数学人教A版选修2-2预习导航：1.5 定积分的概念(第2课时)

预习导航
1．定积分的概念
一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x i …＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式
∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
b －a
n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作
b
a
⎰
f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1
n
b －a
n f (ξi )，这里a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．
思考1在定积分的定义中，对区间[a ，b ]的分法是否是任意的？ξi 的取法是否是任意的？ 提示：定积分定义中，对于区间[a ，b ]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．另外，关于ξi 的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把ξi 都取为每个小区间的左(或右)端点．
思考2定积分
b
a
⎰
f (x )d x 中，定积分的值与积分变量、积分区间有关系吗？
提示：定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即b
a
⎰
f (x )d x ＝
b a
⎰
f (u )d u ＝
b a
⎰f (t )d t ＝…(称为积分形式的不
变性)，另外定积分
b a
⎰
f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分
上限与下限不同，所得的值也就不同，例如
10
⎰
(x 2＋1)d x 与
30
⎰
(x 2＋1)d x 的值就不同．
2．定积分的几何意义
如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分b
a
⎰
f (x )d x 表示由直线x ＝a ，
x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．
思考3在区间[a ，b ]上函数f (x )＜0时，
b a
⎰
f (x )d x 表示的含义是什么？
提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方，如图所示．
⎰f(x)d x＜0，这时它等于图中所示由于Δx i＞0，f(ξi)＜0，故f(ξi)·Δx i＜0，从而定积分b
a
⎰f(x)d x＝－S或S＝b a-⎰f(x)d x.
曲边梯形面积S的相反数，即b
a
3．定积分的基本性质
⎰kf(x)d x＝k b a⎰f(x)d x(k为常数)；
(1)b
a
⎰[f1(x)±f2(x)]d x＝b a⎰f1(x)d x±b a⎰f2(x)d x；
(2)b
a
⎰f(x)d x＝c a⎰f(x)d x＋b c⎰f(x)d x(其中a＜c＜b)．
(3)b
a
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。