高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列(第3课时)教案新人教A版选修2-3(2021

高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列（第3课时）教案新人教A版选修2-3
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1。

2。

1 排列
第三课时
教学目标
知识与技能
利用捆绑法、插空法解决排列问题．
过程与方法
经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观
能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．
重点难点
教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．
教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．
错误!
错误!
提出问题：7位同学排队,根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．
(1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
(2)7位同学站成两排(前3后4），共有多少种不同的排法？
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?
（4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．
活动成果：
解：(1）问题可以看作：7个元素的全排列A错误!＝5 040。

(2）根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.
(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A错误!＝720。

(4）根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A错误!种;第二步余下的5名同学进行全排列有A错误!种，所以,共有A错误!·A错误!＝240种排列方法．
（5）第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A错误!种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列)有A错误!种方法，所以一共有A错误! A55＝2 400种排列方法．
错误!
类型一:捆绑法
例1 7位同学站成一排,
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
解：（1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素,与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A错误!种方法；再将甲、乙两个同学“松绑"进行排列有A错误!种方法．所以这样的排法一共有A6，6A错误!＝1 440种．
(2）方法同上，一共有A错误!A错误!＝720种．
（3）解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A错误!种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4，4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2，2种方法．所以这样的排法一共有A错误!A错误!A错误!＝960种．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A5，5种方法,所以，丙不能站在排头和排尾的排法有（A错误!－2A错误!)·A错误!＝960种．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A错误!种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”,所以，这样的排法一共有A错误!A错误! A错误!＝960种．
（4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A错误!A错误!＝288种．点评：对于相邻问题,常用“捆绑法"（先捆后松)．
【巩固练习】
某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？
解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素,乙厂3台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素,丙厂2台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A错误!种排法，共有A错误!A错误!A错误! A错误!＝2 880种不同的排法．
【变练演编】
7位同学站成一排，
(1）甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？
(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？
解：（1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A错误!种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A错误!A错误!A错误!＝1 200种不同的排法．
（2）先在甲、乙两同学之间排两个人，有A错误!种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A错误!A错误!A错误!＝960种不同的
排法．
类型二:插空法
例2 7位同学站成一排,
(1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：（1)方法一:(排除法）A错误!－A错误!·A错误!＝3 600;
方法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A错误!种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A错误!种方法，所以一共有A错误!A错误!＝3 600种方法．
（2）先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A3，5种方法，所以一共有A错误!A错误!＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑)．
【巩固练习】
5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：(1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列．
解:（1)先将男生排好,有A错误!种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空”(包括两端，但不能同时排在两端）中，有2A55种排法，
故本题的排法有N＝2A错误!·A错误!＝28 800种．
(2)方法1：N＝错误!＝A错误!＝30 240；
方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上,有A错误!种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．
故本题的排法为N＝A错误!×1＝30 240种．
【变练演编】
5男6女排成一列,问
（1）5男排在一起有多少种不同排法？
（2）5男不都排在一起有多少种排法？
（3)5男每两个不排在一起有多少种排法？
（4)男女相互间隔有多少种不同的排法？
解：(1)先把5男看成一个整体,得A77，5男之间排列有顺序问题，得A错误!，共A错误!A错误!种．
(2）全排列除去5男排在一起即为所求，得A1111－A错误!A错误!.
（3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题,得A错误!A错误!。

(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A6，6A错误!.
【达标检测】
1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起,不同的排法种数是（）
A．A错误! B．A错误!A错误!
C．A44A错误!A错误! D．以上都不对
3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（)
A．42 B．96
C．48 D．124
答案:1.B 2。

C 3.A
错误!
1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．
2．方法收获:捆绑法、插空法．
3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．
错误!
【基础练习】
1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起,且要求乙、丙分别站在甲的两边,则不同的排法种数为（)
A．12 B．24
C．48 D．144
2．由数字0,1,2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个
（）
A．9 B．12
C．24 D．21
3．用数字0，1，2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为（) A．3 B．30
C．72 D．18
4．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540 B．300
C．180 D．150
答案：1.C 2。

D 3.B 4。

D
【拓展练习】
5．有4名男生、5名女生,全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2）甲、乙两人必须排在两端；
（3)男、女生分别排在一起；
（4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
答案:(1)241 920 (2）10 080 (3)5 760 (4）2 880 (5）60 480
错误!
本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示,在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法,在变练演编中，举一反三,反复强化,使学生更好地掌握方法和技巧．
错误!
一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．
例A,B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．
解析:把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，有A错误!＝24种排法．
二、相离问题插空法:元素相离(即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．
例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序,有______种不同的插法（具体数字作答)．
解析：A错误!A错误!＋A错误!A错误!＋A错误!＝504种．
例2高三（1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________．
解析：不同排法的种数为A错误!A错误!＝3 600.
例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．
解析：依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空”中，可得有A错误!＝20种不同排法．
例4某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾"有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为________种．
解析:A错误!A错误!＋A错误!A错误!＋A错误!＝990种．
例5 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子）进行全排列有A错误!,○*○＊○＊○，在四个“空"中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A错误!种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A错误!A错误!＝24种．
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空”，＊○*○*○*○＊，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A错误!＝24种．
注:题中*表示元素，○表示空．
例6停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
解析：先排好8辆车有A错误!种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A错误!种方法，所以共有A错误!A错误!种方法．。