山东省师范大学附属中学高三数学上学期第三次模拟考试试题文

山东师大附中2015级高三第三次模拟考试
数学（文科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共22题,共150分. 考试用时120分钟. 注意事项：
1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持答题卡卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液,修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合}02|{2
<--=x x x M ,集合}11|{<<-=x x N ,则=N M
A. }11|{<<-x x
B. }12|{<<-x x
C.}21|{<<-x x
D.}2|{->x x 2. 若()()sin 2f x x θ=+,则“()f x 的图象关于(
,0)6
π
成中心对称”是“3
π
θ=-
”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3. 已知}{n a 是公差为2的等差数列.若485a a =,则=10a A. 6 B. 12 C. 14 D. 18 4. 若1,0>>>c b a ,则
A. c c b a log log >
B. c
c
b a < C. b
a
c c < D. b a c c log log > 5. 函数)1ln(sin )(2
+⋅=x x x f 的部分图象可能是
A. B. C. D.
6. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象,可以将函数x y 3sin 2=的图象
A. 向右平移12π个单位
B. 向右平移4π
个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向左平移12
π
个单位
7. 已知b a ,均为正实数,且3=+b a ,则b
a 1
1+的最小值为
A.
32 B.322 C.34 D.324
8. 有人发现,多看手机容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
附：K 2
=
附表：
则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为
A. %99
B. %5.97
C. %95
D. %90 9. 在区间[,]62
ππ
-
上随机取一个数x ,则sin cos [1x x +∈的概率是 A.
32 B.43 C.21 D.31 10. 已知函数)4ln(ln )(x x x f -+=,则
A. )(x f 在)4,0(单调递增
B. )(x f 在)4,0(单调递减
C. )(x f y =的图象关于直线x ＝2对称
D. )(x f y =的图象关于点)0,2(对称
11. 设错误！未找到引用源。

满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧+≥≥-≥1132x y y x x 错误！未找到引用源。

,则下列不等式
恒成立的是
A.错误！未找到引用源。

3≥x
B.错误！未找到引用源。

4≥y
C.
05≥-+y x D.错误！未找到引用源。

012
5
≥+-y x
12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()11,2'1f f x =<且,当[0,2]x π∈时,不等式
()2
1
2cos 2cos 22
x f x <-的解集为 A. )6,6(π
π-
B. )3,3(ππ-
C. ]2,65()6,0[πππ⋃
D. ]2,3
5()3,0[ππ
π⋃ 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题,每小题5分.
13. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书不相邻的概率为 .
14. 在数列}{n a 中,n n a a a 2,311==+,n S 为}{n a 的前n 项和.若189=n S ,则=n . 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ,ω,ϕ是常数,0A >,0ω>）的部分图象如图所示,则()3
f π
-的值是
______．
16. 已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边,
C B A sin sin sin ，，成等比数列,当B 取最大值时,C A sin sin +的
最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知函数13)(-++=x x x f . （I ）求不等式5)(≥x f 的解集；
（II ）若a a x f 3)(2-≥对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 是等比数列,首项11=a ,公比0>q ,其前n 项和为n S ,且,11a S +,33a S +
22a S +成等差数列,1log 22
1+=n n a b .
（I ）求数列}{n a 的通项公式; （II ）求数列}1
{
1
+n n b b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）
在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，
3=c ，C A sin 6sin =． （I ）求a 的值；
（II ）若角A 为锐角，求b 的值及∆ABC 的面积． 20.（本小题满分12分）
已知函数()3
2
+3f x x mx nx =+-,在2=x 处的切线方程为053=-+y x .
（I ）求函数()f x 的极值;
（II ）若方程()240f x a a -+=(R a ∈) 有三个不等的实数根,求实数a 的取值范围． 21. （本小题满分12分）
某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
经计算
6554
1
=⋅∑=i i
i y
x .附：x b y a
x n x
y x n y
x b
n
i i
n
i i
i ˆˆ,ˆ2
1
2
1
-=-⋅-⋅=∑∑==. （I ）根据上表中的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程; （II ）根据上述回归方程,预测广告费用为10万元时,销售额为多少万元？ 22.（本小题满分12分） 已知函数22
1)1()(ax e x x f x
-
-=.
（I ）讨论)(x f 的单调性；
（II ） 若)(x f 有两个零点,求实数a 的取值范围．
山东师大附中2015级高三第三次模拟考试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题 （13）
31； （14）6； （15）2
6-； （16）3. 三、解答题
17. 【解析】（1）当3-<x 时，513≥-+--x x 27-≤⇒x ，所以2
7
-≤x ； 当13≤≤-x 时，513≥-++x x ，恒不成立 ；
当1>x 时，513≥-++x x 23≥
⇒x ，所以23
≥x 。

综上，不等式的解集为}
2
3
27{≥-≤x x x 或
…5分
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤≤--<--=1,2213,43
,22)(x x x x x x f ，4)(max =x f
所以432
≤-a a 41≤≤-⇒a ，所以 41≤≤-a 。

…10分
18. 【解析】（1）由题意知221133)(2a S a S a S +++=+，
即221113321)(2a a a a a a a a a ++++=+++，所以213144q a a a ==，解得2
1±=q ， 因为0>q ，所以21=
q 。

所以1
1)2
1()21(1--=⨯=n n n a 。

…………6分 （2） 121log 21log 21)2
1
(2
1
2
1-=+=+=-n b n n
a n
)121
121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n b b n n 12)1211(21)12112151313111(21+=+-=+--++-+-=
n n n n n C n 。

…………12分
19.【解析】解：（I ）
0A <<π，
由正弦定理
sin sin a c
A C
=
（Ⅱ）
cos A =
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2
2150b b --=．
解得5b =或3b =-（舍负）．
20. 【解析】（1）定义域为R ，()2
32f x x mx n '=++
⎪⎩⎪⎨⎧-=+⨯+⨯+=-=+⨯+⨯='13222)2(32223)2(2
32
n m f n m f 解得⎩⎨⎧=-=96n m 。

()2
3129f x x x '=-+， ()23129=3(3)(1)0f x x x x x '=-+--=，解得13==x x 或，
所以3)3()(,1)1()(-====f x f f x f 极小值极大值…………8分 （2）()24f x a a =-，所以2
341a a -<-<，
解得523152+<<<<-a a 或………12分 21.【解析】（1）
54251694,17258493926,1454324
1
2
41
41
=+++==+++==+++=∑∑∑===i i i i i i x y x ，
434
172
,5.3414====
y x ，
9.55.36.1043ˆ,6.105
.345443
5.34655ˆ2
2
4
1
2
4
1
=⨯-==⨯-⨯⨯-=
-⋅-⋅=∑∑==a x n x
y
x n y
x b
i i
i i
i ， 所以线性回归方程为9.56.10+=x y 。

................8(分) （2）预测广告费用为10万元时，9.1119.5106.10=+⨯=y （万元）
所以预测广告费用为10万元时,销售额为111.9万元. ................12(分)
22.【解析】(1)f ′(x )＝e x
+(x －1)e x
-ax ＝x (e x
-a )．
(i)设a ≤0，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以
f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(ii)设a ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝ln a ． ① 若a ＝1，则f ′(x )＝x (e x
-1) ≥0， 所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．
② 若0＜a ＜1，则ln a ＜0，故当x ∈(－∞，ln a )∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln
a ，0)时，f ′(x )＜0，
所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)单调递增，在(ln a ，0)单调递减．
③若a ＞1，则ln a ＞0，故当x ∈(－∞，0)∪(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，ln a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)单调递增，在(0，ln a )单调递减．
综上所述，当a ≤0时f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；当0＜a ＜1时
f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)单调递增，在(ln a ，0)单调递减；当a ＝1时f (x )在(－∞，
＋∞)单调递增；当a ＞1时f (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)单调递增，在(0，ln a )单调递减．
(2)(i)设a ≤0，则由(1)知，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又f (0)＝－1，f (1)＝－12a ，取b 满足b ＜-3且b =ln(－a )，则f (b )＞-a (b －1)－12a b
2＝－12
a (
b 2
+2b -2)＞0.
所以f (x )有两个零点．
(ii)设a ＝1，则f (x )＝x (e x
-1)，所以f (x )只有一个零点．
(iii)设0＜a ＜1，则由(1)知，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)单调递增，在(ln a ，0)单调递减，f (0)＝－1, 当b ＝ln a 时，f (x )有极大值f (b )=a (b －1)－12a b 2＝－1
2
a (
b 2-2b +2)
＜0，故f(x)不存在两个零点；当a＞1时，则由(1)知，f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝－1＜0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为a≤0．。