单位特征向量怎么求 例题

单位特征向量怎么求例题
单位特征向量是指一个向量在经过归一化处理后的特征向量，其长度为1。

在求解单位特征向量时，通常需要先求解特征值和特征向量，然后对特征向量进行归一化处理。

下面以一个例题来说明如何求解单位特征向量：
假设我们有一个2x2的矩阵A：
A = [[3, -1],
[4, 2]]
首先，我们需要求解A的特征值和特征向量。

特征值是通过求解矩阵A减去特征值乘以单位矩阵的行列式等于0来得到的。

所以我们可以得到以下方程：
|3-λ -1 |
|4 2-λ| = 0
计算行列式并展开，得到：
(3-λ)(2-λ) - (-1)(4) = 0
(3-λ)(2-λ) + 4 = 0
(6 - 5λ + λ) + 4 = 0
λ - 5λ + 10 = 0
通过求解上述方程，我们可以得到两个特征值：
λ1 = (5 + √(-15))/2 ≈ 2.5 + 1.9365i
λ2 = (5 - √(-15))/2 ≈ 2.5 - 1.9365i
接下来，我们需要求解对应于每个特征值的特征向量。

特征向量是通过求解(A-λI)x = 0来得到的，其中I是单位矩阵，x是特征向量。

对于每个特征值，我们需要解决一个线性方程组。

对于特征值λ1 = 2.5 + 1.9365i，我们可以得到以下方程组：
(3 - (2.5 + 1.9365i))x1 - (-1)x2 = 0
4x1 + (2 - (2.5 + 1.9365i))x2 = 0
对于特征值λ2 = 2.5 - 1.9365i，我们可以得到以下方程组：
(3 - (2.5 - 1.9365i))x1 - (-1)x2 = 0
4x1 + (2 - (2.5 - 1.9365i))x2 = 0
通过求解这两个方程组，我们可以得到特征向量x1和x2。

然后，对于每个特征向量，我们需要对其进行归一化处理，即将其长度变为1。

这可以通过将特征向量除以其长度来实现。

最终得到的向量即为单位特征向量。

在实际应用中，计算机通常会使用数值方法来求解特征值和特征向量，例如雅可比方法或幂迭代方法。

这些数值方法可以更高效地求解大型矩阵的特征值和特征向量。

希望上述例题能够帮助你理解如何求解单位特征向量。