2016-2017年安徽省六安市舒城中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年安徽省六安市舒城中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合要求的，请你将符合要求的项的序号填在括号内）1．（5分）若z=1﹣i，则=（）
A．﹣i B．i C．1D．﹣1
2．（5分）有一段“三段论”推理：对于可导函数f（x），若f（x）在区间（a，b）上是增函数，则f′（x）＞0对x∈（a，b）恒成立，因为函数f（x）=x3在R上是增函数，所以f′（x）=3x2＞0对x∈R恒成立．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．推理正确
3．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除
4．（5分）若a∈R，则a=1是复数z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（5分）已知M=，由如程序框图输出的S=（）
A．0B．C．1D．
7．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）
A．1B．﹣1C．0D．2
8．（5分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2017（x）=（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x+cos x D．﹣sin x﹣cos x 9．（5分）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），
b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b 10．（5分）如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能载一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为（）
A．420B．240C．360D．540
11．（5分）公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：
（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；
（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；
（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；
那么m：n：t=（）
A．1：6：4B．：12：16C．：1：D．：6：4 12．（5分）已知函数f（x）=|x|•e x（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x 的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题舒中高二期中理数第1页（共4页），每小题5分，
共20分，请你将正确的答案填在空格处）
13．（5分）已知i为虚数单位，设z=1+i+i2+i3+…+i9，则|z|=．14．（5分）=．
15．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到log a b的不同值的个数是．
16．（5分）将（2x2﹣x+1）8展开且合并同类项之后的式子中x5的系数是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.请你注意解答本题时，一定要详细地写
出文字说明、证明过程及演算步骤等）
17．（10分）从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组．
（1）若选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，求共有多少种不同的选法；（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，求A发生的概率．18．（12分）点P（x 0，y0）在椭圆C：=1上，且x0==sin
β，0＜β＜．直线l2与直线l1：y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ．
（1）证明：点P是椭圆C：=1与直线l1的唯一公共点；
（2）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
19．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），x∈R．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S （a）的最小值．
20．（12分）已知展开式中第6项为常数．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大项．
21．（12分）已知数列{a n}满足：（1）a1=3；（2）a n+1=2n2﹣n（3a n﹣1）+a n2+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜测数列{a n}的通项，并证明你的结论；
（Ⅲ）试比较a n与2n的大小．
22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞mg（x），求实数m的取值范围．
2016-2017学年安徽省六安市舒城中学高二（下）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合要求的，请你将符合要求的项的序号填在括号内）1．（5分）若z=1﹣i，则=（）
A．﹣i B．i C．1D．﹣1
【解答】解：∵z=1﹣i，∴，
则==．
故选：B．
2．（5分）有一段“三段论”推理：对于可导函数f（x），若f（x）在区间（a，b）上是增函数，则f′（x）＞0对x∈（a，b）恒成立，因为函数f（x）=x3在R上是增函数，所以f′（x）=3x2＞0对x∈R恒成立．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．推理正确
【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，f′（x）＞0对x ∈（a，b）恒成立，应该是f′（x）≥0对x∈（a，b）恒成立，
∴大前提错误，
故选：A．
3．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．
4．（5分）若a∈R，则a=1是复数z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a=1，
∴z=2i
∴z是纯虚数
z是纯虚数
故选：C．
5．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．
∴===﹣1+2i，
复数对应的点位于第二象限．
故选：B．
6．（5分）已知M=，由如程序框图输出的S=
（）
A．0B．C．1D．
【解答】解：∫1﹣1|x|dx=2∫01xdx=1，
N=cos2150﹣sin2150=cos230°=
分析已知中的算法流程图，我们易得出该程序的功能是计算并输出M，N两个变量中的最大值，
∴程序框图输出的S=M=1
故选：C．
7．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）
A．1B．﹣1C．0D．2
【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，
令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．
所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=
=1
故选：A．
8．（5分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2017（x）=（）A．sin x+cos x B．sin x﹣cos x C．﹣sin x+cos x D．﹣sin x﹣cos x 【解答】解：根据题意，f1（x）=sin x+cos x，
f2（x）=f1′（x）=cos x﹣sin x，
f3（x）=（cos x﹣sin x）′=﹣sin x﹣cos x，
f4（x）=﹣cos x+sin x，f5（x）=sin x+cos x，
以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x），
f2017（x）=f1（x）=sin x+cos x，
故选：A．
9．（5分）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log4）f（log4），
b=f（），c=（lg）f（lg），则a，b，c的大小关系是（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【解答】解：令F（x）=xf（x），
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴F（x）为定义在实数集上的偶函数．
由F′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．
∵，，
∴．
则．
即a＞b＞c．
故选：C．
10．（5分）如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能载一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为（）
A．420B．240C．360D．540
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①、5个花池用了5种颜色的花卉，将5种颜色的花卉全排列即可，有A55=120
种情况，
②、5个花池用了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，
则有2A54=240种情况，
③、5个花池用了3种颜色的花卉，在5种颜色的花卉中任选3种，安排在1、2、
3号花池，4号与2号同色，3号与5号同色，
则有A53=60种情况，
则有120+240+60=420种不同的栽种方案；
故选：A．
11．（5分）公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：
（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；
（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；
（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；
那么m：n：t=（）
A．1：6：4B．：12：16C．：1：D．：6：4
【解答】解：由题意，正四面体的体积V==a3；
正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2×=a3，
∴m：n：t=1：6：4，
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）=|x|•e x（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x 的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：f（x）=|x|•e x=．
当x＞0时，由f（x）=x•e x，得f′（x）=e x+x•e x=e x（x+1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，由f（x）=﹣x•e x，得f′（x）=﹣e x﹣x•e x=﹣e x（x+1）．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，
∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=．
作出函数f（x）=|x|•e x（x≠0）的图象的大致形状：
令f（x）=t，则方程化为，
即t2﹣λt+2=0，
要使关于x的方程有四个相异实根，
则方程t2﹣λt+2=0的两根一个在（0，），一个在（）之间．
则，解得λ＞2e+．
∴实数λ的取值范围是（2e+，+∞）．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题舒中高二期中理数第1页（共4页），每小题5分，
共20分，请你将正确的答案填在空格处）
13．（5分）已知i为虚数单位，设z=1+i+i2+i3+…+i9，则|z|=．
【解答】解：∵z=1+i+i2+i3+…+i9==1+i．
∴|z|=．
故答案为：．
14．（5分）=﹣2．
【解答】解：=dx﹣xdx，
dx表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的上半部分，
∴dx=，
xdx=x2=2，
∴=﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到log a b的不同值的个数是43．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、a、b中有1，则a≠1，则b的值为1，log a b=0，有1个值，
②、a、b中不含有1，则a、b的取法有A72=42种，
则共可得到1+42=43个不同的log a b值；
故答案为：43．
16．（5分）将（2x2﹣x+1）8展开且合并同类项之后的式子中x5的系数是﹣1288．【解答】解：x5可能是（﹣x）5，（2x2）（﹣x）3，（2x2）2（﹣x），
根据排列组合知识来看
（﹣x）5表示在8个式子中5个选﹣x，其余3个选出1，系数为：（﹣1）5•=﹣56，
（2x2）（﹣x）3表示8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为：=﹣560，
（2x2）2（﹣x）表示8个式子中2个选2x2，其余6个中选1个（﹣x），其余选1，
系数为：=﹣672，
∴将（2x2﹣x+1）8展开且合并同类项之后的式子中x5的系数为：﹣56﹣560﹣672=﹣1288．
故答案为：﹣1288．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.请你注意解答本题时，一定要详细地写
出文字说明、证明过程及演算步骤等）
17．（10分）从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组．
（1）若选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，求共有多少种不同的选法；（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，求A发生的概率．
【解答】解：（1）从9人中任选5人，基本事件总数n==126，
选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选包含的基本事件总数m==36，∴选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，共有36种不同的选法．
（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，
则表示“男生甲和女生乙同时入选”，
∴P（）==，
∴A发生的概率P（A）=1﹣P（）=1﹣．
18．（12分）点P（x 0，y0）在椭圆C：=1上，且x0==sin β，0＜β＜．直线l2与直线l1：y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ．
（1）证明：点P是椭圆C：=1与直线l1的唯一公共点；
（2）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
【解答】证明：（1）直线l1：y=1，得：y=，
代入椭圆C：=1，得（+）+（﹣1）=0．
将代入上式，得：，
∴x=，
∴方程组有唯一解，
∴点P是椭圆C：=1与直线l1的唯一公共点．
（2）=tanβ，
l1的斜率为﹣，l2的斜率为tanγ==tanβ，
∴tanαtanγ=tan2β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
19．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），x∈R．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S （a）的最小值．
【解答】解：（1）由f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣a＞1﹣a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）
上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由此可得，函数有极小值且f（x）
=f（lna）=a﹣a（lna﹣1）=2a﹣alna．
极小
（2）g（x）=f（2x）=e2x﹣a（2x﹣1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2﹣2a，切线方程y﹣（1+a）=（2﹣2a）（x﹣0），
由∴
=
当且仅当（a﹣1）2=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．20．（12分）已知展开式中第6项为常数．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大项．
【解答】解：（1）展开式的通项公式为T r+1=2﹣n+2r•C n r x，
∵展开式中第6项为常数，
∴r=5，
即为=0，
解得n=15，
（2）设展开式系数最大项为第r+1项，则有2﹣15+2r•C15r≥2﹣13+2r•C15r+1，
2﹣15+2r•C15r≤2﹣17+2r•C15r﹣1，
解得r=12
故第13项的系数最大为2﹣15+24•C1512x=29C153x
21．（12分）已知数列{a n}满足：（1）a1=3；（2）a n+1=2n2﹣n（3a n﹣1）+a n2+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜测数列{a n}的通项，并证明你的结论；
（Ⅲ）试比较a n与2n的大小．
【解答】解：（Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9；（3分）
（Ⅱ）猜测a n=2n+1，（1分）
证明如下：
当n=1时，a1=3=2×1+1，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即a k=2k+1，
则n=k+1时，
a k+1=2k2﹣k（3a k﹣1）+a k2+2=2k2﹣k（6k+2）+（2k+1）2+2=2k+3，（2分）
于是n=k+1时，结论成立．
故对所有的正整数n，a n=2n+1．（1分）
（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；
当n=2n=2时，a2=5＞22；
当n=3时，a3=7＜23；
当n=4时，a4=9＜24；（1分）
猜想n≥3（n∈N*）时，a n＜2n．（1分）
证明如下：
当n=3时，a3=7＜33，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即a k＜2k，（k≥3），也就是2k+1＜2k，
则n=k+1时，
a k+1=2k+3=（2k+1）+2＜2k+2，
而（2k+2）﹣2k+1=2﹣2k＜0⇒2k+2＜2k+1，（2分）
∴a k+1＜2k+1．
于是n=k+1时，结论成立．
从而对任意n≥3（n∈N*），有a n＜2n．
综上所述，当n=1，2时，a n＞2n；当n≥3时，a n＜2n．（1分）
22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞mg（x），求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（0，+∞），
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
由f ′（x ）＜0，解得：x ＞
所以函数f （x ）的单调递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；
（2）设h （x ）=f （x ）﹣mg （x ），x ∈（1，+∞），
m =1时，h （x ）=lnx ﹣x 2+，h ′（x ）=﹣x =
，
当x ＞1时，h ′（x ）＜0，所以h （x ）在（1，+∞）上单调递减， 所以当x ＞1时，h （x ）＜h （1）=0， 即当x ＞1时，f （x ）＜x ﹣1； 此时不存在x 0＞1，不满足题意；
②当m ＞1时，x ＞1，f （x ）＜x ﹣1＜m （x ﹣1）， 此时不存在x 0＞1，不满足题意；
③当m ＜1时，则h ′（x ）=
，
令h ′（x ）=0，即﹣x 2+（1﹣m ）x +1=0， 得x 1=
＜0，x 2=
＞1， 所以当x ∈（1，x 2）时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）在[1，x 2）上单调递增， 取x 0=x 2，所以当x ∈（1，x 0）时，h （x ）＞h （1）=0，f （x ）＞mg （x ）， 综上，实数m 的取值范围是（﹣∞，1）．。