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3.2 外测度
一. 外测度概念
定义1 设}{,n n I R E ⊂为n R 中的一列开区间, 则称
{
}
E I I u u n n n n ⊃=∞
=∞=∑ 11,:inf
为E 的Lebesgue 外测度, 简称为外测度, 记为E m *.
注 (1) 点集的外测度也就是集合的所有可数开区间覆盖中诸开区间体积之和的下确界, 若记{
}
E I I u u U n n n n E ⊃=
=∞
=∞=∑ 11,:, 则.inf *E U E m =
(2) n R 中的任意集合都有外测度，外测度非负，但可能为无穷.
(3) 若外测度为无穷, 则意味着对集合的任意可数开区间覆盖来说它的各个区间的体积之和为无穷.
若外测度有限, 则意味着集合存在一个可数开区间覆盖, 它的各个区间的体积之和有限.
∞<=a E m *等价于: 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I 都有a I n n ≥∑∞
=1, 且对任意的
0>ε, 存在一可数开区间覆盖}{n I 使得ε+<∑∞
=a I n n 1.
不管怎样, 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I , 均有E m I n n *1
≥∑
∞=.
例1 对空集∅, 有0*
=∅m . 例2 任何单点集的外测度均为0.
证明 不妨以1
R 为例, 设单点集10}{R x ⊂, 则: (1) 对}{0x 的任一可数开覆盖}{n I , 均有
01
≥∑
∞=n n I ;
(2) 0>∀ε, 取}{0x 的如下可数开覆盖}{n I :
},,),4
,4{(00 ∅∅+-
ε
ε
x x . 则
εε
<=
∑∞
=2
1n n I .
例3 对任何有界点集E , 均有+∞<E m *
. 二. 外测度的性质
定理1 (1) 单调性: F m E m F E *
*
≤⇒⊂.
(2) 次可数可加性: ∑∞
=∞=≤1*1*)(
n n n n E m E m .
(2)换成有限个的情形也是成立的, 此时称为次可加性
证明 证(1): ⇒⊂F E F 的任何可数开覆盖均为E 的可数开覆盖 F m E m U U U U F E F E **i n f i n f ≤⇒≤⇒⊃⇒. 证(2): 不妨设
+∞<∑
∞
=1
*n n E m , 故.,2,1,*
=+∞<n E m n 对0>∀ε, 下面证明
ε+<∑∞
=∞=1*1*)(n n n n E m E m .
∃∀,n E 开区间列},2,1,{
=m I m n , 使 n m n E I m ⊃∞
= 1,
n
n m n E m I m 2
*1ε
+
<∑∞
=.
从而
∞
=∞
=∞
=⊃111n n n m n E I m
.21*1*
11
εε+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+<∑∑∑∑∞=∞
=∞=∞
=n n n n n n m n E m E m I
m
由单调性和次可数可加性，容易得到 推论1 任何可数点集的外测度为零.
推论2 若一个集合的外测度为零，则它的任意子集的外测度也为零. 推论3 设n R E E ⊂21,, ∞<2*E m , 则()2*1*21*\E m E m E E m -≥. 证明 因为()212211\E E E E E E =⊂, 由单调性得到
()()21*2*21*1*\E E m E m E E m E m +≤≤ .
又∞<2*E m , 移项就得到所要结果. 以下的定理均以一维情形为例
定理 2 若()0,>F E ρ, 则()F m E m F E m *
*
*
+= . 即当集合间的距离大于零时, 外
测度有可加性.
为证明此定理, 我们先给出一个引理.
引理1 设开区间1
),(R I ⊂=βα和0>d , 则对0>∀ε, 存在有限个开区间
n I I I ,,,21 使得 n
i i I I 1=⊂, n i d I m i ,,2,1,* =<,
ε+<∑
=I I n i i 1
.
证明 不妨设d I ≥. 首先将区间I 分成有限个小开区间m L L L ,,,21 , 使得
m i d L i ,,2,1, ==<, 设其分点为121,,,-m a a a . 再在每一分点1,,2,1,-=m i a i 处
作小开区间i J 使得i i J a ∈, d J i <,
ε<∑
-=1
1
m i i J (1,,2,1-=m i ). 则开区间
12121,,,,,,,-m m J J J L L L 即为所求.
定理2的证明 设()0,>=d F E ρ.
由外测度的次可加性, 我们只需证明()F m E m F E m ***+≥ . 不妨设()∞<F E m *. 对0>∀ε, 下面证明
()ε+<+F E m F m E m ***.
对该ε, 存在开区间列}{n I , 使
F E I n n ⊃∞
=1,
2
)(*1ε
+
<∑∞
=F E m I n n .
由引理1, n ∀, 存在有限个开区间)
()
(2)
(1,,,n m n n n I I I 使得
n m
k n k n I I 1)(=⊂, n n k m k d I ,,2,1,)( =<;1
1)
(2
+=
+<∑n n m
k n k
I I n ε
.
则
F E I I n n n m k n k n
⊃⊃∞
=∞
==111)(
()εεε+<+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∑∑∑∞=∞=+∞
==F E m I I I n n n n n n m k n k n
*11111)
(22.
将{}
)
(n k I 的全体记为{}n K , 由()0,>=d F E ρ和d K n <知道每一n K 不能与F E ,同时相
交, 故可将{}n K 分成与E 相交的一组{})
1(i K 及和F 相交的一组{})(j i
K , 则这两组无公共元
且 i i
K E )
1(⊂
, j j
K F )
2(⊂
, 从而有
()ε+<≤+≤+∑∑∑∑∞==F E m I K K F m E m n m
k n k
j
j
i
i
n
*11)()
2()
1(**, 即是说()F m E m F E m *
*
*
+≥ . 定理得证.
定理3 对任何区间I , 均有I I m =*
.
这说明外测度是一般“长度、面积、体积”等概念的推广.
证明 (1) 设I 为闭区间, 比如],[b a I =.
对0>∀ε, 存在开区间K , 使得K I ⊂, ε+<I K . 此时, 开区间列{} ,,,∅∅K 覆盖
I , 且ε+<≤I K I m *. 故有I I m ≤*.
另一方面, 对I 的任意开区间覆盖{}n I , 由Borel 有限覆盖定理, 存在有限的子覆盖
{}n I I I ,,,21 , 则易知∑∑∞==≤≤11i i
n i i I I I , 即是说I I m ≥*. 总之I I m =*
.
(2) 设I 为闭区间, 比如),(b a I =.
令],[b a I =, 则{}{}b a I I =. 由外测度的单调性, 单点集的测度为零得到
{}{}I m b m a m I m I m I m ******=++≤≤
再由第一步的结果得到I I I m I m ===*
*
. 也就是说当区间是开区间时结论成立 其他的情形类似.
定理4 外测度具有平移不变性, 即{}()0**x E m E m +=, 而{}{}E x x x x E ∈+=+:00. 证明 首先注意到开区间平移后仍是开区间, 且保持体积不变. 对E 的任意可数开区间覆盖{}n I , 则{}{}0x I n +必是{}{}0x E +的开区间覆盖. 故有
{}{}()0*101x E m x I I n n n n +≥+=∑∑∞
=∞
=.
因而由E 的开区间覆盖的任意性得到{}()0**x E m E m +≥. 类似的也得到{}()0**x E m E m +≤. 即有{}()0**x E m E m +=.。