x x --=两个不相等的实数根，若m n <，则m 满足的条件是（ ）
A ．32m -<<-
B ．21m -<<-
C ．10m -<<
D ．01m <<
5、若关于x 的方程()()2
2222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（ ）
A ．－4
B ．2
C ．－4或2
D ．4或－2 6、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A ．220x x -=
B ．1x y +=
C ．11x x +=
D ．321x x +=
7、2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD 与EFGH 均为正方形，若,AG BH CE DF a ====,AF BG CH DE b ====且正方形EFGH 的面积为正方形ABCD 的面积的一半，则a ：b 的值为（ ）
A ．2
B
C ．2
D ．28、已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝－4，x 2＝7，则原方程可化为（ ）
A ．（x －4）（x －7）＝0
B ．（x ＋4）（x ＋7）＝0
C ．（x －4）（x ＋7）＝0
D ．（x ＋4）（x －7）＝0
9、若x ＝1是方程x 2﹣4x +m ＝0的根，则m 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．﹣5
C ．3
D ．5
10、一元二次方程2160x x -=的根是（ ）
A ．0x =
B ．14x =，24x =-
C ．16x =
D ．10x =，216x =
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正方形 ABCD 边长为 2,CE BD BE BD =∥，，则 CE =_____________
2、从3-，0，1，2这四个数中任取一个数，作为关于x 的方程2320ax x ++=中a 的值，则该方程有实数根的概率为_________．
3、若关于x 的二次方程（m ﹣1）x 2＋2mx ＋m ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．
4、某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x ，可列方程为__________
5、若方程2(1)30m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、解方程：
(1)（x ﹣4）（5x +7）＝0；
(2)x 2﹣4x ﹣6＝0．
2、已知关于x 的方程mx 2－（m ＋2）x ＋2＝0（m ≠0）．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m 的值．
3、已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 是常数，0a ≠）的两个实数根分别为1x ，
2x ，证明：12b x x a +=-，12c x x a
⋅=．
4、解方程：
（1）2280x x --=
（2）()33x x x -=-．
5、解方程：
(1)x 2-2x=0
(2)x 2-4x +1=0
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
先计算出Δ＝（a +b +c ）2﹣4（a 2+b 2+c 2）＝﹣3a 2﹣3b 2﹣3c 2+2ab +2bc +2ac ，然后进行配方得到Δ＝﹣（a ﹣c ）2﹣（b ﹣c ）2﹣（a ﹣b ）2﹣a 2﹣b 2﹣c 2，再根据a 、b 、c 是三个不全为0的实数，即可判断Δ＜0，从而得到方程根的情况．
【详解】
解：∵Δ＝（a +b +c ）2﹣4（a 2+b 2+c 2）
＝﹣3a 2﹣3b 2﹣3c 2+2ab +2bc +2ac
＝﹣（a ﹣c ）2﹣（b ﹣c ）2﹣（a ﹣b ）2﹣a 2﹣b 2﹣c 2，
而a 、b 、c 是三个不全为0的实数，
∴（a ﹣c ）2﹣（b ﹣c ）2﹣（a ﹣b ）2﹣≤0，-a 2﹣b 2﹣c 2＜0，
∴Δ＜0，
∴原方程无实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2 + bx +c=0(a、b、c为常数，a≠0)的根的判别式△=b2-4ac，当
△>0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△< 0，原方程没有实数根；将代数式进行合理变形判断△的正负性是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
利用经过两次上涨后的猪肉价格=原价×（1+每次上涨的百分数）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：23（1+x%）2=60．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
∵x2+6x+1=0，
∴x2+6x=-1，
则x2+6x+9=-1+9，即（x+3）2=8，
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
先利用公式法求出方程的两根，可得
1m =，再求出1
【详解】
解：∵2250x x --=，
()()2
245240∆=--⨯-=> ，
解得：1211x x ==，
∵m 、n 是2250x x --=两个不相等的实数根， m n <，
∴1m =，
∵23<< ，
∴32-<-，
∴211-<-，即21m -<<-．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，无理数的估算，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值．
【详解】
解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，
解得：14y =-，22y =，
当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解，
当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，
22x x ∴+的值为2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．
6、A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可得答案．
【详解】
220x x -=是一元二次方程，故A 选项符合题意，
1x y +=是二元一次方程，故B 选项不符合题意，
11x x
+=是分式方程，故C 选项不符合题意， 321x x +=含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故D 选项不符合题意，
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键．
7、D
【解析】
【分析】
根据题意可得正方形EFGH 的面积为2()a b -，正方形ABCD 的面积为22()a b +，然后列出方程求解即可．
【详解】
解：AG BH CE DF a ====，AF BG CH DE b ====，
∴正方形EFGH 的面积为2()a b -，正方形ABCD 的面积为22()a b +，
正方形EFGH 的面积为正方形ABCD 的面积的一半，
2221()()2
a b a b ∴-=+， 2240a ab b ∴-+=， ∴40a b b a
-+=， 设a x b =，
140x x ∴-+
=，
2410x x ∴-+=，
解得12x =22x =
0a b >>， ∴1a b
>，
:a b ∴的值为2
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解题的关键是掌握勾股定理．
8、D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】 解：关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为14x =-，27x =，
47p ∴-+=-，47q -⨯=，
3p ∴=-，28q =-，
∴原方程可化为(4)(7)0x x +-=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
9、C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解，把1x =代入方程240x x m -+=得到关于m 的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】
解：把1x =代入240x x m -+=得140m -+=，
解得3m =．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10、D
【解析】
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
解：2160x x -=，
(16)0x x -=，
0x =或160x -=，
则120,16x x ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
二、填空题
126
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得BE BD ==E 作EG ⊥BC 于G ，证明三角形EGC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形BEG 利用勾股定理列方程即可．
【详解】
过E 作EG ⊥BC 于G
∵正方形 ABCD 边长为2
∴BE BD ==45DBC ∠=︒
∵CE BD ∥
∴45DBC ECG ∠=∠=︒
∴三角形EGC 是等腰直角三角形
∴EG CG x ==，CE =
在Rt △BEG 中，222BG EG BE +=
∴222(2)x x ++=
解得：1x =-±
∴1EG CG == ∴
CE 【点睛】
本题考查正方形的性质及勾股定理，解题的关键是证明三角形EGC 是等腰直角三角形，最终根据勾股定理列方程计算即可．
2、34
##0.75 【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，可得0a ≠,根据一元二次方程的判别式的意义得到2380a ∆=-≥，可得
98
a ≤，然后根据概率公式求解． 【详解】
解：∵当2380a ∆=-≥且0a ≠，一元二次方程2320ax x ++=有实数根 ∴98
a ≤且0a ≠ 当a =0时，方程有实数根
∴从3-，0，1，2这四个数中任取一个数，符合条件的结果有3,1-，0
∴所得方程有实数根的概率为34
故答案为：34
【点睛】
本题考查了列举法求概率，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
3、m ＞23
且m ≠1 【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：2(2)4(1)(2)010m m m m ⎧--->⎨-≠⎩
，进而即可求出m 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +3＝0有两个不相等的实数根，
∴2(2)4(1)(2)010m m m m ⎧--->⎨-≠⎩
， 解得m ＞23
且m ≠1． 故答案为：m ＞23
且m ≠1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键．
4、2500
1+)720x =（ 【解析】
【分析】
第一天500本，第二天增长500x 本，第二天实际为（500+500x ）本，第三天增长（500+500x ）×x 本，本，第三天实际为[（500+500x ）+（500+500x ）×x ]本，整理，这个数量就是720本，建立等式即可．
【详解】
根据题意，得2500
1+)720x =（，
故答案为：2500
1+)720x =（． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解平均增长率是解题的关键．
5、m ≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：根据一元二次方程的定义可得：m -1≠0，
解得：m ≠1，
故答案是：m ≠1．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
三、解答题
1、 (1)1274,5
x x ==-
(2)1222x x ==【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程方程即可得；
（2）利用配方法解一元二次方程即可得．
(1)
解：(4)(57)0x x -+=，
40x -=或570x +=，
4x =或7
5x =-， 即1274,5
x x ==-． (2)
解：2460x x --=，
246x x -=，
24464x x -+=+，
2(2)10x -=，
2x -=
2x =
即1222x x ==
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，常见方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，熟练掌握方程的解法是解题关键．
2、 (1)见解析
(2)1或2
【解析】
（1）根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式解答即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x 1＝1，x 2＝
2m ，由已知可得出2m
为不等于1的整数，结合m 为整数即可求出m 值．
(1)
由题意可知：m ≠0，
∵Δ＝（m +2）2﹣8m
＝m 2+4m +4﹣8m
＝m 2﹣4m +4
＝（m ﹣2）2，
∴Δ≥0，
故不论m 为何值时，方程总有两个实数根；
(2)
解：由已知，得（x -1）（mx -2）=0，
∴x -1=0或mx -2=0，
∴11x =，22x m =， 当m 为整数1或2时，x 2为正整数，
即方程的两个实数根都是正整数，
∴整数m 的值为1或2
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与其判别式的关系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与其判别式的关系是解答的关键．
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的求根公式和分式的混合运算法则解答即可．
【详解】
证明：∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 是常数，0a ≠）的两个实数根分别为1x ，2x ，
∴△= 24b ac -≥0，
设1x =，2x =，
∴1222b b x x a a
-+===-，
221222(4)444b b ac ac c x x a a a
--⋅====， 即12b x x a +=-，12c x x a
⋅=． 【点睛】
本题考查证明一元二次方程的根与系数关系，涉及一元二次方程的求根公式、平方差公式、分式的混合运算，熟知一元二次方程的求根公式是解答的关键．
4、（1）12x =-，24x =；（2）13x =，21x =
【解析】
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
（1）2280x x --=
()()240x x +-=
解得122,4x x =-=
（2）()33x x x -=-
()()330x x x ---=
()()130x x --=
解得123,1x x ==
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5、 (1)x 1=0或x 2=2
(2)x 1x 2【解析】
【分析】
（1）将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(1)
解：x 2-2x =0，
提公因式得：
x （x -2）=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0或x2=2；
(2)
x2-4x+1=0，
移项：x2-4x=-1，
配方：x2-4x+4=-1+4，
即（x-2）2=3，
由平方根的意义得：
∴x-
∴x1x2
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。