河北省邯郸市永年二中高二数学上学期12月月考试卷理(含解析)

一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，
只有一项为哪一项切合题目要求的）
1．（ 5 分）已知复数是纯虚数，则实数a=（）
A．﹣2B． 4C．﹣6D． 6
2．（ 5 分）已知会合M={y|y=2 x，x＞ 0} ，N={x|y=lg （ 2x﹣ x2）} ，则 M∩N为（）
A．（1，2）B．（ 1，+∞）C． [2 ，+∞）D． [1 ，+∞）
3．（ 5 分）已知向量=（ 1， 2x）， =（4，﹣ x），则“ x=”是“⊥ ”的（）
A．充足不用要条件B．必需不充足条件
C．充要条件D．既不充足也不用要条件
4．（ 5分）在递加的等比数列{a n} 中， a1+a n=34， a2a n﹣1=64，且前 n 项和 S n=42，则项数 n 等于（）
A． 6B． 5C． 4D． 3
5．（ 5分）函数的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（ 1，2）C．（2，3）D．（ 3， 10）
6．（ 5 分）已知实数x∈ [1 ，9] ，履行如下图的流程图，则输出的x 不小于 55 的概率为（）
A．B．C．D．
7．（ 5 分）已知f （ x）是定义在（﹣∞， +∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0] 上是增函数，
设 a=f （ log 47）， b=f （），c=f（0.2﹣0.6），则a，b，c的大小关系是（）
A． c＜ a＜ b B． c＜ b＜ a C． b＜ c＜a D． a＜ b＜c
8．（ 5 分）已知函数 f （ x） =，则（）
A．B．C．D．
9．（5 分）一个圆锥被过极点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为（）
A．+1 B．+1 C．
D．
10．（ 5 分）已知M（ x， y）为由不等式组，所确立的平面地区上的动点，若点
，则的最大值为（）
A． 3B．C． 4D．
11．（ 5 分）对于函数 f （ x）=x3cos3 （ x+），以下说法正确的选项是（）
A． f （ x）是奇函数且在（）上递减
B． f （ x）是奇函数且在（）上递加
C． f （ x）是偶函数且在（）上递减
D． f （ x）是偶函数且在（）上递加
12（． 5 分）已知函数 y=f（ x）是定义域为R的偶函数．当 x≥0时，（f x）=
若对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （x） +b=0，a， b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数 a 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）
13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y=ax 2+（a，b为常数）过点P（2，﹣ 5），
且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行，则a+b 的值是．
14．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的六个极点都在球 O的球面上．若AB=BC=2，∠ ABC=90°，AA1 =2，则球O的表面积为．
15．（ 5 分）已知△ ABC 中的内角为 A， B， C，重心为G，若
2sinA=，则cosB=．
16．（ 5 分）定义函数 f （ x）={x?{x}}，此中 {x} 表示不小于x 的最小整数，如 {1.5}=2，{ ﹣
2.5}= ﹣ 2．当 x∈（
*
时，函数 f （ x）的值域为
n n
中元素的个数为0， n] ， n∈ N A ，记会合A
a n，则=．
三、解答题
17．（ 10 分）已知 a， b， c 分别为△ ABC的内角 A， B， C的对边，且C=2A， cosA=．
（1）求 c： a 的值；
（2）求证： a， b，c 成等差数列．
18．（ 12 分）已知向量．
（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；
（2）设函数，已知在△ ABC中，内角A， B， C 的对边分别为a， b，c，若 a=，求的取值范
围．
19．（ 12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠ BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为 A′B和 B′C′的中点．
（Ⅰ）证明： MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣ MNC的体积．
（椎体体积公式V= Sh，此中 S 为底面面积， h 为高）
20．（ 12 分）设函数f （ x）=e x（ ax 2+x+1），且 a＞ 0，求函数 f （ x）的单一区间及其极大值．
21．（ 12 分）已知数列{a n} 是各项均不为0 的等差数列，公差为 d， S n为其前 n 项和，且满
足
*n n n ， n∈ N．数列 {b } 知足， T为数列 {b } 的前 n 项和．1n
（1）求 a 、 d 和 T ；
（2）若对随意的n∈ N*，不等式恒建立，务实数λ 的取值范围．22．（ 12 分）设函数 f （ x） =．
（1）求函数 f （ x）在 [ ， 2] 上的最值；
（2）证明：对随意正数 a，存在正数 x，使不等式 f （ x）﹣ 1＜ a 建立．
河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期 12 月月考数学试卷（理科）
参照答案与试题分析
一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，
只有一项为哪一项切合题目要求的）
1．（ 5 分）已知复数是纯虚数，则实数 a=（）
A．﹣2B． 4C．﹣6D． 6
考点：复数代数形式的混淆运算．
专题：计算题．
剖析：化简复数，由纯虚数的定义可得对于 a 的式子，解之可得．
解答：解：化简可得复数==，
由纯虚数的定义可得a﹣ 6=0，2a+3≠0，
解得 a=6
应选： D
评论：本题观察复数代数形式的混淆运算，波及纯虚数的定义，属基础题．
2．（ 5 分）已知会合M={y|y=2 x，x＞ 0} ，N={x|y=lg （ 2x﹣ x2）} ，则 M∩N为（）A．（1，2）B．（ 1，+∞）C． [2 ，+∞）D． [1 ，+∞）
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
剖析：经过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出会合N，而后再求 M∩N．
解答：解： M={y|y ＞ 1} ， N中 2x ﹣ x2＞0∴N={x|0 ＜ x＜ 2} ，
∴M∩N={x|1 ＜ x＜ 2} ，
应选 A
评论：本题观察指对函数的定义域和值域，不要弄混．
3．（ 5 分）已知向量=（ 1， 2x）， =（4，﹣ x），则“ x=”是“⊥ ”的（）
A．充足不用要条件B．必需不充足条件
C．充要条件D．既不充足也不用要条件
考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．
专题：简略逻辑．
剖析：先求出⊥的充要条件是 x=±，从而获得答案．
解答：解：⊥
2
，? ? =0? 4﹣ 2x =0? x=±
故 x=±是⊥的充足不用要条件，
应选： A．
评论：本题观察了充足必需条件的定义，观察了向量垂直的性质，是一道基础题．
4．（ 5 分）在递加的等比数列{a n} 中， a1+a n=34， a2a n﹣1=64，且前 n 项和 S n=42，则项数 n 等于（）
A． 6B． 5C． 4D． 3
考点：等比数列的前n 项和．
专题：等差数列与等比数列．
剖析：设等比数列 {a n} 的公比为 q，由 a2a n﹣1=64，可得 a1a n=64．与 a1+a n=34 联立，又递加的等比数列 {a } ，解得 a ，a ．由前 n 项和 S =42，利用=42，解得 q．再利用通项n1n n
公式即可得出．
解答：解：设等比数列 {a } 的公比为 q，∵a a=64，∴a a =64．
n 2 n﹣ 11n
又 a1+a n=34，联立，又递加的等比数列{a n} ，
解得 a1=2， a n=32．
∵前 n 项和 S n=42，
∴=42，即=42，解得 q=4．
∴32=2×4n﹣1，解得 n=3．
应选： D．
评论：本题观察了等比数列的性质、通项公式及其前 n 项和公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（ 5 分）函数的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（ 1，2）C．（2，3）D．（ 3， 10）
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题．
剖析：本题观察的知识点是函数零点，要想判断函数零点所在的区间，我们能够将四个答案中的区间一一代入进行判断，看能否知足 f （ a）?f （ b）＜ 0，
解答：解：∵ f （ 2） =＜ 0
f （ 3） =＞ 0
∴f（ 2）?f （ 3）＜ 0
∴f （ x）的零点点所在的区间是（2， 3）
应选 C
评论：连续函数 f （ x）在区间（ a， b）上，假如 f （ a）?f （ b）＜ 0，则函数 f （ x）在区间（ a， b）必定存在零点．
6．（ 5 分）已知实数x∈ [1 ，9] ，履行如下图的流程图，则输出的x 不小于 55 的概率为（）
A．B．C．D．
考点：循环结构．
专题：图表型．
剖析：由程序框图的流程，写出前三项循环获得的结果，获得输出的值与输入的值的关系，
令输出值大于等于55 获得输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x 不小于 55的概率．
解答：解：设实数 x∈ [1 ，9]，
经过第一次循环获得x=2x+1 ，n=2，
经过第二循环获得x=2（ 2x+1） +1， n=3，
经过第三次循环获得x=2[2 （2x+1） +1]+1 ， n=4 此时输出 x，
输出的值为 8x+7 ，
令 8x+7≥55，得 x≥6，
由几何概型获得输出的x 不小于 55 的概率为P== ．
应选 B．
评论：解决程序框图中的循环结构时，一般采纳先依据框图的流程写出前几次循环的结果，
依据结果找规律．
7．（ 5 分）已知 f （ x）是定义在（﹣∞， +∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0] 上是增函数，设 a=f （ log 47）， b=f （）， c=f （0.2 ﹣0.6），则 a，b， c 的大小关系是（）
A． c＜ a＜ b B． c＜ b＜ a C． b＜ c＜a D． a＜ b＜c
考点：函数单一性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
剖析：由 f （ x）是偶函数，则 f （ x） =f （ |x| ），单一性在对称轴双侧相反，经过比较自
变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小．
解答：解：∵ f （ x）是偶函数，∴ f （ x） =f （ |x| ），
∵log 47=log 2＞1，|3|=|log23﹣1|=log 23，
又∵ 2=log 24＞log 23＞ log 2＞ 1，
0.2 ﹣0.6 ==50.6＞＞=2，
∴0.2 ﹣0.6＞|log 2 3| ＞|log 4 7| ＞0．
又∵ f （ x）在（﹣∞， 0] 上是增函数且为偶函数，∴f （ x）在 [0 ，+∞）上是减函数；
∴f （ 0.2﹣0.6
）＜ f （
4
）＜ f （ log 7）；即 c＜ b＜ a．
应选： B．
评论：本题观察了函数的单一性与奇偶性的应用，解题的重点是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小．
8．（ 5 分）已知函数 f （ x） =，则（）
A．B．C．D．
考点：定积分．
专题：导数的观点及应用．
剖析：先依据条件可化为（ x+1）2dx+dx ，再依据定积分以及定积分的几何意义，求出即可．
解答：解：（ x+1）2dx+dx，
∵（ x+1）2dx=（x+1）3|= ，
dx 表示以原点为圆心以 1 为为半径的圆的面积的四分之一，
故dx= π，
∴
2
dx==，（ x+1） dx+
应选： B
评论：本题主要观察了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题．
9．（5 分）一个圆锥被过极点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为（）
A．+1 B．+1C．
D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
剖析：由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．余下部分的几何体的表面积应为节余的圆
锥侧面，圆锥底面，截面三角形三部分面积之和．
解答：解：由三视图求得，圆锥母线l=，圆锥的高
h=，圆锥底面半径为r==
截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的，圆锥侧面节余，
S1=πrl==
底面节余部分为S2=+=
此外截面三角形面积为S3==
所以余下部分的几何体的表面积为S1+S2+S3=
应选 A
评论：本题观察几何体表面积计算．本题重点是弄清几何体的结构特点及表面组成状况，也
是易错之处．
10．（ 5 分）已知M（ x， y）为由不等式组，所确立的平面地区上的动点，若点
，则的最大值为（）
A．3B．C．4D．
考点：简单线性规划．
专题：数形联合；平面向量及应用．
剖析：由拘束条件作出可行域，化向量数目积为线性目标函数，数形联合获得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由拘束条件作出可行域如图，
∵， M（ x，y），
∴=，化为，
由图可知，当直线过 B（）时，
z 有最大值为：．
应选： C．
评论：本题观察了简单的线性规划，观察了平面向量的数目积，训练了数形联合的解题思
想方法，是中档题．
11．（ 5 分）对于函数 f （ x）=x3cos3 （ x+），以下说法正确的选项是（）
A． f （ x）是奇函数且在（）上递减
B． f （ x）是奇函数且在（）上递加
C． f （ x）是偶函数且在（）上递减
D． f （ x）是偶函数且在（）上递加
考点：函数奇偶性的判断；函数单一性的判断与证明．
专题：研究型．
剖析：由题设条件知，可先化简函数分析式，再研究函数的性质，依据得出的函数的性质
选出正确选项
解答：解： f （ x）=x3cos3 （ x+ ）=x3cos （ 3x+） =﹣ x3sin3x
因为 f （﹣ x） =﹣ x3sin3x=f （ x），可知此函数是偶函数，
又 x3与 sin3x 在（）上递加，可得 f （ x） =﹣x3 sin3x 在（）上递减，
比较四个选项， C 正确
应选 C
评论：本题观察函数奇偶性与函数单一性的判断，解题的重点是娴熟掌握函数奇偶性的判
断方法与函数单一性的判断方法，除了用定义法判断以外，掌握一些基本函数的单一性，利用基本函数的单一性判断一些由这些基本函数组合的函数的性质能够方便解题
12（． 5 分）已知函数 y=f（ x）是定义域为R的偶函数．当 x≥0时，（f x）=
若对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （x） +b=0，a， b∈R 有且仅有6 个不一样实数根，则实
数 a 的取
值范围是（）
A．B．
C．D．
考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．
剖析：要使对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （ x）+b=0，a，b∈ R 有且只有6 个不一样实数根，转
化为 t
2+at+b=0 必有两个根 t 、 t ，分类议论求解．
12
解答：解：依题意 f （ x）在（﹣∞，﹣ 2）和（ 0， 2）上递加，
在（﹣ 2， 0）和（ 2， + ∞）上递减，
当 x=±2时，函数获得极大值；
当 x=0 时，获得极小值0．要使对于x 的方程 [f （x） ] 2+af （x） +b=0， a， b∈ R有且只有6个不一样实数根，
设 t=f （ x），则则有两种状况切合题意：
（1），且，
此时﹣ a=t 1+t 2，则；
（2） t 1∈（ 0， 1] ，，
此时同理可得，
综上可得 a 的范围是．
应选答案C．
评论：本题观察了函数的性质，运用方程与函数的零点的关系，属于中档题．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）
13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y=ax 2+（a，b为常数）过点P（2，﹣ 5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行，则a+b 的值是﹣ 3．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
剖析：由曲线 y=ax2+（a，b为常数）过点P（ 2，﹣ 5），且该曲线在点P 处的切线与直
线 7x+2y+3=0 平行，可得y| x=2=﹣ 5，且 y′|x=2 =，解方程可得答案．
解答：解：∵直线7x+2y+3=0 的斜率 k=，
2
曲线 y=ax + （ a， b 为常数）过点P（ 2，﹣ 5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣，
∴，
解得：，
故 a+b=﹣ 3，
故答案为：﹣ 3
评论：本题观察的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，此中依据已知获得y| x=2 =﹣5，且 y′|x=2 =，是解答的重点．
111O的球面上．若AB=BC=2，∠ ABC=90°，14．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣ A B C 的六个极点都在球
1
，则球 O的表面积为 16π．
AA =2
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题．
剖析：依据直三棱柱的六个极点都在球O的球面上，结构长方体，则长方体的体对角线即
为球的直径，而后求出球的半径，即可求球的表面积．
解答：解：∵直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的六个极点都在球O的球面上，
且 AB=BC=2，∠ ABC=90°， AA1=2 ，
∴结构长方体，则长方体的外接球和直三棱柱ABC﹣ A1B1C1的外接球是同样的，则长方体的体对角线等于球的直径2R，
则 2R==，
∴R=2，
则球 O的表面积为
22
4πR=4π×2=16π，
故答案为： 16π．
评论：本题主要观察空间几何体的地点关系，利用直三棱柱结构长方体是解决本题的重点，
利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的打破点．
15．（ 5 分）已知△ ABC 中的内角为 A， B， C，重心为G，若
2sin A=，则 cosB=．
考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
剖析：利用正弦定理化简已知表达式，经过不共线，求出 a、b、c 的关系，利用
余弦定理求解即可．
解答：解：设 a，b， c 为角 A， B， C所对的边，由正弦定理
2sinA=，
可得 2a++3c =，则 2a+=﹣ 3c=﹣3c （﹣），
即（ 2a﹣ 3c）=，
又因∵不共线，则2a﹣ 3c=0，，即 2a==3c
∴，，
∴．
故答案为：．
评论：本题观察平面向量在几何中的应用，余弦定理以及正弦定理的应用，观察计算能
力．
16．（ 5 分）定义函数 f （ x）={x?{x}} ，此中 {x} 表示不小于 x 的最小整数，如 {1.5}=2 ，{ ﹣ *
a n，则=．
考点：数列的乞降．
专题：点列、递归数列与数学概括法．
剖析：依据 {x} 的定、 f（x）={x?{x}}，挨次求出数列 {a n} 的前 5 ，再出 a n=a n﹣1+n，
利用累加法求出 a ，再利用裂相消法求出的．
n
解答：解：由意易知：当n=1 ，因 x∈（ 0，1] ，所以 {x}=1 ，所以 {x{x}}=1 ，所以
A1={1} ， a1=1；
当 n=2 ，因 x∈（ 1，2] ，所以 {x}=2，所以 {x{x}} ∈（ 2，4] ，所以 A2={1 ，3，4} ，a2=3；
当 n=3 ，因 x∈（ 2， 3]，所以 {x}=3，所以 {x{x}}={3x}∈（ 6，9] ，所以 A ={1 ， 3， 4，
3
7， 8， 9} ，a =6；
3
当 n=4 ，因 x∈（ 3， 4]，所以 {x}=4，所以 {x{x}}={4x}∈（ 12， 16] ，
所以 A ={1 ， 3， 4， 7，8， 9， 13， 14， 15， 16} ， a =10；
44
当 n=5 ，因 x∈（ 4， 5]，所以 {x}=5，所以 {x{x}}={5x}∈（ 20， 25] ，
所以 A5={1 ， 3， 4， 7，8， 9， 13， 14， 15， 16， 21， 22， 23， 24， 25} ， a5=15，由此推：
a n=a n﹣1+n，所以 a n a n﹣1=n，
即 a2 a1=2， a3 a2=3， a4 a3=4，⋯， a n a n﹣1=n，
以上 n 1 个式子相加得，a n a1=，
解得，所以，
，
故答案：．
点：本考新定的用，推理，累加法求数列的通公式，以及裂相消法求数列的和，度大．
三、解答
17．（ 10 分）已知a， b， c 分△ ABC的内角 A， B， C的，且C=2A， cosA=．（1）求 c： a 的；
（2）求： a， b，c 成等差数列．
考点：等差关系确实定；二倍角的正弦．
：解三角形．
剖析：（1）利用倍角公式与正弦定理即可得出；
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定即可得出．
解答：解：（ 1）∵ C=2A，∴ sinC=sin2A ，
∴==2cosA== ．
∴=．
（2）∵ cosC=cos2A=2cos 2A 1=1=，
∴=，
∵cosA=，∴，
∴ sinB=sin （A+C） =sinAcosC+cosAsinC=，
∴sinA+sinC==2sinB ．
即 2b=a+c，
∴a， b， c 成等差数列．
评论：本题观察了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、等差数列的定义、同角三角函数的基本关系式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（ 12 分）已知向量．
（1）当时，求 cos 2x﹣ sin2x的值；
（2）设函数，已知在△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，若 a=，求的取值范
围．
考点：余弦定理；数目积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．
专题：计算题．
剖析：（1）由两向量的坐标，以及两向量平队列出关系式，整理求出tanx 的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx 的值代入计算即可求出值；
（2）利用平面向量的数目积运算法例确立出 f （x），由 a， b 及 sinB 的值，利用正弦定理
求出 sinA 的值，确立出 A 的度数，代入所求式子，依据 x 的范围求出这个角的范围，从而求出
正弦函数的值域，即可确立出所求式子的范围．
解答：解：（ 1）∵=（ sinx ，），=（ cosx ，﹣ 1），∥，
∴﹣ sinx= cosx ，即 tanx= ﹣，
则 cos 2x﹣ sin2x=cos 2x﹣2sinxcosx====；
（2） f （ x） =2（+ ）? =2（ sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin （ 2x+）+，∵a= ，b=2， sinB=，
∴由正弦定理=得：sinA===，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A= ，
∴原式 =sin （ 2x+）﹣，
∵x∈ [0 ，] ，∴ 2x+ ∈ [，] ，
∴1≤sin （ 2x+）≤，
则≤sin （2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为 [ ，﹣ ] ．
评论：本题观察了余弦定理，数目积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变换，娴熟掌握余弦定理是解本题的重点．
19．（ 12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠ BAC=90°，，AA′=1，点 M，N分别为 A′B和 B′C′的中点．
（Ⅰ）证明： MN∥平面 A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣ MNC的体积
（椎体体积公式V=Sh，此中 S 为底面面积， h 为高）
考点：直线与平面平行的判断；棱柱的结构特点；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：综合题．
剖析：（Ⅰ）证法一，连结 AB′， AC′，经过证明 MN∥AC′证明 MN∥平面 A′ACC′．证法二，经过证出 MP∥AA′， PN∥A′C′．证出 MP∥平面 A′ACC′， PN∥平面 A′ACC′，即能证明平面 MPN∥平面 A′ACC′后证明 MN∥平面 A′ACC′．
（Ⅱ）解法一，连结BN，则 V A′﹣MNC=V N﹣A′MC= V N﹣A′BC= V A′﹣NBC=．
解法二， V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣ V M﹣NBC=V A′﹣NBC= ．
解答：（Ⅰ）（证法一）
连结 AB′， AC′，由已知∠ BAC=90°，A B=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，
所以 M AB′的中点，又因N B′C′中点，所以MN∥AC′，
又 MN?平面 A′ACC′， AC′ ? 平面 A′ACC′，所以 MN∥平面 A′ACC′；
（法二）
取 A′B′中点，接 MP，NP．而 M，N 分 AB′，B′C′中点，所以 MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面 A′ACC′， PN∥平面 A′ACC′；又 MP∩PN=P，
所以平面 MPN∥平面 A′ACC′，而 MN? 平面 MPN，所以 MN∥平面 A′ACC′；
（Ⅱ）（解法一）接 BN，由意 A′N⊥B′C′，平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′，
所以 A′N⊥平面NBC，又 A′N= B′C′=1，故
V A′﹣MNC=V N﹣A′MC= V N﹣A′BC=V A′﹣NBC= ．
（解法二）
V A′﹣MNC=V A′﹣NBC V M﹣NBC= V A′﹣NBC=．
点：本考面关系，体求解，考空想象能力、思能力、推理能力、化、算等能力．
x2
20．（ 12 分）函数 f （ x）=e （ ax +x+1），且 a＞ 0，求函数 f （ x）的区及其极大．
考点：利用数研究函数的性；利用数研究函数的极．
：算；数的观点及用．
剖析：求数，分，利用数的正，即可求函数 f （x）的区及其极大．
解答：解：∵ f （ x） =e x（ ax 2+x+1），∴ f ′（ x） =ae x（ x+）（ x+2）（ 3 分）
当 a=，f′（x）≥ 0，f（x）在R上增，此无极大；（5分）
当 0＜ a＜，f′（x）＞0，x＞2或x＜，f′（x）＜0，＜x＜2
∴f （ x）在（∞，）和（2，+∞）上增，在（，2）上减．⋯（8分）
此极大 f （） =（9 分）
当 a＞， f ′（ x）＞ 0， x＜ 2 或 x＞，f ′（ x）＜ 0， 2＜ x＜
∴f （ x）在（∞， 2）和（，+∞）上增，在（2，）上减．⋯（ 11
分）
此极大 f （ 2） =e﹣2（ 4a 1）（ 12 分）
点：本考利用数研究函数的性，考利用数研究函数的极，属于中档．21．（ 12 分）已知数列 {a } 是各均不 0 的等差数列，公差d， S 其前 n 和，且
n n
足
*n n n
， n∈ N．数列 {b} 足， T 数列 {b } 的前 n 和．
（1）求 a1、 d 和 T n；
（2）若随意的 n∈ N*，不等式恒建立，求数λ 的取范．
考点：数列与不等式的合；数列的乞降．
：合；等差数列与等比数列．
剖析：（1）利用，n 取 1 或 2，可求数列的首与公差，从人体可得数列的
通，而可求数列的和；
（2）分，分别参数，求出函数的最，即可求得．
解答：解：（ 1）∵，a1≠0，∴a1=1．⋯．（1分）
∵，∴（ 1+d）2=3+3d，
∴d= 1， 2，
当 d= 1 ， a2=0 不足条件，舍去．所以
d=2．⋯．（ 4 分）
∴a n=2n1，∴，∴．⋯．（6分）
（2）当 n 偶数，，∴，∵，当 n=2 等号建立，∴最小，
所以．⋯．（9分）
当 n 奇数，，
∵在 n≥1 增，∴ n=1的最小，∴．⋯．（12分）
上，．⋯．（14分）
点：本考数列的通与乞降，考恒建立，解的关是分，分别参数，属于中档．
22．（ 12 分）设函数 f （ x） =．
（1）求函数 f （ x）在 [ ， 2] 上的最值；
（2）证明：对随意正数 a，存在正数 x，使不等式 f （ x）﹣ 1＜ a 建立．考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：
计算题；导数的综合应用．
剖析：（1）f ′（ x） =，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x?e x，
从而由导数的正负确立函数的单一性，从而求最值；
（2）化简不等式 f （x）﹣ 1＜ a 为 e x﹣（ a+1）x﹣1＜ 0，求导议论函数的单一性，从而求函
数的最小值，证明最小值小于0 即可．
解答：解：（ 1）f ′（ x） =，
令 h（ x） =（ x﹣ 1）e x +1，则 h′（ x）=x?e x，
故 h（ x） =（ x﹣ 1）e x +1 在（ 0，+∞）上是增函数，
又∵ h（ 0）=0，
故 f （ x） =在（0，+∞）上是增函数，
则函数 f （x）在 [，2]上的最小值为f （）=2﹣2，
最大值为 f （ 2） = e2﹣；
（2）证明： f （ x）﹣ 1=，
不等式 f （x）﹣ 1＜a 可化为 e x﹣（ a+1）x﹣ 1＜ 0，
令 g（ x） =e x﹣（ a+1）x﹣ 1，则 g′（ x）=e x﹣（ a+1），
令 e x﹣（ a+1） =0 解得， x=ln （a+1），
故当 0＜ x＜ ln （ a+1）时， g′（ x）＜ 0，
当 x＞ ln （a+1）时， g′（ x）＞ 0，
则当 x=ln （ a+1）时， g min（ x） =a﹣（ a+1） ln （ a+1），
令 m（ a） =（a+1），（a≥0），
则 m′（ a） =﹣＜0，
则当 a＞ 0 时， m（ a）＜ m（ 0） =0；
故 g min（ x） =a﹣（ a+1） ln （ a+1）＜ 0，
故存在正数 x，使不等式 f （x）﹣ 1＜a 建立．
评论：本题观察了导数的综合应用，属于中档题．。