山东省潍坊市高密市2016届高三上学期10月统考数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年山东省潍坊市高密市高三(上)10月统考数学试卷
（理科）
一.选择题:本大题10个小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．幂函数f（x）=k•xα的图象过点，则k+α=（）
A． B．1 C． D．2
2．函数的定义域为（）
A． B． C． D．
3．若0＜x＜，则xtanx＞1是xsinx＞1的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数f（x）=3x+x3﹣3在区间（0,1）内的零点个数是(）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数y=lg的图象(）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y=x对称 D．关于原点对称
6．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（)
A． B． C． D．
7．己知实数x，y满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为﹣8，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图中阴影部分的面积是（）
A． B．C．D．
9．曲线f（x）=e x lnx+在点（1，f（1）)处的切线方程为(）
A．ex﹣y+2﹣e=0 B．ex+y+2﹣e=0 C．ex﹣y+2+e=0 D．ex+y+2+e=0
10．已知函数f（x)=（a∈R）在[4,+∞）上是减函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞,﹣8）B．(﹣8,0) C．（﹣8,8）D．（﹣8，+∞）
二。

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在横线上．
11．对任意实数x，若不等式｜x+1|﹣|x﹣2｜＞k恒成立，则k的取值范围是．
12．已知函数f（x)=，则=．
13．若实数a,b满足,则当ab取得最小值时b的值为．
14．若直线y=2a与函数f（x)=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点,则实数a的值是．
15．已知f(x)=是R上的增函数，那么a的取值范围是．
三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知函数f（x）=(sinx+cosx)2+2cos2x﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ)将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x）的图象，当时,求g（x）的值域．
17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（φ＞0，|φ｜＜）在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据,如下表：
φx+φ0 π2π
x
Asin(φx+φ）0 3 0 ﹣3 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式; （Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g
（x）的图象离y轴最近的对称轴．
18．已知函数f（x)=x2﹣（2m+6）x+m+4．
（Ⅰ）若对于任意m∈[﹣1，1］，f（x)＞0恒成立，求实数x的取值范围;
（Ⅱ）若对于任意x∈[﹣1，1]，f（x)≥0恒成立，求实数m的取值范围．
19．为增加产品利润，某工厂想投入资金对机器进一步改造升级,经过市场调查,利润增加值y万元与投入x万元之间满足：y=,x∈（1，m］，当x=10时，y=9．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式;
(Ⅱ）求利润增加值y取得最大时对应的x的值．
20．已知函数f（x）定义域是，且f(x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣，当﹣1＜x＜﹣时,f(x）=﹣2﹣x．
（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数;
（Ⅱ）求f(x）在上的表达式；
（Ⅲ）是否存在正整数t，使得时，log2f（x﹣3t）＞x2﹣2tx﹣3t有解，若存在求出t的值，若不存在说明理由．
21．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f(x）的单调区间；
(Ⅱ）若函数F（x)=xf（x)﹣在[1，e］上是最小值为，求a的值；
（Ⅲ)如果当x≥1时，不等式f（x）≥+1恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年山东省潍坊市高密市高三（上）10月统考
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一。

选择题:本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．幂函数f（x)=k•xα的图象过点,则k+α=（）
A．B．1 C．D．2
【考点】幂函数的性质．
【分析】幂函数f（x）=k•xα的图象过点，可得，k=1，解出即可．【解答】解：幂函数f（x）=k•xα的图象过点，
∴，k=1，
解得α=．
∴k+α=．
故选：C．
2．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数f(x）的解析式,列出使解析式有意义的不等式,求出解集即可．
【解答】解:∵函数，
∴（4x﹣5)≥0，
∴0＜4x﹣5≤1，
即5＜4x≤6；
解得＜x≤，
∴函数f(x）的定义域为（，]．
故选：C．
3．若0＜x＜，则xtanx＞1是xsinx＞1的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】0＜x＜，可得tanx＞sinx＞0,于是xsinx＞1⇒xtanx＞1，反之不成立，取x=即可判断出．
【解答】解：∵0＜x＜，∴tanx＞sinx＞0,∴xsinx＞1⇒xtanx＞1，
反之不成立，取x=即可判断出．
因此xtanx＞1是xsinx＞1的必要不充分条件．
故选：B．
4．函数f（x）=3x+x3﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（)
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数f（x)=3x+x3﹣3在区间（0,1）上单调递增，且f(0)f（1)＜0,结合零点判定定理，可得答案．
【解答】解：函数f（x）=3x+x3﹣3在区间（0,1）上单调递增；
且f（0）=﹣2＜0，f（1)=1＞0，
故函数f(x）=3x+x3﹣3在区间（0，1）上有且只有一个零点；
故选：B．
5．函数y=lg的图象(）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y=x对称 D．关于原点对称
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】求出函数y=f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性,即可得出f(x）的对称性．
【解答】解:∵函数y=f(x）=lg，
∴＞0,
解得x＜﹣3或x＞3，
∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪(3，+∞）；
∴f（﹣x）=lg=lg=﹣lg=﹣f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数，图象关于原点对称．
故选：D．
6．若α∈（，π）,且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为(）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的余弦;二倍角的正弦．
【分析】由条件可得3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα,化简求得cosα+sinα=，再平方即可求得sin2α的值．
【解答】解:∵α∈（，π），3cos2α=sin（﹣α)，
∴3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，
即3(cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=(cosα﹣sinα）,
∴cosα+sinα=,或cosα﹣sinα=0（不合题意，舍去），
∴1+sin2α=,∴sin2α=﹣，
故选：D．
7．己知实数x，y满足条件（k为常数）,若z=x+3y的最大值为﹣8，则k的值
为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（），
化目标函数z=x+3y为，
由图可知，当直线过A（）时,直线在y轴上的截距最小，z有最小值为，
解得k=6．
故选：B．
8．如图中阴影部分的面积是（)
A． B．C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．
【解答】解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2
解得交点为(﹣3，﹣6）和(1，2）
抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点(﹣，0）
设阴影部分面积为s，则
=
=
所以阴影部分的面积为，
故选C．
9．曲线f（x）=e x lnx+在点(1,f（1））处的切线方程为（）
A．ex﹣y+2﹣e=0 B．ex+y+2﹣e=0 C．ex﹣y+2+e=0 D．ex+y+2+e=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得f（x)的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）=e x lnx+的导数为
f′（x)=e x（lnx+）+,
在点(1,f（1）)处的切线斜率为k=e,
切点为(1，2），
在点（1,f（1））处的切线方程为y﹣2=e（x﹣1)，
即有ex﹣y﹣e+2=0．
故选:A．
10．已知函数f（x）=（a∈R）在[4，+∞）上是减函数,则a的取值范围为()
A．（﹣∞，﹣8）B．(﹣8，0）C．（﹣8,8) D．（﹣8，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质．
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系转化为在[4，+∞）上f′（x）≤0恒成立，利用换元法结合函数单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：函数的导数为f′（x）
===，
若f(x)在[4，+∞）上是减函数，
则f′(x）≤0恒成立，
即﹣3x2+(6﹣a）x+a≤0，在［4，+∞）上恒成立，
即﹣3x2+6x+(1﹣x）a≤0［4,+∞）上恒成立，
即a≥，
令x﹣1=t,则t≥3,且x=t+1，
则===﹣3t+，
则函数y=3t+则t≥3上为减函数，
∴﹣3t+≤﹣3×3+1=﹣8，
则a≥﹣8,
故选:D．
二。

填空题:本大题共5小题，每小题5分,共25分，把答案填在横线上．
11．对任意实数x，若不等式｜x+1｜﹣｜x﹣2|＞k恒成立，则k的取值范围是k＜﹣3．【考点】绝对值不等式．
【分析】｜x+1|﹣｜x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为﹣3，故有k＜﹣3,由此求得k的取值范围．
【解答】解:对任意实数x,若不等式｜x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，而|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离,
其最小值为﹣3，故有k＜﹣3,
故答案为k＜﹣3．
12．已知函数f(x）=,则=．
【考点】函数的值．
【分析】由已知条件利用对数运算法则和分段函数性质得=f(2+log23）=f （3+log23）=,由此利用对数性质、换底公式和有理数指数幂运算法则能求出结果．
【解答】解:∵函数f（x)=，
∴=f（2+log23）=f（3+log23）=
=
=
=．
故答案为:．
13．若实数a,b满足，则当ab取得最小值时b的值为1．
【考点】基本不等式．
【分析】实数a，b满足，利用基本不等式的性质可得：≥，当且仅当a=4b，,时取等号，解出即可得出．
【解答】解：∵实数a，b满足，
可知：a，b＞0,
∴≥，
化为ab≥4,
当且仅当a=4b，，即b=1时取等号．
故答案为：1．
14．若直线y=2a与函数f（x）=|x﹣a｜﹣1的图象只有一个交点,则实数a的值是．
【考点】函数的图象．
【分析】由已知直线y=2a与函数y=｜x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．
【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a｜﹣1的图象是折线,所以直线y=2a过折线顶点时满足题意,
所以2a=﹣1，解得a=﹣;
故答案为：．﹣．
15．已知f（x）=是R上的增函数，那么a的取值范围是
1＜a≤2．
【考点】函数单调性的性质;分段函数的应用．
【分析】若f（x）=是R上的增函数,则,解得a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=是R上的增函数,
∴，
解得:1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2
三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知函数f(x)=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g
（x）的图象，当时，求g(x）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1)运用倍角公式,辅助角公式化简函数式，再求函数的单调区间；
（2）先求出g(x）的解析式，再结合正弦函数图象求其值域．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x﹣2
=，
当时，
解得,，
∴函数f（x)的单调递增区间为．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,
纵坐标不变,得到函数，
当时，，
①当,即时,g（x）取得最大值，g（x)max=﹣1；
②当，即x=π时，g（x）取得最小值，g（x）min=﹣2，
故函数g（x）的值域为．
17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（φ＞0,｜φ|＜)在某一个周期内的图
象时，列表并填入了部分数据，如下表：
φx+φ0 π2π
x
Asin（φx+φ) 0 3 0 ﹣3 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f（x）的解析式; （Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g
（x）的图象离y轴最近的对称轴．
【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ)根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x)的解析式．
（Ⅱ)由条件利用y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性,得出结论．【解答】解：(Ⅰ）根据表中已知数据可得:A=3，，，
解得，数据补全如下表:
φx+φ0 π2π
x
Asin（φx+φ）0 3 0 ﹣3 0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，将y=f(x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，
可得，
因为y=sinx的对称轴是,k∈Z，
令，解得,令k=﹣1，可得，
所以y=g（x)的图象离y轴最近的对称轴．
18．已知函数f(x）=x2﹣（2m+6)x+m+4．
（Ⅰ）若对于任意m∈［﹣1，1］，f（x）＞0恒成立,求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意x∈[﹣1，1］，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ)由题意可得g（m）=（1﹣2x）m+x2﹣6x+4＞0在[﹣1，1]上恒成立，即有g （﹣1)＞0,且g（1)＞0，解不等式可得x的范围;
（Ⅱ)由题意可得f min（x）≥0．又函数f（x）的图象的对称轴为x=m+3，讨论区间[﹣1,1］与对称轴的关系,运用单调性，求得最小值,解不等式即可得到m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）若对于任意m∈[﹣1,1],f(x）＞0恒成立，
等价于g(m）=（1﹣2x）m+x2﹣6x+4，
∴，
可得或，
即实数x的取值范围．
(Ⅱ)由于对任意x∈[﹣1，1］，f（x)≥0恒成立,故f min（x）≥0．
又函数f（x）的图象的对称轴为x=m+3，
①当m+3≤﹣1，即m≤﹣4时,f min（x）=f(﹣1）=1+2m+6+m+4≥0,
解得，此时求得m无解;
②当﹣1＜m+3＜1，即﹣4＜m＜﹣2时，，
解得，此时;
③当m+3≥1，即m≥﹣2时，f min(x）=f(1）=1﹣2m﹣6+m+4≥0，
解得m≤﹣1,此时﹣2≤m≤﹣1，
综上可得实数m的取值范围为｛m｜﹣4＜m≤﹣1}．
19．为增加产品利润,某工厂想投入资金对机器进一步改造升级，经过市场调查，利润增加值y万元与投入x万元之间满足:y=，x∈（1，m]，当x=10时，y=9．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
(Ⅱ）求利润增加值y取得最大时对应的x的值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（Ⅰ）x=10时，y=9,代入可得t，即有函数的解析式；
(Ⅱ）求出f（x)的导数，求得单调区间,讨论m＞40，m≤40，由单调性即可得到最大值．【解答】解:（Ⅰ）因为当x=10时,y=9，
即，
解得，
所以．
(Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
=，
令f′（x）=0，得x=40或x=1（舍去）,
当x∈（1，40）时，f’（x)＞0，f(x）在（1，40)上是增函数；
当x∈(40，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（40，+∞）上是减函数．
∴当m＞40时，
当x∈（1，40）时，f'(x）＞0,∴f（x）在(1，40）上是增函数；
当x∈(40，m]时，f’（x）＜0，∴f（x）在（40，m］上是减函数,
∴当x=40时,y取得最大值;
当m≤40时，当x∈（1，m）时，f'(x）＞0，∴f(x)在(1,m)上是增函数，
∴当x=m时，y取得最大值．
20．已知函数f（x）定义域是，且f（x）+f（2﹣x）=0，f（x+1）=﹣，当﹣1＜x＜﹣时，f（x）=﹣2﹣x．
（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；
（Ⅱ)求f（x）在上的表达式;
（Ⅲ）是否存在正整数t，使得时，log2f(x﹣3t）＞x2﹣2tx﹣3t有解，
若存在求出t的值，若不存在说明理由．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【分析】（Ⅰ）根据便可得出f（x)=f（x+2）,从而由f(x）+f（2﹣x）=0
便可得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（Ⅱ）可设,从而有,从而可得出f（﹣x）=﹣2x，这样即可得出f（x）在上的表达式为f（x）=2x；
(Ⅲ）可假设存在正整数t,使得即时,不等式
有解，从而得出不等式x﹣3t＞x2﹣2tx﹣3t有解，进一步得到x2﹣（2t+1）x＜0有解,从而便可得到，从而有
2t+1,这便得到t，与t为正整数矛盾，从而得出不存在满足条件的t．
【解答】解:(Ⅰ）证明：∵；
∴;
∴f（x）的周期为2;
由f（x）+f（2﹣x）=0可得,f（x)+f（﹣x）=0；
即f（﹣x）=﹣f（x)；
∴f（x)为奇函数；
（Ⅱ）解：当时，，则：
f(﹣x）=﹣2x=﹣f（x)；
∴在上f（x）=2x;
（Ⅲ)假设存在正整数t满足条件,则对，；
此时f（x﹣3t）=2x﹣3t；
∴变为,可得x﹣3t＞x2﹣2tx﹣3t；
即x2﹣(2t+1）x＜0在上有解，t∈N*;
∴;
∴，；
所以不存在这样的正整数t满足条件．
21．已知函数f（x)=．
（Ⅰ)求函数f(x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F(x）=xf(x）﹣在[1,e］上是最小值为，求a的值;
(Ⅲ）如果当x≥1时，不等式f（x）≥+1恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出导函数,通过导函数的符号，求解函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）化简函数F（x）=xf(x）﹣，通过当a≥﹣1时,当a≤﹣e时,若a∈（﹣e，﹣
1)，求解函数的最值，然后求解a的范围；
（Ⅲ）当x≥1时，分离变量，构造函数，通过函数的导数，求解函数
的最值然后求解实数a的取值范围．
【解答】（本小题满分14分）
解:（Ⅰ）∵f（x）=,x＞0，故，
则当x∈（0，1)时，f’（x)＞0，当x∈(1,+∞）时,f'(x）＜0，
故f（x）的单调增区间为（0，1)，单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由已知可得，则可得，
当a≥﹣1时，F（x)在［1，e]上单调递增，，∴，舍去；
当a≤﹣e时，F（x）在[1，e]上单调递减，，∴
，舍去；
若a∈（﹣e，﹣1），F（x）在（1，﹣a)单调递减，在（﹣a，e）单调递增，∴
，，
综上所述:．
（Ⅲ）当x≥1时，不等式f（x）≥可化为，
令，
则当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立可化为a≤g(x)min,（x≥1），
可求，
令h(x）=x﹣lnx，则，
故h（x）在［1，+∞）上是增函数，h（x）≥h（1）≥1，
所以，在［1，+∞）上是增函数，
所以g（x)min=g（1）=2，a≤2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2］．
2017年1月4日。